三角函数的诱导公式教案 优质课

三角函数的诱导公式(共5课时)

教学目标：

1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用四组诱导公式求解任意

角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。

2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生直觉猜想与抽象概括的

能力。

3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起学生的困惑与惊讶，激

发学生的好奇心和求知欲，通过小组的合作与交流，来增强学生学习数学的自信心。

教学重点：理解四组诱导公式

利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。

教学难点：四组诱导公式的推导过程

为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变 理解确定符号的方法

教学方法：启发式结合讨论式教学方法，结合多媒体课件演示 教学工具：多媒体电脑，投影仪 教学过程:

一、 问题情景：

回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学

习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢？

思考：你能填好下面的表吗？ ? 3900 6sin ?300 5? 6 7? 6 cos tan 二、 学生活动： 小组讨论：

1、找出我们可以解决的和目前无法解决的

2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解 3、这些角之间有何关联 教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的终边和单位圆的交点的

坐标就是角对应的三角函数值，大家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终

边画出来，它和单位圆的交点记为（x0,y0），然后我们以每两排为一组前后左

右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言，看看你在画图的时候发现了什么。

（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和开始的锐角的关系） 三、 意义建构： 教师指导：请每组推出的代表发言。（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表）

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第一组：由画图发现390的角的终边和

0?0的终边是重合的，它们相差360，由三角函数定6义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。

教师指导：第一组总结的很好，我们可否也把它推广到任意的角呢？总结一下就是“终边相

同的角的三角函数值相同”，如何用符号表示？ 诱导公式一: sin(??2k?)?sin? cos(??2k?)?cos?

tan(??2k?)?tan? （其中k?Z） 教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充） 作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0?360之间角的

正弦、余弦、正切，其方法是先在0?360内找出与角?终边相同的角再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果简单来说就是“大化小”。此处还可以得出三角函数是“多对一”的单值对应，为下面研究函数的周期性打下铺垫。

（此处引出本节课题，在运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用） 第二组：由画图发现?30的角的终边和

00000?的终边是关于x轴对称的，由三角函数定义可知,6它们的余弦值相等，正弦值和正切值互为相反数。

教师指导：第二组总结的也不错，我们可否也把它推广到任意的角？总结一下就是“函数名

不变，正号是余弦”，如何用符号表示？

?-sin? 诱导公式二： sin(??）?cos? cos(??）??）??tan? tan(教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）

作用：把任意负角的正弦、余弦、正切化为该角正角的正弦、

余弦、正切，其方法是对于正弦和正切直接提出负号，对于余弦可以直接去掉负号，简单来说就是“负变正”。此处还可以得出正弦函数与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 第三组：由画图发现

5??的角的终边和的终边是关于y轴对称的，由三角函数定义可知,66它们的正弦值相等，余弦值和正切值互为相反数。

教师指导：第三组总结的也非常好，我们是否也可以把它推广到任意的角？总结一下就是“钝

角化锐角，正弦不变号”，如何用符号表示？

?sin? 诱导公式三: sin(???）?-cos? cos(???）第 2 页 共 5 页

???）??tan? tan(教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）

作用：主要是建立钝角到锐角的一个桥梁，对任意角也是成立的。 第四组：根据画图得到

7??的角的终边和的终边是关于原点对称的，由三角函数定义可知,66它们的正切值相等，正弦值和余弦值互为相反数。

教师指导：第四组总结的很好，我们可以把它推广到任意的角吗？总结一下就是：“第三象

限角，正切不变号”，符号表示？

?-sin? 诱导公式四：sin(???）?-cos? cos(???）???）?tan? tan(四、 数学理论：

1、 我们今天学习的四组诱导公式：

诱导公式一: sin(??2k?)?sin?

cos(??2k?)?cos?

??2k?)?tan? （其中k?Z） tan(?-sin? 诱导公式二： sin(??）?cos? cos(??）??）??tan? tan(?sin? 诱导公式三: sin(???）?-cos? cos(???）???）??tan? tan(?-sin? 诱导公式四：sin(???）?-cos? cos(???）???）?tan? tan(教师指导：观察这四组诱导公式，然后回答下列问题：

1、 公式两边具有什么特点

2、 每个公式中符号特点是什么？如何确定符号的？

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3、 如何记忆这几组公式？

小结：函数的名称不变，符号判断是把?“看作”锐角时的符号。口诀：“函数名不变，符

号看象限。”

2、 思考：公式的互推与转化：

（1） 由公式二、三推导公式四

sin(???）?sin? ??????????sin??????sin? cos(???）?cos????????????cos??????cos? tan(???）?tan????????????tan?????tan?（2）由公式二、三、四任意两个公式，能否推出另外一组公式？ （此处安排学生思考可以分成三组讨论，中间两组并成一大组。）

五、 数学应用： 例1、求值 (1)sin711? (2)cos? (3)tan(?1560?) 647???1?sin(??)??sin?? 666211?3?3???2?cos(2??)?cos?cos(??)??cos?? 444442教师指导：做题之前，仔细想想，遇到不同的角，该选择什么样的公式？使用顺序又是如何？ 解析：（1）sin（2）cos（3）tan(?15600)??tan15600??tan(4?3600?1200)??tan1200 ??tan(1800?600)?tan600?3

总结：一般我们在求解任意角的三角函数值的时候，一般遵循的规则为：“负变正，大化小，

诱导公式到锐角。” 例2、判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)?1?cosx (2)g(x)?x?sinx

教师指导：回忆判断奇偶性的步骤和注意点，思考与本节课所学习内容的联系（公式二）。 解析：（1）因为函数f(x)的定义域为R，且

f(?x)?1?cos(?x)?1?cosx?f(x) ，所以f(x)是偶函数。

（2） 因为g(x)得定义域为R，且

g(?x)??x?sin(?x)??x?(?sinx)??(x?sinx)??g(x) 所以g(x)是奇函数。

sin(14400??)cos(??10800)例3、化简

cos(?1800??)sin(???1800)教师指导：含字母问题，如何处理？注意和例1的联系。

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sin?cos?sin(3600?4??)cos(??3600?3)?解析：原式?

cos[?(1800??)]sin[?(??1800)]cos(1800??)[?sin(??1800)] ?sin?cos???1

(?cos?)sin?变式训练:1.sin(3???)?cos(??4?)

cos(???5?)?sin(????)?sin?cos?sin(???)cos???1

cos(??5?)[?sin?????]?cos?sin? 解析：原式?sin?[??(2n?1)?]?2sin?[??(2n?1)?](n?Z)

sin(??2n?)cos(2n???)sin[(???)?2n?]?2sin[(???)?2n?]?解析：原式 sin(??2n?)cos(2n???)

sin(???)?2sin(???)?sin??2sin? ??sin?cos?sin?cos?

3 ??cos? 2.（此处学生板书，查漏补缺，第二小题难度较大，因为包含了字母n，有的同学可能会进行

讨论，这样也是可以的，最关键的是要注意符号。） 课堂练习:

1、教材P20 1、2、3 2、已知cos(???)??13?，

223、化简sin(?2)?cos(?2??)?tan(2?4?)=_________________

4、2sin(?11100)?sin9600?2cos(?2250)?cos(?2100)?________________ 5、

sin(1440???)?cos(??1080?)=______________________

cos(?180???)?sin(???180?)六、回顾与反思：

1、本节课学习了哪几组公式？ 2、如何记忆这几组公式？

3、任意给出一个角，如何去求解它的三角函数值？步骤是什么？ 七、课后作业：

书第24页13、14两题。

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