精品数学讲义—求函数值域的几种方法

数学精品班培训试题 函数值域的几种求法

一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 1.函数y?kx?b(k?0,x?R)的值域为R；

2.二次函数y?ax2?bx?c(a?0,x?R) 当a?0时值域是[4ac?b，+?)，

4a2当a?0时值域是(??,4ac?b]；

24a3.反比例函数y?k(k?0,x?0)的值域为{y|y?0}；

x4.指数函数y?ax(a?0,且a?1,x?R)的值域为R?； 5.对数函数y?logax(a?0,且a?1,x?0)的值域为R；

?6.函数y?sinx, y?cosx (x?R)的值域为[-1，1]；函数y?tanx,x?k?? ,

2 y?cot x (x?k?,k?Z)的值域为R；

二、求值域的方法

1. 分析观察法求值域 有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

1例1：求函数y?的值域。

2?x2解

2. 反函数法求值域 对于形如y?cx?d(a?0)的值域，用函数和它的反函数定义域ax?b和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例2 ：求函数y?解

{y|y?R,且y?1}。

3x?1的值域。 3x?23. 换元法求值域 对形如y?ax?b?cx?d(a?0,c?0)的函数常设t?cx?d来求值域；对形如y?ax?b?c?cx2(a?0,c?0)的函数常用“三角换元”，如令x?cos?来求

1

值域。

例3： 求函数y?2x?3?4x?13的值域。 解

例4： 求函数y?x?1?x2的值域。

解

4. 配方法求值域 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。

2例5： 求函数y?1?x的值域。

4?2x?2?5 5. 用“方程判别式”法求值域 对形如y?a1x2?b1x?c1a2x?b2x?c22(a12?a22?0)的函数常转化

成关于x的二次方程，由于方程有实根，即??0从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。

例6 ：求函数y?

6. 利用三角函数的有界性求值域 对形如y?asinx?c，由于正余弦函数都是有界

bcosx?dx2?xx2?x?1的值域。

函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。

例9：求下列函数的值域：y?

2

sinx

2?cosx

9. 利用函数单调性求值域 考虑函数在某个区间上的单调性，结合函数的定义域，可求得值域。

例10 ：求函数： 2y?x?5x2 的值域。

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