高二精选题库2-12. 数学 数学doc北师大版

第2模块 第12节

[知能演练]

一、选择题

1．如下图，阴影部分面积为

A.?c

?[f(x)－g(x)]dx

a

B.?c

[g(x)－f(x)]dx＋?b??[f(x)－g(x)]dx

a

c

C.?c

x＋b?[f(x)－g(x)]da

??[g(x)－f(x)]dx c

D.?b

?[g(x)－f(x)]dx

c答案：B

解析：本题应画图求解，更为清晰，故选C.,?2

f(x)dx＝?1

2

?x2dx＋??(2－x)dx

0

?0

1

＝13x3| 1122

0＋(2x－2x)| 1 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 答案：C

3．设f(x)＝?x

?sintdt，则f[f(π2

)]等于

0A．－1

B．1

C．－cos1

D．1－cos1

解析：由于?x?

sintdt＝(－cost)| x

0＝1－cosx. 0

∴f(x)＝1－cosx.∴f(ππ2)＝1－cos2

＝1.

( )

( )

( )

π

∴f[f()]＝f(1)＝1－cos1.

2答案：D

x

4．函数F(x)＝?t(t－4)dt在[－1,5]上

?0

( )

A．有最大值0，无最小值

32

B．有最大值0和最小值－

3

32

C．有最小值－，无最大值

3

D．既无最大值也无最小值

xx

解析：F(x)＝?t(t－4)dt＝?(t2－4t)dt

?0?0

13132x2

＝(t－2t)| 0＝x－2x，x∈[－1,5]． 33

令F′(x)＝x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4，

7

∴F(－1)＝－，F(0)＝0，

33225

F(4)＝－，F(5)＝－.

33

32

∴最大值为0，最小值为－.

3

答案：B 二、填空题

5．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________．

3222

解析：s＝?(3t＋2)dt＝(t＋2t)| 1 ?1233

＝×4＋4－(＋2) 22

713

＝10－＝(m)．

22

答案：6.5 m

1711

6．若f(x)是一次函数，且?f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么函数f(x)的解析式是________． ??0?06解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

111

则?(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)| 10＝a＋b＝5. ?022

112

x(ax＋b)dx＝(ax???0?0＋bx)dx

11

＝(ax3＋bx2)| 10 321117＝a＋b＝. 3261

a＋b＝5

?2?a＝4

由，解得?，

1117?b＝3?a＋b＝326

???

∴f(x)＝4x＋3. 答案：f(x)＝4x＋3 三、解答题

7．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.

(1)求常数a，b的值；

(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积． 解：(1)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b， f(1)＝－2且f′(1)＝0， ??1＋a＋b＝－2即?，解得a＝0，b＝－3， ?3＋2a＋b＝0?

即f(x)＝x－3x.

33

(2)作出曲线y＝x－3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称．

所以(－3，0)的阴影面积与(0，3)的阴影面积相等． 所以所求图形的面积为

139＝－2(x4－x2)| 30＝.

422

8．如图所示，抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动．

3

(1)求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a，b)；

(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分．

2

??y＝4－x

(1)解：解方程组?，得x1＝1，x2＝－4.

?y＝3x?

∴抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的交点为 A(1,3)，B(－4，－12)，

∴P点的横坐标a∈(－4,1)．

|3a－b|

点P(a，b)到直线y＝3x的距离为d＝2，

2

1＋3

b－3a

由题知b>3a，∴d＝

10

∵P点在抛物线上，∴b＝4－a2，

12

d′a＝·(4－3a－a)′

101＝(－2a－3)＝0，

1033

∴a＝－，即当a＝－时，d最大，

22

97

这时b＝4－＝，

44

37

∴P点的坐标为(－，)时，△PAB的面积最大．

24

3

(2)证明：设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S，位于x＝－右侧的面积为S1.

2

12512

S＝?－4(4－x－3x)dx＝， ?6

312512

S1＝?－(4－x－3x)dx＝， ?212

3

∴S＝2S1，即直线x＝－平分抛物线与线段AB围成的图形的面积．

2

[高考·模拟·预测] 1．

(sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于

( )

A．－1

C．－3

B．1 D.3 解析： 答案：A

(sinx－acosx)dx＝(－cosx－asinx)＝－a＋1＝2，a＝－1.

