用简化牛顿法进行缓和曲线段坐标反算解算

用简化牛顿法进行缓和曲线段坐标反算解算:王景海

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文章编号:167227479(2009)01200152003

用简化牛顿法进行缓和曲线段坐标反算解算

王景海

(北京四方工程建设监理有限责任公司,北京　100039)

ToResoluteGentleCurveSectionCoordinatethrough

InverseCalculationwithSimplifiedNewtonMethod

WangJinghai

摘　要　构造迭代表达式,给出用简化牛顿法进行缓和曲线段任意里程中边桩坐标反算解算的具

体算法,在卡西欧fx24800p计算器上编程实现,并举例验证算法及程序的正确性。

关键词　缓和曲线　坐标反算　简化牛顿法　程序　算例

中图分类号:P258　　　文献标识码:A

缓和曲线段坐标反算解算是线路测量中常见的测

量计算问题,文献[1]和曲线段坐标反算解算的理论方法,论述过不同的解算方法,,。,并fx24800p计算器上编制程序,在实际测量工作中有一定的应用价值。

[2]

(X)N+1N-f(X)/f′

(1)

,都需要计算f’(X)的值,若

f(X)比较复杂,计算f’(X)的工作量就可能很大,此时

用一个给定的常数c来代替f’(X)值,这时迭代表达式

就成为

XN+1=XN-f(X)/c

(2)

1　简化牛顿法解算具体方法111　简化牛顿法介绍

迭代法是方程求根最常用的方法,其基本思想是一种逐次逼近的方法。即首先给定一个粗糙的初始值,然后用同一个迭代公式反复校正这个初值,直到满足预先给出的精度要求为止,该方法的关键是如何构造一个合适的迭代表达式。

对于非线性方程f(X)=0,牛顿法所构造的迭代

收稿日期:2008211212

作者简介:王景海(1970—),男,1994年毕业于南京建筑工程学院工程测量专业,工程师。

这就是简化牛顿法迭代表达式,选取一个合适的c值代入(2)式,即可用此迭代表达式计算。

112　非线性方程和迭代表达式的列立

在缓和曲线自身的独立坐标系中讨论这个问题,如图1所示,点P1(X1,Y1)为已通过坐标变换得到的在线路自身独立坐标系中的坐标点。线路中桩点

P(X,Y)以线路里程桩号L为参数的参数方程可表

示为

X=g(L)Y=h(L)

3

(3a)(3b)

设点P1(X1,Y1)对应的线路中桩点P(X,Y)的桩号为L,距线路中心线的距离为D,中桩点P(X,Y)处的曲线切线转角为B,其正切值即为该点切线的斜率,

[2]　黄泽健.TCA2003全站仪在极坐标法水平位移监测中的应用[J].

挖施工第三方水平位移监测这一典型案例,显示了第

三方监测的公正性和独立性,并在信息化地铁土建施工中促进了安全防御工作的主动性。

参考文献

[1]　JGJ120—99　建筑基坑支护技术规程[S]

徐州建筑职业技术学院学报,2007,7(1):9211

[3]　GB50308—1999　地下铁道、轻轨交通工程测量规范[S][4]　JGJ/T8—97　建筑变形测量规程[S]

[5]　方　晨.Excel2003中文版实用教程[M].上海:上海科学普及出

版社,2007

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铁　道　勘　察2009年第1期

[7]):E=E+1↙

Abs(C-S)≤01001=>C"L="◢≠=>S=C:Goto2:⊿↙

D=(Z[7]-Z[2])/cosZ[1]◢　E"N="◢

Q"ZHUANGHAO"=G+F"+1-1"×C◢　Go2

图1　曲线独立坐标系

to1

由切线与法线相互垂直可以列出如下方程

(Y-Y1)/(X-X1)×tanB=-1

整理得

f(L)=(X-X1)+(Y-Y1)×tanB=0　　(4)式即为非线性方程f(L)=0表达式。

写作迭代格式

(4)

LN+1=LN-((X-X1)+(Y-Y1)×tanB)/c

(5)

曲线独立坐标计算子程序SUB1G"SA"H"SB"A"RA"B"RB"↙

Z[1]=S/2×(2/A+(1/B-1/A)/Abs(H-G)×S)×180/л↙

(sin(X/2×(2/A+(1/B-1/A)/Z[2]=∫

),0,S)↙Abs(H-G)×X)×180/л

(cos(X/2×(2/A+(1/B-1/A)/Z[3]=∫

),0,S)Abs(H-G)×X)×180/л

坐标变换子程序(大地→独立)SUB2

W"Y0"Z"X0"T"AA0"↙

Z[4]=(U-W)×sinT+()×cosT↙Z[5]U-(Z)×sinT↙o>XY--YX"↙=>]:Z[7]=Z[5]:⊿↙Z[6]=Z[5]:Z[7]=Z[4]:⊿

取c=1,则(5)式变为

LN+1=LN-(X-X1)-(Y-Y1)×tanB

(6)

