高中数学必修四公式大全

基本三角函数

Ⅰ

? ? 2?2?2?2?2?Ⅰ、Ⅲ ?Ⅰ、Ⅲ ?Ⅱ、Ⅳ ?Ⅱ、Ⅳ ??Ⅰ ??Ⅱ ??Ⅲ ??Ⅳ Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合：?????,??z ? 终边落在y轴上的角的集合：

???????????????,??z?? 终边落在坐标轴上的角的集合：?????,??z?

22????? 基本三角函数符号记“一全，二正弦，三切，四? 1?180弧度 忆：112S?l r? ? r22余弦” 1801 弧度?度 ?180??? 弧度l?? r?360度?2? 弧度?.tan?cot??1?倒数关系：Sin?Csc??1

Cos?Sec??1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 平方关系：Sin??Cos??1 边对应的三角函数的平方 22tan2??1?Sec2?1?Cot2??Csc2?乘积关系：Sin??tan?Cos? ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin???2k???Sin? , k?zCos???2k???Cos? , k?ztan???2k???tan? , k?z

? 角?与角??关于x轴对称 Cos?????Cos?

tan??????tan?Sin??????Sin?Cos???????Cos?tan???????tan?Sin??????Sin?? 角???与角?关于y轴对称

SinCostanCot? 角???与角?关于原点对称Sin???????Sin?Cos???????Cos?tan??????tan?

?角?2??与角?关于y?x对称 ? ??????Cos?????Sin?Cos??????Sin??2??2????tan?????cot??2????tan??????cot??2????Sin?????Cos??2????Sin?????Cos??2?上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限

三角函数的性质 性 质 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性 y?Sin x R y?Cos x R ??1,1? 2? 奇函数 ??1,1? 2? 偶函数 ????2k??,2k????,k?z,增函数22???3???2k??,2k??,k?z,减函数??22?? ?2k???,2k??,k?z,增函数 ?2k?,2k????,k?z,减函数对称中心 ?k?,0?,k?z x?k??????k??,0?,k?z 2??x?k?,k?z 54对称轴 图 像 ?2 ,k?z 53423yy21x1-8-2π -6-3π /2-4-π -2-π /2Oπ /22π 43π /262π 8-π /2-83π /2O-1x6-1-2π -6-3π /2-4-π -2π /22π 42π 8-2-2-3-3-4-4-5-5 -6 性 质 y?tan x y?cot x 定义域 ????xx????,??z? 2??R ? 奇函数 ?xx???,??z? R ? 奇函数 值 域 周期性 奇偶性 单调性 ?????k??,k???,k?z,增函数 22???k?,k????,k?z,增函数 ???,0?,k?z?k??2??对称中心 对称轴 图 像 ?k?,0?,k?z 无 108 无 y 64y2x-15-10-5-3π /2-π -π /2Oπ /2π 3π /251015-20 x -4-6-8-10 ? 怎样由y?Sinx变化为y?ASin??x????k ？

振幅变化：y?Sinx y?ASinx 左右伸缩变化：

y?ASin?x 左右平移变化 y?ASin(?x??) 上下平移变化 y?ASin(?x??)?k

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 a,a?0,b,如果有

??一个实数?,使得b??a,a?0,则b与a是共线向量；反之如果b与a是共线向量 那么又且只有一个实数?,使得b??a.

Ⅶ 线段的定比分点

点P分有向线段P1P2所成的比的定义式P1P??PP2 . 线段定比分点坐标公式 线段定比分点向量公式 ? x1??x2 x? 1??OP1??OP2. OP?y1??y2 y?1?? 1?? ??

?当??1时 ?当??1时

线段中点坐标公式 线段中点向量公式 x1?x2x? 2 OP1?OP2. OP?y?y12 y? 22

Ⅷ 向量的一个定理的类似推广

向量共线定理： b??a a?0??

