浙江省绍兴一中2015届高考数学模拟试卷（文科）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知全集为U=R，集合M={x|x﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x+1}，则M∩（?UN）为（） A． {x|﹣1≤x＜1} B． {x|﹣1≤x≤1} C． {x|1≤x≤3} D．{x|1＜x≤3}

2．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．（5分）已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（） A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β B．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β C．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β

4．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则

实数a的值为（） A．或﹣1

5．（5分）已知函数

点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则 A． 6π

6．（5分）过双曲线

B． 7π

C． 12π

与直线等于（）

D．13π

相交，若在y轴右侧的交

B． 2或

C． 2或1

D．2或﹣1

（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支

于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（） A．

7．（5分）若等差数列{an}满足a1+a10=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（） A． 60 B． 50 C． 45 D．40

B． C． 3 D．

8．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（） A． [1，2）

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分． 9．（6分）已知函数

10．（6分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则f（x）在

时的值域是；若将函数

对称，则实数a

，则f（2）=；不等式f（x）＜3的解．

y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于直线

的最小值为． 11．（6分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是，表面积

是．

12．（6分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则

双曲线方程为，过其右焦点且长为4的弦有条． 13．（4分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则

的最大值是．

14．（4分）已知圆C：（x﹣a）+（y﹣a+2）=1，A（0，2），若圆C上存在一点M，满足

MA+MO=10，则实数a的取值范围是．

15．（4分）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；

（3）若b=3，求△ABC的面积．

17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成角；

（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．

，A+3C=π．

18．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=210．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设

，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N），使得b1、bm、bk成等比数列．若

存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

19．（15分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆x+（y+1）=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足

（λ＞0），求λ的取值范围．

20．（14分）已知f（x）=2x﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．（1）求实数t的取值范围

（2）若x1、x2∈[α，β]且x1≠x2，求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；（3）设

求λ的取值范围．

，对于任意x1、x2∈[α，β]上恒有|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（β﹣α）成立，

浙江省绍兴一中2015届高考数学模拟试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知全集为U=R，集合M={x|x﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x+1}，则M∩（?UN）为（） A． {x|﹣1≤x＜1} B． {x|﹣1≤x≤1} C． {x|1≤x≤3} D．{x|1＜x≤3}

考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．

分析：先化简集合M，再计算M∩（CUN）．解答：解：∵M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤3}，

N={y|y=x+1}={y|y≥1}，∴?UN={y|y＜1}， ∴M∩（CUN）={x|﹣1≤x＜1} 故选：B．

点评：本题主要考查了集合的交，补运算，属基础题型，较为简单．

2．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：计算题．

分析：首先解不等式，然后再找出┐p和q的关系．解答：解：∵p：x≤1， ?p：x＞1， q：＜1?x＜0，

或x＞1，

故q是?p成立的必要不充分条件，故选B．

点评：找出?p和q的关系，考查必要条件和充要条件的定义，比较简单． 3．（5分）已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（） A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β B．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β C．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β

考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题．

分析：根据线面平行及线线平行的几何特征，结合面面平行的判定方法，可以判断A的真假；

由线面垂直的几何特征及面面垂直的判定方法可以判断B的真假，根据线面垂直及面面平行的几何特征，可以判断C的真假，

根据线面垂直，面面垂直及线线垂直之间的互相转化，可以判断D的真假，进而得到答案．解答：解：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故A错误若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以B错误．若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，且则α⊥β，故C错误；若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故D正确故选D

