2010年高考数学ABC三级训练(选修2-1)第一章：常用逻辑用语

（数学选修2-1）第一章[基础训练A组] 一、选择题1．下列语句中是命题的是（ A．周期函数的和是周期函数吗？ C． x + 2 x ? 1 > 02
常用逻辑用语
） B． sin 45 = 10
D．梯形是不是平面图形呢？2
2．在命题“若抛物线 y = ax + bx + c 的开口向下，则 逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ） A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真2 2
{x | ax
2
+ bx + c < 0} ≠ φ
”的
1 1 < 3．有下述说法：① a > b > 0 是 a > b 的充要条件. ② a > b > 0 是 a b 的充要条件.③ a > b > 0 是 a > b 的充要条件.则其中正确的说法有（3 3
）
A． 0 个
B． 1 个
C． 2 个
D． 3 个
[来源:Z。xx。6a1ac23b87c24028915fc3a5]
4．下列说法中正确的是（ ） A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“ a > b ”与“ a + c > b + c ”不等价 C．“ a + b = 0 ,则 a, b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a, b 全不为 0 , 则 a + b ≠ 0 ” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真2 2 2 2
5．若
A : a ∈ R, a < 1
2 , B : x 的二次方程 x + ( a + 1) x + a ? 2 = 0 的一个根大于零,
另一根小于零,则 A 是 B 的（ A．充分不必要条件 C．充要条件 6．已知条件 A．充分不必要条件 C．充要条件
） B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2
p : x +1 > 2
，条件 q : 5 x ? 6 > x ，则 ?p 是 ?q 的（ B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
）
二、填空题1．命题：“若 a ? b 不为零，则 a, b 都不为零”的逆否命题是 。[来源:学科网]
2．
A : x1 , x2
是方程 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 的两实数根；2
B : x1 + x2 = ?
b a,
则 A 是B的 条件。 3．用“充分、必要、充要”填空：
① p ∨ q 为真命题是 p ∧ q 为真命题的_____________________条件； ② ?p 为假命题是 p ∨ q 为真命题的_____________________条件； ③
A: x ? 2 < 32
, B : x ? 4 x ? 15 < 0 , 则 A 是 B 的___________条件。2
4．命题“ ax ? 2ax ? 3 > 0 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_______。 5．“ a + b ∈ Z ”是“ x + ax + b = 0 有且仅有整数解”的__________条件。2
三、解答题
1．对于下述命题 p ，写出“ ?p ”形式的命题，并判断“ p ”与“ ?p ”的真假： （1）
p : 91 ∈ ( A I B ) （其中全集 U = N * ， A = { x | x是质数} ，
B = { x | x是正奇数}（2） （3） （4）
）.[来源:6a1ac23b87c24028915fc3a5]
p : 有一个素数是偶数；.
p : 任意正整数都是质数或合数； p : 三角形有且仅有一个外接圆.
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
2．已知命题 件，求 a 的取值范围。
p : 4 ? x ≤ 6, q : x 2 ? 2 x + 1 ? a 2 ≥ 0(a > 0),
若非 p 是 q 的充分不必要条
3．若 a + b = c ，求证： a, b, c 不可能都是奇数。2 2 2
4．求证：关于 x 的一元二次不等式

ax ? ax + 1 > 0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是2
0（数学选修2-1）第一章[综合训练B组] 一、选择题A． p 或 q 为假 C． q 真
常用逻辑用语
1．若命题“ p ∧ q ”为假，且“ ?p ”为假，则（ B． q 假 D．不能判断 q 的真假 ）2