1a

2．若?(2x＋)dx＝3＋ln2且a>1，则实数a的值是 ?1x

( )

A．2 C．5

B．3 D．6

1a2a2

解析：?(2x＋)dx＝(x＋lnx)| 1＝a＋lna－1＝3＋ln2，所以有a＝2. ?1x答案：A

3．物体A以速度v＝3t2＋1(m/s)在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间(s)为

( )

A．3 B．4 C．5 D．6

t23

解析：由路程关于时间的函数关系式可知，物体A的路程s＝?(3t＋1)dt＝t＋t，物体

?

0

2

B的路程s＝?10tdt＝5t，又因为物体A、B均在同一直线l上运动，故当物体A追上物体

?

0t

B时，应有t＋t＝5t2＋5，解之得t＝5.

答案：C

4．由两曲线y＝sinx(x∈[0,2π])和y＝cosx(x∈[0,2π])所围成的封闭图形的面积为________．

解析：S＝答案：22 (sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)

2

3

＝22. 5．设函数f(x)＝ax＋c(a≠0)，若?f(x)dx＝f(x0),0≤x0≤1，则x0的值为________．

?0

3

1

axaaa122

解析：f(x)dx＝(ax＋c)dx＝(＋cx)| 故＋c＝ax即ax又a≠0，??0＝＋c，0＋c，0＝，?0?03333

1

1

2

13所以x2. 0＝，又0≤x0≤1，所以x0＝

33

3 3

6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：y＝－t2＋8t，其中(0≤t≤2，t为常数)，l2：x＝2.若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l1，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如下图中的阴影部分所示．

答案：

(1)求a，b，c的值；

(2)求阴影部分的面积S关于t的函数S(t)的解析式；

(3)若g(x)＝6lnx＋m，问是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

c＝0??a×8＋b×8＋c＝0

解：(1)由图形知?

4ac－b??4a＝16

22

，

?a＝－1

?解之得?b＝8

??c＝0

.

2??y＝－t＋8t2

(2)由?得x－8x－t(t－8)＝0， 2

?y＝－x＋8x?

∴x1＝t，x2＝8－t. ∵0≤t≤2，

∴直线l1与f(x)的图象的左交点坐标为(t，－t2＋8t)． 由定积分的几何意义知：

t

S(t)＝?[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx

?0

2

22

＋?[(－x＋8x)－(－t＋8t)]dx ?

2t

x3

＝[(－t＋8t)x－(－＋4x2)]| t0

3

3x

＋[(－＋4x2)－(－t2＋8t)x]| 2t

3440＝－t3＋10t2－16t＋.

33

(3)令φ(x)＝g(x)－f(x)＝x2－8x＋6lnx＋m.

∵x>0，要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有两个不同的交点，则函数φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点．

6

φ′(x)＝2x－8＋

x

2

2x－8x＋62(x－1)(x－3)＝＝(x>0)．

xx

当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；

当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数； 当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0. ∴φ(x)的极大值为φ(1)＝m－7； φ(x)的极小值为φ(3)＝m＋6ln3－15.

当x无限趋近于零时，φ(x)<0，当x无限大时，φ(x)>0.

?φ(1)＝0?φ(3)＝0?∴要使φ(x)＝0有且仅有两个不同的正根，必须且只需或?， ?φ(3)<0?φ(1)>0??m－7＝0

即? ?m＋6ln3－15<0?

??m＋6ln3－15＝0或?. ?m－7>0?

∴m＝7或m＝15－6ln3.

∴当m＝7或m＝15－6ln3时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同的交点．

当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；

当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数； 当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0. ∴φ(x)的极大值为φ(1)＝m－7； φ(x)的极小值为φ(3)＝m＋6ln3－15.

当x无限趋近于零时，φ(x)<0，当x无限大时，φ(x)>0.

?φ(1)＝0?φ(3)＝0?∴要使φ(x)＝0有且仅有两个不同的正根，必须且只需或?， ?φ(3)<0?φ(1)>0??m－7＝0

即? ?m＋6ln3－15<0?

??m＋6ln3－15＝0或?. ?m－7>0?

∴m＝7或m＝15－6ln3.

∴当m＝7或m＝15－6ln3时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同的交点．

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