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面、面面得位置关系，以及与其有关的判定定理与性质定理．

4．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则

实数a的值为（） A．或﹣1

B． 2或

C． 2或1

D．2或﹣1

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．

若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，

若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，

若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．

5．（5分）已知函数

点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则

与直线等于（）

相交，若在y轴右侧的交

A． 6π B． 7π C． 12π D．13π

考点：函数的零点与方程根的关系；两点间的距离公式．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．

分析：利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M1，M2，

M3，…M13的坐标，从而可求解答：解：∵y=2sin（x+∴由题意得：sin2x=， ∴2x=2kπ+∴x=kπ+

或2x=2kπ+或x=kπ+

，

的值．

）cos（x﹣

）=2cosxsinx=sin2x，

，k∈Z，

∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，

∴得M1（∴∴故选A．

，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+

，0），

=（6π，0）， =6π．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的

坐标是关键，属于中档题．

6．（5分）过双曲线

（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支

于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（） A．

B．

C． 3

D．

考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．

分析：设F1（﹣c，0），P（x0，y0），依题意可求得直线PF1的方程为：y=（x+c），△MF1O

为直角三角形，经分析知OM为直角三角形PF1F2的中位线，从而可求得|PF1|与|PF2|，利用双曲线定义及离心率公式即可求得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），P（x0，y0），依题意，直线PF1的方程为：y=∵M为线段PF1的中点， ∴∴x0=c， ∴y0=

（x0+c）=

c，m=

c．

=0，m=

．

（x+c），设直线PF1与y轴的交点为M（0，m），

∵△MF1O为直角三角形，∠PF1O=30°， ∴|MF1|=2|OM|=2m=

c；

又M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点， ∴OM为直角三角形PF1F2的中位线， ∴|PF1|=

c，|PF2|=

c， c，．

∴2a=|PF1|﹣|PF2|=∴其离心率e==

故选D．

点评：本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义，求得|PF1|与|PF2|是关键，考查作图、分析、与运算能力，属于中档题．

7．（5分）若等差数列{an}满足a1+a10=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（） A． 60 B． 50 C． 45 D．40

考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．

分析：设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式得（a10﹣9d）+a10=10，由求和公式可得a10=

代入（a10﹣9d）+a10=10整理可得关于d的方程，由△≥0可得S的不等

式，解不等式可得．

解答：解：设等差数列的公差为d，由a1+a10=10得，（a10﹣9d）+a10=10，因为S=a10+a11+…+a19=10a10+45d，则a10=

，代入（a10﹣9d）+a10=10，

并整理可得（135+45）d﹣360dS+2S﹣1000=0，

22222

由关于d的二次方程有实根可得△=360S﹣4（135+45）（2S﹣1000）≥0，

化简可得S≤2500，解得S≤50 故选：B．

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及二次函数方程根的存在性，考查转化思想，属中档题． 8．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（） A． [1，2）

