2019学年高中数学(北师大版)选修2-2教案:第1章 拓展资料:演
更新时间:2024-03-03 22:47:01 阅读量: 综合文库 文档下载
2019学年北师大版数学精品资料
演绎推理的三种类型
“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质;其实,我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论.显然,只要一般性原理正确,推理形式不出错误,那么由此产生的结论一定正确;这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程;具体到一个数学问题,我们使用演绎推理时,常常表现为下述三种类型,这里向你介绍,也许对你深入理解演绎推理会有所帮助. 一、显性三段论
在证明过程中,可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”;结合演绎推理我们可以知道结果是正确的.也是演绎推理最为简单的应用. 例1 当a,b为正数时,求证:
a?b≥ab. 2 证明:因为一个实数的平方是非负数,
?aa?ba?bb? 而是一个实数的平方,所以?ab是非负数,即?ab??????22?2?2a?b?ab≥0. 22 所以,
a?b≥ab. 2 评析:在这个问题的证明中,三段论是很显然的;大前提:“一个实数的平方是非负数”,小前提:“
a?ba?b,结论:“?ab是一个实数的平方”?ab是非负22数”,从而产生最后结果;由于大前提是人所共知的真理,推理形式正确,因而,结论正确.
二、隐性三段论
三段论在证明或推理过程中,不一定都是清晰的;特别是大前提,有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义,对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用,不需要再重新指出;因此,就会出现隐性三段论. 例2 判断函数f(x)?1?x2?x?11?x?x?12的奇偶性.
f(x)1?x2?x?11?x2?x?12x 解:由于x?R,且 ?·???1?f(?x)??f(x),22f(?x)?2x1?x?x?11?x?x?1 故函数为奇函数.
评析:在这个推理过程中,好似未用到演绎推理的三段论,其实不然,只是大前提“若f(?x)??f(x),则函数f(x)奇函数;若f(x)?f(?x),则函数f(x)是偶函数”是大家熟悉的定义,推理过程中省略了.这是三段论推理的又一表现形式. 三、复式三段论
一个复杂问题的证明或推理,往往不是一次三段论就可以解决的,在证或推的过程中要多次使用三段论,从一个熟悉的大前提出发,产生一个结论;而这个结论又是下一步的大前提,依次递推下去,最终产生结论,这就是所谓的复式三段论.可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程,基本上都是复式三段论. 例3 若数列?an?的前n项和为sn?n(a1?an),求证:数列?an?为等差数列. 2 分析:本题的论证共有三层,即三次使用三段论推理,请看:
第一层,大前提“若sn是数列?an?的前n项和,则an?sn?sn?1”;小前提“数列
?an?的前n项和为sn?“
an?a1n?1?”;
an?1?a1n?2n(a1?an)n(a?a)(n?1)(a1?an?1),则an?1n?”;结论222 第二层,大前提“对于非零数列?an?,则有an?a1?足
?a2??a?1??an?;小前提“满??”?an?1?an?a1a?aa?a1a?a1n?1?)31·4··n的数列?an?有an?a1?(a2?a1·”;结论
an?1?a1n?2a2?a1a3?a1an?1?a1“an?a1?(n?1)(a2?a1)”;
第三层,大前提“对于数列?an?,若an?an?1?常数,则?an?是等差数列”;小
a为常数”前提“由an?a1?(n?1)(a2?a1),得an?an?1?a;结论“数列为等差数列”,2?1在这三层中,层层深入,步步逼近,慢慢的向我们要论证的结论靠拢,这是一种很重要且很实用的分析思维过程.
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