这就是简化牛顿法迭代表达式,虽然它是局部收

敛,但可以证明,在实际工程情况下,在区间[0,L0](L0为缓和曲线中心线总长度)内,初值可以任取,(6)式都可收敛,对初值不敏感。

在区间[0,L0]L1(,),迭代即N次后,若|LN+1-可结束,此时的。

得到L后,P(X,Y)的坐标可求,距离D

值可由下式求得

(7)D=(Y1-Y)/cosB

由(7)式可知,当P1点位于缓和曲线的内侧时,距离D值为正,当P1点位于缓和曲线的外侧时,距离D值为负,因此可以由D值的符号来判断P1点位于缓和曲线的内侧或外侧。

3

3

22　程序说明

卡西欧fx24800p计算器内固化有复化辛普生法数值积分程序,因此曲线独立坐标计算采用数值积分法。针对直线、圆曲线、缓和曲线三种线元,直线RA、RB输入一个相同的巨大数(如1E10),圆曲线RA、RB输入半径,缓和曲线RA、RB输入起终点曲线半径,本程序即可以解算直线、圆曲线、缓和曲线三种线元坐标反算问题。

↙表示按回车键EXE。运行主程序M1,按提示输入点P1的大地坐标,然后调用坐标变换子程序SUB2,将该点的大地坐标变换为线路自身独立坐标系中的坐标(注:大地坐标系X轴顺时针旋转,若先遇到独立坐标系x轴时o=1,若先遇到独立坐标系y轴时o=2);返回主程序,调用曲线独立坐标计算子程序,针对不同线元,输入起终点里程、半径、迭代初值,计算独立坐标;返回,进行迭代计算,若前后中心线长度差值小于预先给定精度,则显示中心线长度L值、距离D值、迭代次数N和里程桩号;否则就将迭代值赋为新的初值,重新调用独立坐标计算子程序重复计算,直到满足预先给定精度为止。

2　卡西欧fx24800p计算器程序211　卡西欧fx24800p计算器程序

卡西欧fx24800p计算器是日本卡西欧公司生产的一种科学计算器,它除了具有一般科学计算功能外,还具有程序功能。程序所须的变量输入、条件转移、无条件转移、关系运算、计数转移、子程序功能它都具备,且有4500字节的数据存储容量,可满足一般工程测量计算需要。

程序清单:主程序M1

Defm7:Lb11:{U,V,S}:U"Y1":V"X1"↙Prog"SUB2":E=0:Lb12:Prog"SUB1"↙

C=S-(Z[3]-Z[6])-tanZ[1]×(Z[2]-Z

3　迭代实例

仍举文献[1]中算例解算,就该文前后论述来看,

用简化牛顿法进行缓和曲线段坐标反算解算:王景海

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该算例实际上为完整回旋曲线,假设其ZH、HY点坐标正确,可推算起算数据为:

ZH点桩号K0+0711105,XZH=46271409,YZH=102131049,AAZH=86°41’33″

正算数据(已知)

桩号/m

K0+0711105

D内/m

D外/m

X坐标/m

Y坐标/m

HY点桩号K0+2081905,XHY=46431218YHY=103491756,AAHY=76°49’24″

A=2341777,L0=1371800,R=400,线路左转。

用本文方法及程序计算所得数据见表1、表2。

表1　缓和曲线ZH到HY正反算数据

反算数据

初值/m

0110

50.00137.800

K0+120

30

46001677

102641220

50.00137.800

K0+160

30

46641404

102971756

50.00137.800

K0+2081905

30

46141008

103561595

50.00137.00

次数

233435555664

L/mD/m

000481895481895481895881895881895881895137180013718001371800

000-30-30-30303030-30-3030

046271409102131049

桩号/m0+07111050+07111050+07111050+12010000+12010000+12010000+16010000+16010000+16010000+20819050+20819050+2081905

表2　缓和曲线YH到HZ正算数据(已知)

桩号/m

K0+0711105

D内/m

D外/m

X坐标/m

Y坐标/m

137.000

43555545366

LD/m

180013718001371800881904881904881904481905481905481905000

000-30-30-30303030-30-30-30

046271049

K0+1204600167710264122050.00137.800

K0+160304664140410297175650.00137.800110

K0+2081905304614100810356159550.00137.80

桩号/m

0+07111050+07111050+07111050+12010010+12010010+12010010+16010000+16010000+16010000+20819050+20819050+2081905

由上表可以看出,不同初值、不同起算方向对迭代次数影响不大,收敛的速度都比较快。

4　结束语

本文所给出的迭代算法及程序已经笔者应用于数个不同工程中线、边线线位检测评定工作中,不论初值是否与真值接近,均能很快收敛于真值。尤其是采用数值积分法计算曲线独立坐标后,本算法及程序实际上为曲线坐标反算通用算法及程序。对于缓和曲线尤为方便,不必区分完整与否,由直缓点向缓圆点或由缓圆点向直缓点起算皆可。

另需指出的是:随着计算机及CAD技术的发展,上述问题也可在CAD中轻点鼠标即可求得。但是鉴于当今卡西欧系列可编程计算器的广泛应用,本文所

提出的方法及程序对实际工程测量工作,尤其是在外业工作时,仍有一定的应用价值。

参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gm3m.html