高中数学第二章算法初步2.1算法的基本思想学业分层测评北师大版

2.1 算法的基本思想

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

①从泰安去看2014再坐飞 年巴西世界杯，可以先乘汽车到济南，再坐飞机抵达北京，拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。1．下列语句表达中，是算法的有( ) 机抵达巴西； 1

②利用公式S＝ah计算底为1，高为2的三角形的面积；

21

③x>2x＋4； 2

④求M(1,2)与N(－3，－5)两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．

A．①②③ C．①②④

B．①③④ D．②③④

【解析】 算法是解决问题的有效步骤，而③只是一个纯数学问题，无解决问题的步骤． 【答案】 C

2．已知直角三角形两直角边为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步： ①计算c＝a＋b；

②输入直角三角形两直角边长a，b的值； ③输出斜边长c的值．其中正确的顺序是( ) A．①②③ C．①③②

B．②③① D．②①③

22【解析】 要先有输入，再计算并输出，故顺序为②①③. 【答案】 D

3．关于一元二次方程x－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是( ) A．只能设计一种算法 B．可以设计两种算法 C．不能设计算法

D．不能根据解题过程设计算法

【解析】 一元二次方程的求解过程可以用公式法和因式分解法进行，可依据不同的解题过程来设计算法，故可以设计两种算法．

【答案】 B 4．算法： 1．输入n.

1

2

2．判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行下一步． 3．依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则n满足条件． 满足上述条件的n是( ) A．素数 C．偶数

B．奇数 D．合数

【解析】 由算法可知本算法的意义是n除了1与它本身外，无其他约数，故此数是素数．

【答案】 A

5．在设计一个算法求12和14的最小公倍数中，设计的算法不恰当的一步是( A．首先将12因式分解：12＝22

×3 B．其次将14因式分解：14＝2×7 C．确定其公共素因数及其指数为22,31,71

D．其最小公倍数为S＝2×3×7＝42 【解析】 应为S＝4×3×7＝84. 【答案】 D 二、填空题 6．给出下列算法： 1．输入x的值；

2．当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步； 3．计算y＝4－x； 4．输出y.

当输入x＝10时，输出y＝________.

【解析】 因为x＝10>4.所以计算y＝x＋2＝12. 【答案】 12

7．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求直线AB的斜率的一个算法如下： 1．输入x1，y1，x2，y2的值； 2．计算Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1；

3．若Δx＝0，则输出斜率不存在，否则(Δx≠0)，k＝____①____； 4．输出斜率k. 则①处应填________．

【解析】 根据求斜率的公式知k＝ΔyΔyΔx.所以①处应填Δx.

【答案】

ΔyΔx ) 2

8．完成下面问题的算法：

我国古代的一个著名算法案例：鸡兔49只，100条腿，求鸡兔的数量． 算法如下：

1．设有鸡x只，兔y只，则有

??x＋y＝49， ①???2x＋4y＝100. ②

2．将方程组中的第一个方程两边乘以－2加到第二个方程中去，得(4－2)y＝100－49×2.解得y＝1.

3．________.

【解析】 根据题意，求出y的值后，应该再求x的值，所以应填“将y＝1代入①得

x＝48”．

【答案】 将y＝1代入①得x＝48 三、解答题

9．写出过两点M(－2，－1)，N(2,3)的直线与坐标轴所围成区域的面积的一个算法． 【解】 算法如下：

1．取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3； 2．计算

y－y1x－x1

＝； y2－y1x2－x1

3．在第2步结果中令x＝0得到y的值m，得直线与y轴交点(0，m)； 4．在第2步结果中令y＝0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)； 1

5．计算S＝|m|·|n|.

2

10．(1)设计一个算法，判断7是否为素数； (2)设计一个算法，判断35是否为素数． 【解】 (1)算法步骤如下：

1．用2除7.得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7. 2．用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7. 3．用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7. 4．用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.

5．用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是素数． (2)算法步骤如下：

1．用2除35，得到余数1，因为余数不为0，所以2不能整除35. 2．用3除35，得到余数2，因为余数不为0，所以3不能整除35. 3．用4除35.得到余数3，因为余数不为0，所以4不能整除35.

3

4．用5除35，得到余数0，因为余数为0，所以5能整除35.因此35不是素数．

[能力提升]

1．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是( )

111

①S＝1＋＋＋…＋；②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，

23100且n∈N)．

A．①② C．②③

B．①③ D．①②③

【解析】 因为在②中没有控制项，无穷多项的和，没有结果，就没有算法． 【答案】 B

2．一个算法的步骤如下： 1．输入x的值； 2．计算x的绝对值y； 3．计算z＝2－y； 4．输出z的值．

如果输入x的值为－3，则输出z的值为( ) A．4 C．6

B．5 D．8

y【解析】 分析算法中各变量、各语句的作用，再根据算法的步骤可知： 该算法的作用是计算并输出z＝2－y的函数值． 当输入x的值为－3时，算法步骤如下： 1．输入x的值为－3； 2．计算x的绝对值y＝3； 3．计算z＝2－y＝2－3＝5； 4．输出z的值为5. 故选B. 【答案】 B

3．已知一个算法如下： 1．输入周长a的值； 2．计算边长l＝；

33．计算S＝4．输出S.

该算法的功能是________；若等边三角形周长为12，则该三角形的面积为________．

4

y3

ya32

×l； 4

【解析】 依题设中的算法可知，该算法的功能是输入一个等边三角形的周长，输出该三角形的面积．当等边三角形的周长为12时，面积为43.

【答案】 已知一个等边三角形的周长，求该三角形的面积 43 4．下面给出了解决问题的算法： 1．输入x；

2．若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2

＋3； 3．输出y.

(1)这个算法解决的问题是________；

(2)当输入的x值为________时，输入值与输出值相等． 【解析】 由算法的功能知，该算法为求分段函数

y＝???2x－x，

?的函数值．

?

x2

＋x

当x≤1时，由2x－1＝x得x＝1，符合题意；

当x>1时，由x2

＋3＝x知x无实根，不符合题意．综上知x＝1.

【答案】 (1)y＝???2x－x??

x2

＋x

(2)1

5．设计一个算法，求18 900,22 680和7 560的最大公因数． 【解】 算法步骤：

1．先将18 900进行素因数分解：18 900＝22

×33

×52

×7； 2．再将22 680进行素因数分解：22 680＝23

×34

×5×7； 3．然后将7 560进行素因数分解：7 560＝23

×33

×5×7； 4．确定它们的公共素因数：2,3,5,7；

5．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,5,7的指数分别为2,3,1,1； 6．最大公因数为22

×33

×5×7＝3 780.

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