2018年江苏高考数学二轮复习教师用书:第1部分 知识专题突破 专

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专题十 平面解析几何

———————命题观察·高考定位———————

(对应学生用书第44页)

1.(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 27-y 23

=1的焦距是________. 210 [∵a 2=7,b 2=3,∴c 2=a 2+b 2=7+3=10,

∴c =10,∴2c =210.] 2.(2016·江苏高考)如图10-1,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0) 的右焦点,直线y =b 2 与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC =90°,则该椭圆的离心率是________.

图10-1 63 [由题意得B ? ????-32a ,b 2,C ? ????32a ,b 2,∴BF →=? ????c +32a ,-b 2,CF →=?

????c -32a ,-b 2,∵BF →·CF →=0,因此c 2-? ????32a 2+? ??

??b 22=0?3c 2=2a 2?e =63.] 3.(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.

(x -1)2+y 2=2 [直线mx -y -2m -1=0经过定点(2,-1).

当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径r 满足r 2=(1-2)2+(0+1)2=2.]

4.(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 23

-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是________. 23 [如图所示,双曲线x 23

-y 2

=1的焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0), 所以|F 1F 2|=4. 双曲线x 23-y 2=1的右准线方程为x =a 2c =32,

渐近线方程为y =±

33x . 由????? x =32

,y =33x ,得P ? ??

??32,32. 同理可得Q ? ????32,-32. ∴|PQ |=3, ∴S 四边形F 1PF 2Q =12·|F 1F 2|·|PQ |=12

×4×3=2 3.] 5.(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2

=50

上.若PA →·PB →

≤20,则点P 的横坐标的取值范围是________.

【导学号:56394068】

[-52,1] [法一:因为点P 在圆O :x 2+y 2=50上,

所以设P 点坐标为(x ,±50-x 2)(-52≤x ≤52).

因为A (-12,0),B (0,6), 所以PA →=(-12-x ,-50-x 2)或PA →

=(-12-x ,50-x 2),

PB →=(-x,6-50-x 2)或PB →

=(-x,6+50-x 2). 因为PA →·PB →

≤20,先取P (x ,50-x 2)进行计算,

所以(-12-x )·(-x )+(-50-x 2)(6-50-x 2)≤20,

即2x +5≤50-x 2.

当2x +5≤0,即x ≤-52

时,上式恒成立; 当2x +5≥0,即x ≥-52

时,(2x +5)2≤50-x 2, 解得-52

≤x ≤1,故x ≤1. 同理可得P (x ,-50-x 2)时,x ≤-5.

又-52≤x ≤52,所以-52≤x ≤1.

故点P 的横坐标的取值范围为[-52,1].

法二:设P (x ,y ),则PA →=(-12-x ,-y ),PB →

=(-x,6-y ).

∵PA →·PB →

≤20,

∴(-12-x )·(-x )+(-y )·(6-y )≤20,

即2x -y +5≤0.

如图,作圆O :x 2+y 2=50,

直线2x -y +5=0与⊙O 交于E ,F 两点,

∵P 在圆O 上且满足2x -y +5≤0,

∴点P 在EDF 上.

由????? x 2+y 2=50,2x -y +5=0得F 点的横坐标为1,

又D 点的横坐标为-52,

∴P 点的横坐标的取值范围为[-52,1].]

6.(2016·江苏高考) 如图10-2,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :x 2+y 2

-12x -14y +60=0及其上一点A (2,4).

图10-2

(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x =6上,求圆N 的标准方程;

(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ,C 两点,且BC =OA ,求直线l 的方程;

(3)设点T (t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA →+TP →=TQ →

,求实数t 的取值范围.

【导学号:56394069】

[解] 圆M 的标准方程为(x -6)2+(y -7)2=25,

所以圆心M (6,7),半径为5.

(1)由圆心N 在直线x =6上,可设N (6,y 0).

因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,

所以0<y 0<7,圆N 的半径为y 0,从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.

因此,圆N 的标准方程为(x -6)2+(y -1)2

=1.

(2)因为直线l ∥OA ,

所以直线l 的斜率为4-02-0

=2. 设直线l 的方程为y =2x +m ,

即2x -y +m =0,

则圆心M 到直线l 的距离 d =|2×6-7+m |5=|m +5|5

. 因为BC =OA =22+42=25,

而MC 2=d 2+? ??