）
2．下列命题中的真命题是（ A． 3 是有理数 C． e 是有理数 3．有下列四个命题： B． 2 D．
{ x | x是小数}
是实数
R
①“若 x + y = 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若 q ≤ 1 ,则 x + 2 x + q = 0 有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；2
其中真命题为（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④
1 <1 的（ 4．设 a ∈ R ，则 a > 1 是 aA．充分但不必要条件 C．充要条件
） B．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ）
2 2 5．命题：“若 a + b = 0( a, b ∈ R ) ，则 a = b = 0 ”的逆否命题是（
A． 若 a ≠ b ≠ 0( a, b ∈ R ) ，则 a + b ≠ 02 2
B． 若 a = b ≠ 0( a, b ∈ R ) ，则 a + b ≠ 02 2
C． 若 a ≠ 0, 且b ≠ 0( a, b ∈ R ) ，则 a + b ≠ 02 2
D． 若 a ≠ 0, 或b ≠ 0( a, b ∈ R ) ，则 a + b ≠ 02 2
6．若 a, b ∈ R ,使 A．
a + b >1
成立的一个充分不必要条件是( C．
)
a +b ≥1
B． a ≥ 1
a ≥ 0.5, 且b ≥ 0.5
D． b < ?1
二、填空题1．有下列四个命题： ①、命题“若 xy = 1 ，则 x ， y 互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③、命题“若 m ≤ 1 ，则 x ? 2 x + m = 0 有实根”的逆否命题；2
④、命题“若 A I B = B ，则 A ? B ”的逆否命题。 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。 2．已知 p, q 都是 r 的必要条件， s 是 r 的充分条件, q 是 s 的充分条件， 则s是q的 件. 3．“△ ABC 中,若 ∠C = 90 ,则 ∠A, ∠B 都是锐角”的否命题为 ；0
______条件， r 是 q 的
条件， p 是 s 的
条
4．已知 α 、 β 是不同的两个平面，直线 a ? α , 直线b ? 点； 命题 q : α // β ， 则 p是q 的 5．若“
β ，命题 p : a与b 无公共
x ∈ [ 2,5]
或
x ∈ { x | x < 1或x > 4}
条件。 ”是假命题，则 x 的范围是___________。
三、解答题1．判断下列命题的真假： （1）已知 a, b, c, d ∈ R, 若 a ≠ c, 或b ≠ d , 则a + b ≠ c + d .3 2 （2） ?x ∈ N , x > x
（3）若 m > 1, 则方程 x ? 2 x + m = 0 无实数根。 （4）存在一个三角形没有外接圆。2
2．已知命题 值。
p : x 2 ? x ≥ 6, q : x ∈ Z
且“ p且q ”与“非 q ”同时为假命题，求 x 的
3．已知方程 x + (2k ? 1) x + k = 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件。2 2
4．已知下列三个方程：
x 2 + 4ax ? 4a + 3 = 0, x 2 + (a ? 1) x + a 2 = 0, x 2

+ 2ax ? 2a = 0 至少有一个方程有实数根，求实数 a 的取值范围。
（数学选修2-1）第一章[提高训练C组] 一、选择题
常用逻辑用语
1．有下列命题：① 2004 年 10 月 1 日是国庆节，又是中秋节；② 10 的倍数一定是 5 的 倍数； ③梯形不是矩形；④方程 x = 1 的解 x = ±1 。其中使用逻辑联结词的命题有（ ）2
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
2．设原命题：若 a + b ≥ 2 ，则 a, b 中至少有一个不小于 1 ，则原命题与其逆命题 的真假情况是（ ） B．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为假命题
A．原命题真，逆命题假 C．原命题与逆命题均为真命题
3．在△ ABC 中，“ A > 30° ”是“ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
sin A >
1 2 ”的（
4．一次函数 （ ）
y=?
