简单的线性规划常见题型总结

简单的线性规划常见题型

第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z?ax?by截距型)

?x?4y??3?例1.设x,y满足约束条件?3x?5y?25，求z?5x?2y的最值

?x?1?解：可行域是如图所示中?ABC的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,

22) 5作出直线L0：5x+10y=0，再将直线L0平移, 当L经过点B时，y轴截距最小，即z达到最小值，得zmin?7. 当L经过点A时，y轴截距最大，即z达到最大值，得zmax?29,所以最大值是29，最小值是7

?x?y≥0，?小试牛刀:1、若x，y满足约束条件?x?y?3≥0，则z?2x?y的最大值为

?0≤x≤3，??x?y??1,?2、设变量x,y满足约束条件?x?y?1,则目标函数z?4x?y的最大值

?3x?y?3,?

?y?x?3、设变量x、y满足约束条件?x?y?2，则目标函数z?2x?y的最小值为

?y?3x?6??2x?y?4,?4、设x,y满足?x?y?1,则z?x?y的最值为________w.w

?x?2y?2,?第Ⅱ类 求可行域的面积

关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形

?x?y?2?0,?例2.不等式组?x?y?2?0,表示的平面区域的面积是 ( )

?x?2?(A)42 (B)4 (C)22 (D)2

解：可行域是A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4

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?2x?3y?6, 表示的平面区域的面积为 小试牛刀:1、不等式组??x-y?0,?y?0.?。

?x?04y?kx?2、若不等式组?所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是 ?x?3y?43?3x?y?4??x?y?1?0?3、在平面直角坐标系中，若不等式组?x?1?0（?为常数）所表示的平面区域内 的面积等于2，

?ax?y?1?0?则a的值为

第Ⅲ类 距离型目标函数

目标函数形式为“z?x2?y2，z?x2?y2，z?(x?a)2?(y?b)2”。

?x?y?4?例3.已知点 P（x，y）的坐标满足条件?y?x,点O为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________,

?y?1,?最大值等于________.

?x?y≤322小试牛刀:1、设x、y满足条件??y≤x?1，则z?(x?1)?y的最小值 ．

?y≥0??x?2y?10?2x?y?3?2.设D是不等式组?表示的平面区域,则D中的点P(x,y)到直线x?y?10距离的最大值_.

?0?x?4??y?1?x?1?y?1?3、若M,N是?表示的区域内的不同两点，则|MN|的最大值是 。 ．．

x?y?1?0???x?y?6?2x?y?2?0?224、如果点P在平面区域?x?y?2?0上，点Q在曲线x?(y?2)?1上,那么|PQ|的最小值为

?2y?1?0??x?1,?225、已知?x?y?1?0,则x?y的最小值是 . ?2x?y?2?0?第Ⅳ类 斜率型目标函数:

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目标函数为y,y?y1型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，0）,(x1,y1)连线的斜率

xx?x1?x?y?2?0y?例4.设实数x, y满足?x?2y?4?0,则的最大值是 .

x?2y?3?0??x?0x?2y?3小试牛刀:1、 设x,y满足约束条件?，则取值范围是 ?y?xx?1?4x?3y?12??y?xy?1?2、设变量x、y满足约束条件?x?y?2，则最小值为

x?y?3x?6?第Ⅴ类 参数问题

例5.设二元一次不等式组??x?2y?19≥0，?x?y?8≥0，?2x?y?14≤0?所表示的平面区域为M，使函数y?a(a?0，a?1)的图象过区

x，3] 域M的a的取值范围是（ ） A．[1B．[2，10] C．[2，9] D．[10，9]

?y≥1，?1.已知实数x，y满足?y≤2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?1，则实数m等于

?x?y≤m．??x?y≥?，2、若不等式组?表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 ?2x?y≤2，??y≥0，??x?y≤a?x?4y?3?03、如果实数x,y满足?，目标函数z?kx?y的最大值为12，最小值为3，那么实数k为__ ?3x?5y?25?0?x?1??y?x4、使函数f(x)???3y?x的目标函数z?ax?by(ab?0),在x?2,y?2取得最大值的充要条件是

?x?y?4?A |a|?b B |a|?|b| C |a|?b D |a|?|b|

?x?0?y?0?5、在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数z?3x?2y的最大值的变化范围是 ?x?y?s??y?2x?46、已知变量x,y满足约束条件1?x?y?4,?2?x?y?2，若目标函数z?ax?y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为__________ 第3页（共4页）

第Ⅵ类 隐形线性规划问题

例6.在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A?{(x,y)|x?y?1,且x?0,y?0}，则平面区域

B?{(x?y,x?y)|(x,y)?A}的面积为（ ）A．2 B．1 C．

11 D． 24u?v?u?1?x??u?x?y?1??2??,??u?v?0，解析：令?作出区域是等腰直角三角形，可求出面积s??2?1?1

2?v?x?y?y?u?v?u?v?0???2?x?0,小试牛刀:若a?0,b?0，且当??y?0,时，恒有ax?by?1，则以a,b为坐标点P（a，b）所形

?x?y?1?成的平面区域的面积等于____________。

第Ⅶ类 知识点交汇问题:与不等式，函数，向量等知识进行综合命题

?x?4y?3?0,?????例7.已知：点P的坐标（x，y）满足：?3x?5y?25,及A（2，0），则|OP|·cos∠AOP（O为坐标原

?x?1?0.?点）的最大值是 .

?????????????x?4y?3?0,?M(5，2)，故所求最大值为5 解：|OP|?cos?AOP即为OP在OA上的投影长，由??3x?5y?25?x?y?4?yx小试牛刀:1、 x,y满足条件?y?x，那么?的最大值等于_______,最小值等于____________.

xy?x?1??3x?y?0?OA?OP的最大值是 ，2. 已知A（3，3），O为原点，点P(x,y)的坐标满足??x?3y?2?0,则|OA|?y?0??此时点P的坐标是

?3x?y?6?0?233、x，y满足?x?y?2?0 ， 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则?的最小值为

ab?x?0,y?0?

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