??BC 22, 所以25=m +

22+5,

解得m =5或m =-15.

故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0.

(3)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).

因为A (2,4),T (t,0),TA →+TP →=TQ →

所以????? x 2=x 1+2-t ,y 2=y 1+4.①

因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②

将①代入②,得(x 1-t -4)2+(y 1-3)2=25.

于是点P (x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x -(t +4)]2+(y -3)2=25上,

从而圆(x -6)2+(y -7)2=25与圆[x -(t +4)]2+(y -3)2=25有公共点,

所以5-5≤t +-6]2+-2≤5+5,

解得2-221≤t ≤2+221.

因此,实数t 的取值范围是[2-221,2+221].

[命题规律]

(1)题量稳定:解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右,其中填空题占两道,解答题占一道;其所占平均分值为22分左右,所占平均分值比例约为14%.

(2)整体平衡,重点突出:重点内容重点考,直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程、

几何性质等是高考命题的重点.

主要集中在如下几个类型:

①求曲线方程(类型确定,甚至给出曲线方程);

②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题(含切线问题);

③与圆锥曲线定义有关的问题(涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线,利用余弦定理等); ④与曲线有关的最值问题(含三角形和四边形面积);

⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等); ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少).

———————主干整合·归纳拓展———————

(对应学生用书第45页)

[第1步▕ 核心知识再整合]

1.直线的方程

点斜式:y -y 1=k (x -x 1); 截距式:y =kx +b ;两点式:

y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1; 截距式:x a +y b =1;一般式:Ax +By +C =0,其中A 、B 不同时为0.

2.两条直线的位置关系

(1)两直线平行?两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在;

(2)两直线垂直?两直线的斜率之积为-1或一直线斜率不存在,另一直线斜率为零;

(3)与已知直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)平行的直线系方程为Ax +By +m =0(C ≠m );

(4)若给定的方程是一般式,即l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则有下列结论: l 1∥l 2?A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0;l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0.

(5)两平行直线间距离公式:

Ax +By +C 1=0(A ≠0,B ≠0)与Ax +By +C 2=0(A ≠0,B ≠0,C 1≠C 2)的距离d =

|C 1-C 2|A 2+B 2

. 3.圆的方程

(1)圆的标准方程:(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),圆心为(a ,b ),半径为r . (2)圆的一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0),圆心为? ????-D 2

,-E 2,半径为r =D 2+E 2-4F

2.

4.直线与圆相关问题的两个关键点

(1)三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理.

(2)两个公式:点到直线的距离公式d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B

2,弦长公式|AB |=2r 2-d 2(弦心距d ).

5.圆锥曲线的定义

(1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|);

(2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|);

(3)抛物线:|MF |=d (d 为M 点到准线的距离).

6.圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2+x 2

b 2=1(a >b >0)(焦点在y 轴上); (2)双曲线:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2-x 2

b 2=1(a >0,b >0)(焦点在y 轴上);

(3)抛物线:y 2=2px ,y 2=-2px ,x 2=2py ,x 2

=-2py (p >0).

7.圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆:e =c a =1-b 2a

2. (2)双曲线:①e =c a =1+b 2

a

2; ②渐近线方程:y =±b a x 或y =±a

b x ;

(3)抛物线:设y 2=2px (p >0),C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)为抛物线上的点,F 为其焦点. ①焦半径|CF |=x 1+p 2

; ②过焦点的弦长|CD |=x 1+x 2+p ;

③若直线CD 过焦点,则x 1x 2=p 24

,y 1y 2=-p 2. 8.直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法:

将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法:

将直线方程与双曲线方程联立,消去y (或x ),得到一个一元方程ax 2+bx +c =0(或ay 2+by +c =0).

①若a ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当Δ<0时,直线与双曲线相离 .

②若a =0时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法:

将直线方程与抛物线的方程联立,消去y (或x ),得到一个一元方程ax 2+bx +c =0(或ay 2

+by +c =0).

①当a ≠0时,用Δ判定,方法同上.

②当a =0时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.

9.有关弦长问题

有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.