m 1 x+ n n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是
A． m > 1, 且n < 1 5．设集合
B． mn < 0
C． m > 0, 且n < 0
D． m < 0, 且n < 0
M = { x | x > 2} , P = { x | x < 3}）
,那么“ x ∈ M ,或 x ∈ P ”是
“ x ∈ M I P ”的（ A．必要不充分条件 C．充要条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
a + b >1 a +b >1 是 的充分而不必要条件； 6．命题 p : 若 a, b ∈ R ，则命题 q : 函数
y=
x ?1 ? 2
的定义域是
( ?∞, ?1] U [3, +∞ )
，则（
）
A．“ p 或 q ”为假 C． p 真 q 假
B．“ p 且 q ”为真 D． p 假 q 真[来源:学科网ZXXK]
二、填空题1．命题“若△ ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是 ； 2．用充分、必要条件填空：① x ≠ 1, 且y ≠ 2 是 x + y ≠ 3 的 ② x ≠ 1, 或y ≠ 2 是 x + y ≠ 3 的 3.下列四个命题中2 2 ①“ k = 1 ”是“函数 y = cos kx ? sin kx 的最小正周期为 π ”的充要条件；
②“ a = 3 ”是“直线 ax + 2 y + 3a = 0 与直线 3 x + ( a ? 1) y = a ? 7 相互垂直”的充要 条件；
y=③ 函数
2 x +4 2 x + 3 的最小值为 2
其中假命题的为
（将你认为是假命题的序号都填上）3 3 2 2
4． 已知 ab ≠ 0 ，则 a ? b = 1 是 a ? b ? ab ? a ? b = 0 的__________条件。2 5．若关于 x 的方程 x + 2( a ? 1) x + 2a + 6 = 0 .有一正一负两实数根，
则实数 a 的取值范围________________。
三、解答题
1．写出下列命题的“ ”命题： （1）正方形的四边相等。[来源:学科网]
?p
（2）平方和为 0 的两个实数都为 0 。
（3）若 ?ABC 是锐角三角形， 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角。 （4）若 abc = 0 ，则 a, b, c 中至少有一个为 0 。 （5）若 ( x ? 1)( x ? 2) ≠ 0, 则x ≠ 1且x ≠ 2 。
x ?1 ≤2 2 2 ?p 是 ?q 的必要非充 3 2．已知 ； q : x ? 2 x + 1 ? m ≤ 0( m > 0) 若 分条

件，求实数 m 的取值范围。 p : 1?
3．设 0 < a, b, c < 1 ，
1 (1 ? a )b, (1 ? b)c, (1 ? c)a 不同时大于 4 . 求证：
2 4.命题 p : 方程 x + mx + 1 = 0 有两个不等的正实数根，
2 命题 q : 方程 4 x + 4( m + 2) x + 1 = 0 无实数根。若“ p 或 q ”为真命题，求 m 的取值 范围。
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（数学选修2-1） 第一章
常用逻辑用语
[基础训练A组]
一、选择题 1．B 可以判断真假的陈述句 2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题 3．A ① a > b > 0 ? a > b ，仅仅是充分条件2 2
1 1 < 3 3 ② a > b > 0 ? a b ，仅仅是充分条件；③ a > b > 0 ? a > b ，仅仅是充分条件4．D 5．A 6．A 否命题和逆命题是互为逆否命题，有 着一致的真假性
A : a ∈ R, a < 1 ? a ? 2 < 0 ?p : x + 1 ≤ 2, ?3 ≤ x ≤ 1
，充分，反之不行
?p ? ?q ，充分不必要条件
2 2 ， ?q : 5 x ? 6 ≤ x , x ? 5 x + 6 ≥ 0, x ≥ 3, 或x ≤ 2
二、填空题
1．若 a, b 至少有一个为零，则 a ? b 为零 2．充分条件
A? B[来源:学,科,网
3．必要条件；充分条件；充分条件， A : ?1 < x < 5, B : 2 ? 19 < x < 2 + 19, A ? BZ,X,X,K]
4． [ ?3, 0]
ax 2 ? 2ax ? 3 ≤ 0 恒成立，当 a = 0 时， ?3 ≤ 0 成 立；当 a ≠ 0 时，
?a < 0 ? 2 ?? = 4a + 12a ≤ 0 得 ?3 ≤ a < 0 ；∴?3 ≤ a ≤ 05．必要条件 三、解答题 左到右来看：“过不去”，但是“回得来” 1．解：（1） ?p : 91 ? A, 或91 ? B ； p 真， ?p 假；
