4概率统计第一章第二节几何概型

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四、几何概型古典概型是关于试验的结果为有限个,且每个结 果出现的可能性相同的概率模型.一个直接的推 广是：保留等可能性，而允许试验的所有可能结 果为直线上的一线段、平面上的一区域或空间中 的一立体等具有无限多个结果的情形，称具有这 种性质的试验模型为几何概型.

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若在一个面积为 S( ) 的区域 中等可能地任意投 点，这 里“等可能”的含义是：点落入 中任何 区域 的可能性的大小与区域A 的面积S(A) 成正 A 比，而与其位置和形状无关.(样本点“均匀分 布”) 记事件 A = {点 入 域 } 落 区 A 则有 由 知 从而

P( A) = tS( A), 中 为 例 数 其 t 比 常P( ) = tS( ) = 1

1 t = S( ) S( A ) P( A = ) S( )

——几何概率

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例8

甲、乙两人相约在早上8点到9点之间在某地会面， 先到者等候另一人20分钟，这时就离开。如果每个人 可在指定的这一小时内任意时刻到达，试计算两人能 会面的概率。 (注：若P(A)=0,则不能得出A为空集。)

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第三节 条件概率一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式

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一、条件概率对 , B两 事 ， 且 ( A) > 0 A 个 件 P

在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为

作 条件概率 记 P(B A)

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例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女 孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ (假定生男生女是等可能的) 解 由题意，样本空间为 = { (男 男， , ) (男， ), 女 (女， ), 男 (女， ) } 女

A 表示事件“至少有一个是女孩”, B 表示事件“两个都是女孩”,则有 A= (男 女 ， , ), , ) } { , ) (女 男 (女 女 B = { (女 女 } , ) 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可 能结果只有三种，而事件B包含的基本事件只 占其中的一种， 所以有 1P(B A) = 3(1)

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在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那 么事件B发生的概率为 这里1 P(B) = 4 P ( B ) ≠ P ( B A)

其原因在于事件

的发生改变了样本空间，使它由原 A 来的 缩减为 A = A,而 P(B A)是在新的样本空间 A 中由古典概率的计算公式而得到的.

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上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用.如果回 到原来的样本空间 中考虑，显然有3 P( A) = 4

从而

即

1 P( AB) = 4 1 1 4 P(B A) = = 3 3 4 P( AB) P(B A ) = P( A)

(2)

关系式(2)不仅对上述特例成立，对一般的古典概 型和几何概型问题，也可以证明它是成立的.

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1 非负性 2 规范性 (3) 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. (定义解释 3 可列可加性P( AB) P(B A ) = P( A)

A 两 事 ， P , 定义1 设 , B是 个 件 且 (A) > 0 称

见P20) 可以验证，条件概率P( |A)满足概率公理化定义中的 三条公理 另有性质见P20.根据具体的情况，可选

用下列两种 方法之一来计算条件概率P(B|A) (1)在缩减后 A 的样本空间中计算； (2)在原来的样本空间 中，直接由定义计算.

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例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球. (1)已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； (2)已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率. 解 记 Ai = { 第i 次取到黑球} ( i = 1, 2) (1)可以在缩减的样本空间 A 上计算。1

因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取 球时，所有可取的球只有9只. A 中所含的基本事 件数为9,其中黑球只剩下2个.所以2 P( A2 A ) = 1 9

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(2)由于第二次取球发生在第一次取球之后，故 A 的结构并不直观.因此，直接在 中用定义计算 P(A1 |A2)更方便些.2

3× 2 1 3 因为 P( A2 ) = (??? P14例 P( A1 A2 ) = = 6) 10×9 15 10

所以

P( A A2 ) 2 1 P( A A2 ) = = 1 P( A2 ) 9

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例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年 龄段的人在下一年仍然存活的概率.根据统计资料 可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718, 存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人， 能够活到51岁的概率是多少？

51 解 记 A = { 活到 岁} B = { 活到 岁} 显然 B A 50因此 AB = B 要求 P(B A) 因为P(A) = 0.90718 P(B) = 0.90135 P( AB) = P(B) = 0.90135P( AB) 0.90135 = ≈ 0.99357 从而 P(B A ) = P( A) 0.90718

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可知该城市的人在50岁 到51岁之间死亡的概率约 为0.00643.在平均意义下， 该年龄段中每千个人中间 约有6.43人死亡.

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二、乘法公式定理1 (乘法公式)设 ( A) > 0,则 P( AB) = P(B A)P( A) P 有

一般地，若A , A ,L, A 是n个事件，且P( A A LA 1) > 0 1 2 n 1 2 n

则由归纳法可得：P(A1 A2 LAn ) = P(An A1 A2 LAn 1)P(An 1 A1 A2 LAn 2 )LP(A2 A1)P(A1)

由 A, B的 置 有 称 ， 此 若 (B) > 0 于 位 具 对 性 因 ， P则由P( AB) P( A B ) = P(B)

可得 P(AB) = P(A B)P(B)

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例4 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地 从袋中取两球.试求两次均取到白球的概率 . 解 记 Ai = { 第i 次取到白球} 要求 显然 因此P( A A2 ) 1a P( A ) = 1 a +ba 1 P( A2 A ) = 1 a + b 1( i = 1, 2)

a 1 a P( A1 A2 ) = P( A2 A1 )P( A1 ) = a + b 1 a + b

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例5 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废 品.为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查， 如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则 他拒绝购买这一批产品.求采购员拒绝购买这批产品 的概率 解 设 Ai = { 被抽查的第i 件产品是废品} (i = 1, 2, 3, 4, 5)

A = {采 员 绝 买 购 拒 购 }则 A = UAii=1 5

从而 A= A A2 A3 A4 A5 1

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由题意，有 P( A1 ) = 95

94 93 P( A2 A1 ) = P( A3 A1 A2 ) = 100 99 98 92 91 P( A4 A1 A2 A3 ) = P( A5 A1 A2 A3 A4 )

= 97 96= P( A5 A1 A2 A3 A4 )P( A4 A1 A2 A3 )P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 ) 95 94 93 92 91 = 100 99 98 97 96 ≈ 0.7696

由乘法定理 P(A) = P(A1 A2 A3 A4 A5 )

于是

P( A) = 1 P( A) ≈ 0.2304

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gm14.html