(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则所得弦长|P 1P 2|=1+k 2|x 2-x 1|或|P 1P 2|=

1+1k 2|y 2-y 1|,其中求|x 2-x 1|与|y 2-y 1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:

|x 2-x 1|=

x 1+x 22-4x 1x 2, |y 2-y 1|=y 1+y 22

-4y 1y 2. (2)当斜率k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式).

10.弦的中点问题

有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.

[第2步▕ 高频考点细突破]

【例1】 已知直线________.

[解析] 由题意36=4m ,m =8,所以直线方程为6x +8y +14=0,即3x +4y +7=0,d =|-3-7|32+4

2=2.

[答案] 2

[规律方法] (1)若给定的方程是一般式,即l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则有下列结论:l 1∥l 2?A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0;l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0. 给定两条直线l 1:y =k 1x +b 1和l 2:y =k 2x +b 2,则有下列结论:l 1∥l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2;l 1⊥l 2?k 1k 2=-1;

(2)求直线方程就是求出确定直线的几何要素,即直线经过的点和直线的倾斜角,当直线的斜率存在时,只需求出直线的斜率和直线经过的点即可.对于直线的点斜式方程和两点式方程,前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线,后者是两点确定直线.

[举一反三]

已知直线l 1:ax +(a +2)y +1=0,l 2:x +ay +2=0.若l 1⊥l 2,则实数a 的值是________. 0或-3 [由题意得:a +a (a +2)=0?a =0或a =-3.]

【例2】 (-3所示,已知圆

A 的圆心在直线y =-2x 上,且该圆存在两点关于直线x +y -1=0对称,又圆A 与直线l 1:x +2y +7=0相切,过点

B (-2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ,N 两点,Q 是MN 的中点,直线l 与l 1相交于点P .

图10-3

(1)求圆A 的方程;

(2)当|MN |=219时,求直线l 的方程;

(3)(BM →+BN →)·BP →

是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.

【导学号:56394070】

[解] (1)由圆存在两点关于直线x +y -1=0对称知圆心A 在直线x +y -1=0上, 由????

? y =-2x ,x +y -1=0得A (-1,2),

设圆A 的半径为R ,因为圆A 与直线l 1:x +2y +7=0相切,

所以R =|-1+4+7|5

=25, 所以圆A 的方程为(x +1)2+(y -2)2

=20.

(2)当直线l 与x 轴垂直时,易知x =-2符合题意,

当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y =k (x +2),

即kx -y +2k =0,连接AQ (图略),则AQ ⊥MN ,

∵|MN |=219,

∴|AQ |=20-19=1,

由|AQ |=|k -2|k 2+1=1,得k =34, ∴直线l 的方程为3x -4y +6=0,

∴所求直线l 的方程为x =-2或3x -4y +6=0.

(3)∵AQ ⊥BP ,

∴AQ →·BP →

=0,

∴(BM →+BN →)·BP →=2BQ →·BP →=2(BA →+AQ →)·BP →=2(BA →·BP →+AQ →·BP →)=2BA →·BP →

当直线l 与x 轴垂直时,得P ??????-2,-52,则BP →=?

?????0,-52,又BA →

=(1,2), ∴(BM →+BN →)·BP →=2BQ →·BP →=2BA →·BP →

=-10.

当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x +2),

由????? y =kx +2,x +2y +7=0,解得P ????

??-4k -71+2k ,-5k 1+2k , ∴BP →=????

??-51+2k ,-5k 1+2k , ∴(BM →+BN →)·BP →=2BQ →·BP →=2BA →·BP →

=2? ??

??-51+2k -10k 1+2k =-10, 综上所述,(BM →+BN →)·BP →

是定值,且为-10.

[规律方法] 求圆的方程一般有两类方法:

(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;

(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.其一般步骤:①根据题意选择方程的形式:标准方程或一般方程;②利用条件列出关于a ,b ,R ,或D ,E ,F 的方程组;③解出a ,b ,R ,或D ,E ,F 的值,代入标准方程或一般方程,此外,根据条件要尽量减少参数设方程,这样可减少运算量.

[举一反三]

(2017·江苏省淮安市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x -4)2

+(y -

8)2=1,圆C 2:(x -6)2+(y +6)2=9.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周,则圆C 的方程是________. x 2+y 2=81 [由题意,圆C 与圆C 1和圆C 2的公共弦分别为圆C 1和圆C 2的直径,

设C (x,0),则(x -4)2+(0-8)2+1=(x -6)2+(0+6)2

+9,∴x =0,

∴圆C 的方程是x 2+y 2=81.]