（2） ?p : 每一个素数都不是偶数； p 真， ?p 假； （3） ?p : 存在一个正整数不是质数且不是合数； p 假， ?p 真；
（4） ?p : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。 2．解：2
?p : 4 ? x > 6, x > 10, 或x < ?2, A = { x | x > 10, 或x < ?2}2
q : x ? 2 x + 1 ? a ≥ 0，x ≥ 1 + a, 或x ≤ 1 ? a, 记B = { x | x ≥ 1 + a, 或x ≤ 1 ? a}[来源:学科网ZXXK]
而 ?p ? q,∴ A2 2
B ，即2
?1 ? a ≥ ?2 ? ?1 + a ≤ 10 ,∴ 0 < a ≤ 3 ?a > 0 ?2 2 2 2 2 2
。2 2 2
3．证明：假设 a, b, c 都是奇数，则 a , b , c 都是奇数 得 a + b 为偶数，而 c 为奇数，即 a + b ≠ c ，与 a + b = c 矛盾 所以假设不成立，原命题成立
?a > 0 ?? 2 2 ? ? = a ? 4a < 0 4．证明： ax ? ax + 1 > 0( a ≠ 0) 恒成立 ?0（数学选修2-1） 第一章一、选择题 1．B
常用逻辑用语
[综合训练B组]
[来源:学科网]
2 2 属于无理数指数幂，结果是个实数； 3 和 e 都是无理数； { x | x是小数} = R 3．C 若 x + y = 0 , 则 x, y 互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；2．B “全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题；2 若 q ≤ 1 ? 4 ? 4q ≥ 0, 即 ? = 4 ? 4q ≥ 0 ,则 x + 2 x

+ q = 0 有实根，为真命题
“ ?p ”为假，则 p 为真，而 p ∧ q （且）为假，得 q 为假
a = 0, b = 0 a ≠ 0, b = 0 a = 0, b ≠ 0 a ≠ 0, b ≠ 0 其中之一 的否定是 另外三个4．A 5．D 6．D
1 <1 a >1? a ，“过得去”；但是“回不来”，即充分条件 a = b = 0 的否定为 a, b 至少有一个不为 0当 a = 1, b = 0 时，都满足选项 A, B ，但是不能得出
a + b >1
当 a = 0.5, b = 0.5 时，都满足选项 C ，但是不能得出 二、填空题 1．①，②，③
a + b >1
A I B = B ，应该得出 B ? A 2．充要，充要，必要 q ? s ? r ? q, q ? s; r ? q ? s ? r , r ? q; s ? r ? p3．若 ∠C ≠ 90 ,则 ∠A, ∠B 不都是锐角0
4．必要
q? p
条件和结论都否定
从 p 到 q ，过不去，回得来
5． 三、解答题
[1, 2 )
x ∈ [ 2,5]
和
x ∈ { x | x < 1或x > 4}
都是假命题，则
? x < 2, 或x > 5 ? ?1 ≤ x ≤ 4
1．解：（1）为假命题，反例： 1 ≠ 4，或5 ≠ 2，而1 + 5 = 4 + 23 2 （2）为假命题，反例： x = 0, x > x 不成立
（3）为真命题，因为 m > 1 ? = 4 ? 4m < 0 ? 无实数根 （4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆。 2．解：非 q 为假命题，则 q 为真命题； p且q 为假命题，则 p 为假命题，即
? x2 ? x ? 6 < 0 ? , ?2 < x < 3, x ∈ Z ? 2 2 x ? x < 6, 且x ∈ Z ?x ? x + 6 > 0 ? ，得
∴ x = ?1, 0,1, 或22 2 3．解：令 f ( x ) = x + (2k ? 1) x + k ，方程有两个大于 1 的实数根
?? = (2k ? 1) 2 ? 4k 2 ≥ 0 ? ? 2k ? 1 ? ?? >1 2 ? 1 0 0 ? 4 即[来源:6a1ac23b87c24028915fc3a5]
1 01 ? 3 ?? 2 < a < 2 ? 1 ? ??1 = (4a) 2 ? 4(?4a + 3) < 0 ? a > , 或a < ? 1 ? 3 2 2 ? ?? 2 = (a ? 1) ? 4a < 0 ? ?2 < a < 0 ? ? ?1 = (2a) 2 ? 4(?2a) < 0 有实数根，则 ? ，即 ? ，得 3 ? < a < ?1 2 3 ∴ a ≤ ? , 或a ≥ ?1 2 。
（数学选修2-1） 第一章
常用逻 辑用语
[提高训练C组]