B．

C．

D．

考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合．

分析：根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可

解答：解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x

所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．

由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，

如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）

所以可得k的范围为

故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．

二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分． 9．（6分）已知函数

，则f（2）=﹣4；不等式f（x）＜3的解{x|x＞﹣3}．

考点：分段函数的应用．专题：不等式．

分析：（1）将x=2代入函数的表达式，求出f（2）即可；

（2）分别解﹣x＜3，x+2x＜3，从而求出不等式的解．解答：解：（1）x≥0时，

f（x）=﹣x， ∴f（2）=﹣4；

（2）①x≥0时，﹣x＜3，∴x≥0，

②x＜0时，x+2x＜3，解得：﹣3＜x＜0，综合①②得：x＞﹣3，

故答案为：﹣4，{x|x＞﹣3}．

点评：本题考察了分段函数的应用，考察不等式的解法问题，是一道基础题．

10．（6分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则f（x）在

时的值域是[﹣1，]；若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于直线则实数a的最小值为

．

对称，

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．

分析：利用辅助角公式将函数进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．

解答：解：f（x）=sin2x﹣cos2x=∵

，

∈[﹣

，

sin（2x﹣），

∴2x∈[0，π]，2x﹣sin（2x﹣

）∈[

]，

，1]，

]，

sin（2x﹣）∈[﹣1，

故函数f（x）的值域为[﹣1，]，

若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到： y=

sin[2（x+a）﹣

sin（2x+2a﹣对称，

），

若此时函数恰好关于直线则2×即2a=a=

++2a﹣+kπ，，k∈Z，

+kπ，

故当k=0时，实数a的最小值为故答案为：

；

，

点评：本题主要考查三角函数值域以及三角函数图象平移的判断，根据三角函数的图象和

性质是解决本题的关键．

11．（6分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是100cm，表

面积是（）cm．

考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．

分析：由三视图知几何体为长方体砍去一个三棱锥，根据三视图的数据求出长方体的棱长、三棱锥的高和底面上的边长，代入体积公式和面积公式计算即可．

解答：解：由三视图可得，原几何体为：一个长宽高分别为6cm、3cm、6cm的长方体砍去一个三棱锥，

且三棱锥的底面为直角边分别为3cm、4cm直角三角形，高为4cm，如图：

∴该几何体的体积V=3×6×6﹣

表面积S=2（6×3×2+6×6）﹣（3×4×2+4×4）+=（cm）．

故答案为：100cm；（

=108﹣8=100（cm），

）cm．

点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．

12．（6分）已知双曲线与椭圆

有相同的焦点，且以

为其一条渐近线，则

双曲线方程为，过其右焦点且长为4的弦有3条．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：利用已知条件求得双曲线方程，求弦长为4时可先寻找临界的直线，一条平行x轴，一条垂直x轴．

解答：解：由双曲线与椭圆有相同的焦点，可设双曲线的方程为

，

以为其一条渐近线，所以

，①6=a+b②，

由①②解得：a=4，b=2．所以双曲线的方程为

；

，即弦长

右焦点坐标为（），当过右焦点的直系垂直x轴时，代入双曲线方程得y=为2＜4，故过右焦点的在右支上有2条弦长为4的直线，加上过右焦点的x轴的弦长为2+2=4．故一共有3条．故答案为：

；3

点评：本题主要考查双曲线方程得求解方法和求定长的弦长的个数，属于中档题，在选择题填空题中常涉及． 13．（4分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则

的最大值是2．

考点：向量在几何中的应用．专题：转化思想．

分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，

如图∠BAX=故

﹣θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（

﹣θ）=cosθ

=（cosθ+sinθ，cosθ）

=（sinθ，cosθ+sinθ），

同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即∴

=（cosθ+sinθ，cosθ）?（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，的最大值是2

故答案是 2

点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．

14．（4分）已知圆C：（x﹣a）+（y﹣a+2）=1，A（0，2），若圆C上存在一点M，满足

MA+MO=10，则实数a的取值范围是[0，3]．

考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．

分析：设M（x，y），利用MA+MO=10，可得M的轨迹方程，利用圆C上存在点M，满

足MA+MO=10，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．解答：解：设M（x，y），

∵MA+MO=10， 2222

∴x+（y﹣2）+x+y=10， 22

∴x+（y﹣1）=4，

∵圆C上存在点M，满足MA+MO=10， ∴两圆相交或相切， ∴1≤

≤3，

∴0≤a≤3．

故答案为：[0，3]

点评：本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M的轨迹方程是关键． 15．（4分）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围

．

考点：平面与平面垂直的性质．

专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．

分析：先画出折叠后的图形，根据已知条件可分别以EB，ED，EA三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并可求出图形上一些点的坐标，根据P，Q分别为线段AE、EB上的点，

可设P（0，0，z），Q（x，0，0）．这时可由MQ⊥PN得到从而可以得到PQ的长度|PQ|=

，从而可得到z=1﹣2x，

，这时候，根据x，z的范围可求出x的范围，

由x的范围即可求出|PQ|的取值范围．

解答：解：如图，由条件知EB，ED，EA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：

E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），N（2，1，0），D（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）；

P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点； ∴设P（0，0，z），Q（x，0，0），x，z∈[0，2]； ∴

∵MQ⊥PN； ∴

=0；

，

；

∴z=1﹣2x；

∵x，z∈[0，2]，∴0≤1﹣2x≤2；解得∴∴

时，|PQ|取最小值

；

，x=0时，|PQ|取最大值，1]．

；

∴PQ长度的取值范围为[故答案为：[

]．

点评：考查二面角的大小的定义，弄清图形折叠前后的变化，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直的问题的方法，能够确定空间点的坐标，以及配方求函数最值的方法，注意正确确定变量的范围．