【例3】 ((x -2)2+(y -3)

2=4相交于M ,N 两点,若|MN |≥23,则k 的取值范围是________.

[解析] 由圆的方程得:圆心(2,3),半径r =2,

∵圆心到直线y =kx +3的距离d =|2k +3-3|k 2+1

,|MN |≥23, ∴2r 2-d 2=2

4-4k 2k 2+1≥23, 变形得:4-4k 2k 2+1≥3,即4k 2+4-4k 2≥3k 2+3,解得:-33≤k ≤33

, 则k 的取值范围是??????-

33,33. [答案] ????

??-33,33 [规律方法] 直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d 与半径r 的关系确定,d =r 相切;d <r 相交,此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形;d >r 时相离.解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质,特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形,满足勾股定理.圆的切线问题一般利用d =r 求解,但要注意切线斜率不存在的情形,与圆有关的最值,范围问题要注意数形结合思想的运用.直线与圆中常见的最值问题:①圆外一点与圆上任一点的距离的最值.②直线与圆相离,圆上任一点到直线的距离的最值.③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值.④直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值问题.⑤两圆相离,两圆上点的距离的最值.

[举一反三]

(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy 中,过点M (1,0)的直线l 与圆

x 2+y 2

=5交于A ,B 两点,其中A 点在第一象限,且BM →=2MA →

,则直线l 的方程为________. 【导学号:56394071】

x -y -1=0 [由题意,设直线x =my +1与圆x 2+y 2=5联立,可得(m 2+1)y 2+2my -4=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 2=-2y 1,y 1+y 2=-

2m m 2+1,y 1y 2=-4m 2+1, 联立解得m =1,∴直线l 的方程为x -y -1=0.]

【例4】 (xOy 中,

椭圆C :

图10-4

x 2a 2+y 2

b 2

=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (3,1)在椭圆上,△PF 1F 2的面积为2 2. (1)①求椭圆C 的标准方程;

②若∠F 1QF 2=π3

,求QF 1·QF 2的值. (2)直线y =x +k 与椭圆C 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆经过坐标原点,求实数k 的值.

[解] (1)①由条件

可知9a 2+1b 2=1,c =22, 又a 2=b 2+c 2,

所以a 2=12,b 2=4,

所以椭圆的标准方程为x 212+y 24=1. ②当θ=π3时,有??? QF 1+QF 2=2a =43,QF 21+QF 22

-QF 1·QF 2=c 2=32,

所以QF 1·QF 2=163. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由????? x 212+y 24

=1y =x +k

,得4x 2+6kx +3k 2

-12=0, 由根与系数的关系及直线方程可知: x 1+x 2=-3k 2,x 1x 2=3k 2-124,y 1y 2=k 2

-124

, 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点,则OA →·OB →

=x 1x 2+y 1y 2=k 2-6=0,

解得k =±6,此时Δ=120>0,满足条件,

因此k =± 6.

[规律方法] (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求||PF 1+||PF 2>||F 1F 2,双曲线的定义中要求||||PF 1-||PF 2<||F 1F 2.

(2)求圆锥曲线标准方程常用的方法:(1)定义法;(2)待定系数法,①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y 2=2ax 或x 2=2ay (a ≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a 不具有p 的几何意义.②椭圆的标准方程可设为x 2m +y 2n

=1(m >0,n >0),双曲线的标准方程可设为x 2m -y 2n =1(mn >0),这样可以避免讨论和繁琐的计算.

[举一反三]

(江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研)已知椭圆C :x 225+y 29

=1的左焦点为F ,点M 是椭圆C 上一点,点N 是MF 的中点,O 是椭圆的中点,ON =4,则点M 到椭圆C 的左准线的距离为________.

52 [设点M 到右焦点的距离为MF ′,则MF ′=2×4=8,由定义可知该点到左焦点的距离MF =10-8=2,由圆锥曲线的统一定义可得点M 到椭圆C 的左准线的距离为d =MF e =245

=52.]