一、选择题 1．C ①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④ 中有“或” 2．A 因为原命题若 a + b ≥ 2 ，则 a, b 中至少有一个不小于 1 的逆否命题为，若 a, b 都 小于 1 ，则 a + b < 2 显然为真，所以原命题为真；原命题若 a + b ≥ 2 ，则 a, b 中至少有 一个不小于 1 的逆命题为，若 a, b 中至少有一个不小于 1 ，则 a + b ≥ 2 ，是假命题，反例 为 a = 1.2, b = 0.3 3．B 当 A = 170 时，0
sin1700 = sin100 <
1 2 ，所以“过不去”；但是在△ ABC 中，
1 ? 300 < A < 1500 ? A > 300 2 ，即“回得来” m 1 y =? x+ n n 的图象同时经过第一、三、四象限 4．B 一次函数 m 1 ? ? > 0, 且 < 0 ? m > 0, 且n < 0 ? mn < 0

n n ，但是 mn < 0 不能推导回来 5．A “ x ∈ M ,或 x ∈ P ”不能推出“ x ∈ M I P ”，反之可以 sin A >6．D 当 a = ?2, b = 2 时，从 二、填空题
a + b >1
不能推出
a +b >1
，所以 p 假， q 显然为真
1．若△ ABC 的两个内角相等，则它是等腰三角形 2．既不充分也不必要，必要 ①若 x = 1.5, 且y = 1.5 ? x + y = 3 ， 1 + 4 ≠ 3, 而x = 1 ② x ≠ 1, 或y ≠ 2 不能推出 x + y ≠ 3 的反例为若 x = 1.5, 且y = 1.5 ? x + y = 3 ，
x + y ≠ 3 ? x ≠ 1, 或y ≠ 2 的证明可以通过证明其逆否命题 x = 1, 且y = 2 ? x + y = 33．①，②，③2 2 2 ①“ k = 1 ”可以推出“函数 y = cos kx ? sin kx 的最小正周期为 π ”
但是函数 y = cos kx ? sin kx 的最小正周期为 π ，即2
y = cos 2kx, T =
2π = π , k = ±1 2k
② “ a = 3 ”不能推出“直线 ax + 2 y + 3a = 0 与直线 3 x + ( a ? 1) y = a ? 7 相互垂直”
2 2 1 x +4 x + 3 +1 2 y= = = x2 + 3 + a= 2 2 2 x +3 x +3 x + 3 的最小值 5 ；③ 函数 反之垂直推出
为2
x 2 + 3 = t , t ≥ 3, ymin = 3 +令 4．充要 5． ( ?∞, ?3) 三、解答题
1 4 3 = 3 3
a 3 ? b3 ? ab ? a 2 ? b 2 = (a ? b ? 1)(a 2 + ab + b 2 )2a + 6 < 0
1．解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为 0 的两个实数不都为 0 ； （3）若 ?ABC 是锐角三角形， 则 ?ABC 的某个内角不是锐角。 （4）若 abc = 0 ，则 a, b, c 中都不为 0 ； （5）若 ( x ? 1)( x ? 2) ≠ 0, 则x = 1或x = 2 。
?p : 1 ?2．解：
x ?1 > 2, x < ?2, 或x > 10, A = { x | x < ?2, 或x > 10} 3
?q : x 2 ? 2 x + 1 ? m 2 > 0, x < 1 ? m, 或x > 1 + m, B = { x | x < 1 ? m, 或x > 1 + m}?1 ? m < ?2 ? m > 9,∴ m > 9 ? A ，即 ?1 + m > 10 。
Q?p 是 ?q 的必要非充分条件，∴ B
1 1 1 (1 ? a )b > , (1 ? b)c > , 4 4 3．证明：假设 (1 ? a )b, (1 ? b)c, (1 ? c ) a 都大于 4 ，即 1 1? a + b 1 1? b + c 1 (1 ? c)a > ≥ (1 ? a )b > , ≥ (1 ? b)c > , 4 ，而 2 2 2 2 1? c + a 1 1? a + b 1? b + c 1? c + a 3 ≥ (1 ? c)a > , + + > 2 2 得 2 2 2 2 3 3 > 即 2 2 ，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立。 4．解：“ p 或 q ”为真命题，则 p 为真命题，或 q 为真命题，或 q 和 p 都是真命题[来源:学_科_网Z_X_X_K]
当 p 为真命题时，则
?? = m 2 ? 4 > 0 ? ? x1 + x2 = ? m > 0 ?x x = 1 > 0 ? 1 22
，得 m < ?2 ；
当 q 为真命题时，则 ? = 16( m + 2) ? 16 < 0, 得 ? 3 < m < ?1 当 q 和 p 都是真命题时，得 ?3 < m < ?2
∴ m < ?1


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