（3）若b=3，求△ABC的面积．

，A+3C=π．

考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；解三角形．

分析：（1）由题意可得B=2C．又由正弦定理及已知得（2）由C∈（0，π），可得sinC，根据sinB=sin2C即可求值．（3）由B=2C，可得cosB，又A+B+C=π，可求sinA=sin（B+C），由得C，由面积公式即可得解．解答：解：（1）因为A+B+C=π，A+3C=π，

所以B=2C． …（2分）又由正弦定理，得化简得，

，

，即可得解．

，，可

． …（5分）

．

． …（8分）

（2）因为C∈（0，π），所以所以

（3）因为B=2C，所以

因为A+B+C=π，所以…（12分）因为

，

，所以

．

． …（10分）

．

所以△ABC的面积． …（14分）

点评：本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，同角三角函数关系式，三角形面积公式的应用，属于基础题．

17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成角；

（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．

考点：直线与平面所成的角．

专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．

分析：（1）先设AB=b，AD=2﹣b，分别以AB，AD，AA1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可写出空间一些点的坐标，根据条件即可求出b=1．设平面A1CD的法向

量为

A1CD所成角为θ，由sin

，根据即可求出法向量即可求出θ；

，设直线BA1和平面

（2）设存在P点满足条件，设P（x，y，z），从而有，这样即可用t，b表示出P

点坐标，而根据即可求出b，t，从而能够确定出P点的位置．

解答：解：设AB=b，则AD=2﹣b，分别以边AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），B（b，0，0），C（b，

2﹣b，0），D（0，2﹣b，0），A1（0，0，1）；

（1）根据条件，2（AB+AD）=4； ∴2=AB+AD≥2；

∴AB?AD≤1，当AB=AD=1时取“=”，∴此时b=1，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）； ∴的法向量为

，

，则：

，

，设平面A1CD

；

取z1=1，则

；

设直线BA1与平面A1CD所成角为θ，则： sinθ=

；

∴θ=30°；

即直线BA1和平面A1CD所成角为30°；

（2）假设在线段A1C上存在点P满足条件，设P（x，y，z），∴存在t，使∴（x，y，z﹣1）=t（b，2﹣b，﹣1）； ∴P（bt，（2﹣b）t，1﹣t），

；

，

；

∴；

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上A1P：PC=2：1处．点评：考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角，解决线面垂直问题的方法，基本不等式的运用，长方体的体积公式，以及平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式，线面垂直的性质，两向量垂直的充要条件．

18．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=210．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设

，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N），使得b1、bm、bk成等比数列．若

存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．

分析：（1）设出其首项和公差，直接利用S10=55，S20=210求出首项和公差即可求数列{an}的通项公式；（2）先求出

，再代入b1、bm、bk成等比数列对应的等量关系，求出m、k之

间的关系式，再利用题中k＞m≥2，k，m∈N，即可求出对应的m、k的值．解答：解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则

．（1分）

由已知，得（3分）

即解得

（5分）

所以an=a1+（n﹣1）d=n（n∈N）．（6分）（2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b1、bm、bk成等比数列，

则bm=b1bk．（7分）因为

，（8分）

所以所以

．

．（9分）

整理，得

．（10分）

因为k＞0，所以﹣m+2m+1＞0．（11分）解得．（12分）

因为m≥2，m∈N，所以m=2，此时k=8．

故存在m=2、k=8，使得b1、bm、bk成等比数列．（14分）

点评：本题第一问主要考查利用等差数列的前n项和求数列{an}的通项公式以及等比关系的确定，是对等差数列，等比数列基础知识的考查．作这一类型题目，一般是设出基本量，利用已知条件列出等量关系，再进行求解即可． 19．（15分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆x+（y+1）=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足

（λ＞0），求λ的取值范围．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（Ⅰ）设抛物线方程为x=2py，把点（2，1）代入求得p即可；

（II）因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与

系数的关系及已知满足

（λ＞0），即可得出λ的取值范围．

解答：解（Ⅰ）设抛物线方程为x=2py，

由已知得：2=2p所以 p=2

所以抛物线的标准方程为 x=4y．（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以

把直线方程代入抛物线方程并整理得：x﹣4kx﹣4t=0

由△=16k+16t=16（t+2t）+16t＞0 得 t＞0或t＜﹣3 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k由