【例5】 (江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知抛物线y 2=16x 的焦点恰好是双曲线x 2

12-y 2

b 2

=1的右焦点,则双曲线的渐近线方程为________. [解析] 根据题意,抛物线的标准方程:y 2

=16x ,其焦点坐标为(4,0), 则双曲线x 212-y 2

b

2=1的右焦点坐标为(4,0),则c =4, 有12+b 2=16,解可得b =2,

则双曲线的方程为x 212-y 2

4

=1, 则该双曲线的渐近线方程y =±

33x . [答案] y =±33x [规律方法] 求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a ,b ,c 的等量关系,然后把b 用a ,c 代换,求c a 的值;在双曲线中由于e 2=1+? ??

??b a 2,故双曲线的渐近线与离心率密切相关,求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ,b ,c 的不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到关于a ,c 的不等式,由这个不等式确定a ,c 的关系.

[举一反三]

(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图10-5,在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 1,B 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的右、下、上顶点,F 是椭圆C 的右焦点.若B 2F ⊥AB 1,则椭圆C 的离心率是________.

图10-5 5-12 [由题意得-b c ×b a =-1?b 2=ac ?a 2-c 2=ac ?1-e 2=e,0<e <1?e =5-12

.]

【例6】

图10-6

x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0),圆O :x 2+y 2=b 2

,过椭圆C 的上顶点A 的直线l :y =kx +b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P 、Q ,设AP →=λPQ →

.

(1)若点P (-3,0),点Q (-4,-1),求椭圆C 的方程;

(2)若λ=3,求椭圆C 的离心率e 的取值范围.

【导学号:56394072】

[解] (1)由P (-3,0)在圆O :x 2+y 2=b 2上,可得b =3. 又点Q 在椭圆C 上,得-2a

2+-232=1,解得a 2

=18. ∴椭圆C 的方程为x 218+y 29

=1; (2)联立????? y =kx +b ,x 2+y 2=b 2,得x =0或x P =-2kb 1+k

2, 联立????? y =kx +b ,x 2a 2+y

2b 2=1,得x =0或x Q =-2kba 2a 2k 2+b 2

. ∵AP →=λPQ →,λ=3,∴AP →=34AQ →

, ∴2kba 2k 2a 2+b 2·34=2kb 1+k 2,即k 2=3a 2-4b 2a 2=4e 2-1.

∵k 2>0,∴4e 2>1,得e >12或e <-12

. 又0<e <1,∴12

<e <1. [规律方法] (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法

将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法

将直线方程与双曲线方程联立,消去y 或x ,得到一个一元方程ax 2+bx +c =0,或ay 2

+by +c =0,若a ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当Δ<0时,直线与双曲线相离;若a =0,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法

将直线方程与抛物线方程联立,消去y 或x ,得到一个一元方程ax 2+bx +c =0,或ay 2+by +c =0,当a ≠0时,用Δ判定,方法同上;当a =0时,直线与抛物线的对称轴平行,与抛物线有一个交点. 抛物线y 2=2px (p >0)的过焦点F ? ????p 2,0的弦AB ,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2,弦长|AB |=x 1+x 2+p .同样可得抛物线y 2=-2px ,x 2=2py ,x 2=-2py 类似的性质.

(4)解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是:设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)时,|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+1k 2|y 1-y 2|,而|x 1-x 2|=x 1+x 22-4x 1x 2.

[举一反三]

(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图10-7,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的离心率为22

,焦点到相应准线的距离为1.

图10-7

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若P 为椭圆上的一点,过点O 作OP 的垂线交直线y =2于点Q ,求1

OP 2+1

OQ 2的值.

[解] (1)由题意得,c a =22,a 2c

-c =1, 解得a =2,c =1,b =1.

所以椭圆的方程为x 22

+y 2

=1. (2)由题意知OP 的斜率存在.

当OP 的斜率为0时,OP =2,OQ =2,所以1OP 2+1

OQ 2=1.

当OP 的斜率不为0时,设直线OP 方程为y =kx .

由????? x 22

+y 2=1y =kx

得(2k 2+1)x 2=2,解得x 2=22k 2+1,所以y 2=2k 22k 2+1, 所以OP 2=2k 2+22k 2+1

. 因为OP ⊥OQ ,所以直线OQ 的方程为y =-1k

x . 由?