?推广

其中e1,e2为该平面内的两个? 平面向量基本定理： a??e ??e , ??? 1122???不共线的向量? ?推广

a??1e1 ??2e2 ??3e3, 空间向量基本定理： ?? 其中e,e,e为该空间内的三个123???不共面的向量???Ⅸ一般地，设向量a??x1,y1?,b??x2,y2?且a?0,如果a∥b那么x1y2?x2y1?0 反过来，如果x1y2?x2y1?0,则a∥b.

Ⅹ 一般地，对于两个非零向量a,b 有 a?b?abCos?，其中θ为两向量的夹角。

Cos??a?bab?x1x2?y1y2x12?y12x22?y22

特别的，a?a?a?a 或者 a?Ⅺ

22a?a

如果 a??x1,y1? , b??x2,y2? 且a?0 , 则a?b?x1x2?y1y2特别的 , a?b?x1x2?y1y2?0Ⅻ 若正n边形A1A2???An的中心为O , 则OA1?OA2?????OAn?0

三角形中的三角问题

? A?B?C?? , A?B?C?? , A?B?? -C

22222?A?B??C?Sin?A?B??Sin?C? Cos?A?B???Cos?C? Sin???Cos?? ?2??2?

?A?B??C?Cos???Sin???2??2?? 正弦定理：

abca?b?c ???2R?SinASinBSinCSinA?SinB?SinCa2?b2?c2?2bcCosA , b2?a2?c2?2acCosB c?a?b?2abCosC 222余弦定理：

b2?c2?a2a2?c2?b2CosA ? , CosB ? 2bc2ac 变形：

222a?b?c CosC ? 2ab? tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

三角公式以及恒等变换

? 两角的和与差公式：Sin??????Sin?Cos??Cos?Sin? , S(???)

Sin??????Sin?Cos??Cos?Sin? , S(???)Cos??????Cos?Cos??Sin?Sin? , C(???)Cos??????Cos?Cos??Sin?Sin? , C(???)

tan??tan? , T(???)1?tan?tan?tan??tan?tan?????? , T(???)1?tan?tan?tan??????? 二倍角公式：

Sin2??2Sin?Cos?tan??tan??tan??????1?tan?tan??变形： tan??tan??tan??????1?tan?tan??

tan??tan??tan??tan?tan?tan?其中?,?,?为三角形的三个内角Cos2??2Cos2??1?1?2Sin2??Cos2??Sin2?tan2??2tan?1?tan2?

? 半角公式：

Sin?2??1?Cos?21?Cos?Cos??222?tan?2??1?Cos?Sin?1?Cos?

??1?Cos?1?Cos?Sin?? 降幂扩角公式：Cos2??1?Cos2? , Sin2??1?Cos2?

21?Sin??????Sin??????21? 积化和差公式：Cos?Sin???Sin??????Sin??????

21Cos?Cos???Cos??????Cos??????21Sin?Sin????Cos??????Cos??????2Sin?Cos??

???????Sin??Sin??2Sin??Cos??2?????????Sin??Sin??2Cos?Sin??? 和差化积公式：?2??????2?????2?????2?????2?S?S?2SC（ S?S?2CS）

C?C?2CCC?C??2SS???????Cos??Cos??2Cos??Cos??2?????????Cos??Cos???2Sin??Sin??2??2tanSin???21?tan2?2? 万能公式:

1?tan2Cos??1?tan2??22

tan??2tan?2

1?tan2?233? 三倍角公式：Sin3??3Sin??4Sin? tan3??3tan??tan?

1?3tan2?Cos3??4Cos3??3Cos?“三四立，四立三，中间横个小扁担”

补充

1．常见三角不等式：（1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?2222. sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式);

cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

)，则1?sinx?cosx?2. (3) |sinx|?|cosx|?1.

asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan?? ).

a3. 三倍角公式 ：sin3??3sin??4sin??4sin?sin(3???)sin(??). 33?cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).333tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??). 21?3tan?334.三角形面积定理：（1）S???111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边222上的高）.

（2）S?111absinC?bcsinA?casinB. 222????????2????????21(3)S?OAB?(|OA|?|OB|)?(OA?OB). 2

人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人

寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿人寿

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