用不动点法求数列通项公式

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

1 用不动点法求递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南

（安徽省岳西中学 246600）

1．通项的求法 为了求出递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?=

+1d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有c t k t n n +?=+1 （k ≠0）,

∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,

由kx+c=x ?x=

k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k

c t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-?--=--n n k k c t k c t ?11)1(1-?--+-=n n k k

c t k c t . (2)当c ≠0时,

数列{n t }的特征函数为：)(x f =d

x c b x a +?+?

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

2 由x d

x c b x a =+?+?0)(2=--+?b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有:

0)(121=--+b x a d cx ,0)(222

=--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+= (1)

222)(x a d cx b -+=……(2) 又设2

12111x t x t k x t x t n n

n n --?=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数). 由212111x t x t k x t x t n n n n --?=--++ ?2121x t x t k x d

t c b t a x d t c b t a n n n n n n --?=-+?+?-+?+? ?2

12211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n

n n n n --?=--+--+……(3) 将(1)、（2）式代入(3)式得:

212

2221121x t x t k ax t cx cx at ax t cx cx at n n n n n n --?=--+--+ ?212211))(())((x t x t k x t cx a x t cx a n n n n --?=---- ?2

1cx a cx a k --= ∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证02

1≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1212111-???? ??--?--n cx a cx a x t x t

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

3 ?12121111212111211--???? ??--?---???? ??--?--?-=n n n cx a cx a x t x t cx a cx a x t x t x x t .

2．应用举例

例1：已知数列{a n }中，a 1=2，3121+=+n n a a ，求{a n }的通项。 解：因为{a n }的特征函数为：312)(+=

x x f , 由1312)(=?=+=

x x x x f , ∴3

121+=+n n a a ?)1(3211-=-+n n a a ∴数列{a n -1}是公比为

3

2的等比数列, ∴a n -1=11)32)(1(--n a ?a n =1+1)32(-n . 例2已知数列{a n }中，a 1=3，1

241+-=+n n n a a a ，求{a n }的通项。 解：因为{a n }的特征函数为：124)(+-=

x x x f , 由2,10231

24)(212==?=+-?=+-=x x x x x x x x f 设212111--?=--++n n n n a a k a a ?2121

241124--?=-+--+-n n n n n n a a k a a a a ?214233--?=--n n n n a a k a a ?2

1)2()1(23--?=--?n n n n

a a k a a 23=?k 即2

1232111--?=--++n n n n a a a a ,

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

4 ∴数列?

?????--21n n a a 是公比为23的等比数列. ∴111232121-??? ???--=--n n n

a a a a

∵a 1=3,∴123221-??? ???=--n n n a a ?12123

2322-----?-=n n n n n a . 例3已知数列{a n }中，a 1=2，n

n n a a a -+=+111，求{a n }的通项。 解：因为{a n }的特征函数为：x x x f -+=

11)(, 由x x

x x f =-+=11)(?i x i x x -==?=+212,01 设i a i a k i a i a n n n n +-?=+-++11?i a i a k i a a i a a n n n

n n n +-?=+-+--+1111 ?i a i a k i a i a i a i a n n n n n n +-?=-+++-+11?i

a i a k i a i a i i n n n n +-?=+-?-+)()(11 i i k -+=

11即i a i a i i i a i a n n n n +-?-+=+-++1111, ∴数列?

?????+-i a i a n n 是公比为i i -+11的等比数列. ∴11111-??? ??-+?+-=+-n n n i i i a i a i a i a

∵a 1=2,∴11122-??? ??-+?+-=+-n n n i i i i i a i a ?()122-?+-=+-n n n i i

i i a i a ?1)2(221)2(---++--=n n n i

i i i i i a .

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

5 例4已知数列{a n }的前n 项和为n S ，211=a ，)1(2--=n n a n S n n ，求{a n }的通项。

解：∵ )1(2--=n n a n S n n ……①

∴n n a n S n n )1()1(121+-+=++……② ②-①得：)1()1()1(2121-++--+=++n n n n a n a n a n n n

?2)2(1+=++n n na a n ?2

221+++=

+n a n n a n n ……③ 因为{a n }的特征函数为：2

22)(+++=n x n n x f , 由x n x n n x f =+++=222)(?x=1. 设n n b a =-1?1+=n n b a ，111+=++n n b a ……④ 将④代入③得：22)1(211++++=++n b n n b n n ?n n b n n b 21+=+?2

1+=+n n b b n n ∴13423121-?????

=n n n b b b b b b b b b b ，∵21111-=-=a b ∴)1(11153423121+-=+-?????-=n n n n b n ∴)1(111+-=+=n n b a n n 。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/glvq.html