???? y =2

y =-1k x 得x =-2k ,所以OQ 2=2k 2+2. 所以1OP 2+1OQ 2=2k 2+12k 2+2+12k 2+2=1. 综上,可知1

OP 2+1

OQ 2=1.

【例7】 (中,椭圆C :

x 2a 2+y 2

b 2

=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆上一点(在x 轴上方),连接PF 1并延长交椭圆于另一点Q ,设PF 1→=λF 1Q →

.

(1)若点P 的坐标为? ??

??1,32,且△PQF 2的周长为8,求椭圆C 的方程; (2)若PF 2垂直于x 轴,且椭圆C 的离心率e ∈????

??12,22,求实数λ的取值范围. [解] (1) 因为F 1,F 2为椭圆C 的两焦点,且P ,Q 为椭圆上的点,

所以PF 1+PF 2=QF 1+QF 2=2a ,从而△PQF 2的周长为4a .

由题意,得4a =8,解得a =2.

因为点P 的坐标为? ??

??1,32,所以1a 2+94b 2=1, 解得b 2=3.

所以椭圆C 的方程为x 24+y 23

=1.

(2)法一:因为PF 2⊥x 轴,且P 在x 轴上方,故设P (c ,y 0),y 0>0. 设Q (x 1,y 1).

因为P 在椭圆上,所以c 2a 2+y 20b 2=1,解得y 0=b 2a ,即P ? ??

??c ,b 2a . 因为F 1(-c,0),所以PF 1→=?

????-2c ,-b 2a ,F 1Q →=(x 1+c ,y 1). 由PF 1→=λF 1Q →

,得-2c =λ(x 1+c ),-b 2a

=λy 1, 解得x 1=-λ+2λc ,y 1=-b 2λa ,所以Q ? ????-λ+2λc ,-b 2λa . 因为点Q 在椭圆上,所以? ??

??λ+2λ2e 2+b 2

λ2a 2=1, 即(λ+2)2e 2+(1-e 2)=λ2,(λ2+4λ+3)e 2=λ2-1, 因为λ+1≠0,

所以(λ+3)e 2=λ-1,从而λ=3e 2+11-e =41-e -3. 因为e ∈????

??12,22,所以14≤e 2≤12,即73≤λ≤5. 所以λ的取值范围为????

??73,5. 法二 因为PF 2⊥x 轴,且P 在x 轴上方,故设P (c ,y 0),y 0>0.

因为P 在椭圆上,所以c 2a 2+y 20b 2=1,解得y 0=b 2

a ,即P ? ??

??c ,b 2a . 因为F 1(-c,0),故直线PF 1的方程为y =b 2

2ac (x +c ).

由?????

y =b 22ac x +c ,x 2a 2+y 2

b 2=1,得(4

c 2+b 2)x 2+2b 2cx +c 2(b 2-4a 2)=0. 因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ? ????c ,b 2a .设Q (x 1,y 1), 则x 1+c =-2b 2c 4c 2+b 2,即-c -x 1=2b 2c 4c 2+b 2. 因为PF 1→=λF 1Q →, 所以λ=2c -c -x 1=4c 2+b 2b 2=3c 2+a 2a 2-c 2==3e 2+11-e 2=41-e 2-3. 因为e ∈????

??12,22,所以14≤e 2≤12,即73≤λ≤5. 所以λ的取值范围为????

??73,5. [规律方法] (1)求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.

(2)求解特定字母取值范围问题的常用方法:①构造不等式法:根据题设条件以及曲线的几何性质(如:曲线的范围、对称性、位置关系等),建立关于特定字母的不等式(或不等式组),然后解不等式(或不等式组),求得特定字母的取值范围.②构造函数法:根据题设条件,用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母,即建立关于特定字母的目标函数,然后研究该函数的值域或最值情况,从而得到特定字母的取值范围.③数形结合法:研究特定字母所对应的几何意义,然后根据相关曲线的定义、几何性质,利用数形结合的方法求解.

[举一反三]

(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2

b

2=1(a >0,b >0)的左焦点为F (-1,0),左准线为x =-2.

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)已知直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.

①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ,交y 轴于点P ,且满足PA →=λAF →,PB →=μBF →

,求证:λ+μ为常数;

②若OA ⊥OB (O 为原点),求△AOB 的面积的取值范围.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/glun.html

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