山东省滨州市博兴县第三中学2020_2021学年高二数学上学期第一次月考试题含解析.doc

- 1 - 山东省滨州市博兴县第三中学2020-2021学年高二数学上学期第一次

月考试题（含解析）

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1. 已知空间两点()3,3,1A ，()1,1,5B -，则线段AB 的长度为（ ）

A. 6

B. 26

C. 43

D. 214 【答案】A

【解析】

【分析】

利用空间中两点间距离公式计算即可.

【详解】因为()3,3,1A ，()1,1,5B -，所以根据空间中两点间距离公式得()()()2223131156AB =++-+-=.

故选：A.

【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式，属于基础题.

2. 如图，点M ，N ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC 的中点，则异面直线11B D 和MN 所成的角是（ ）

A. 30

B. 45?

C. 60?

D. 90?

【答案】C

【解析】

【分析】

- 2 - 通过平移的方法作出直线11B D 和MN 所成的角，并求得角的大小.

【详解】依题意点M ，N ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC 的中点， 连接11,,C D C B BD ，结合正方体的性质可知111//,//BD B D BC MN ， 所以1C BD ∠是异面直线11B D 和MN 所成的角，

根据正方体的性质可知，1C BD 是等边三角形，所以160C BD ∠=?， 所以直线11B D 和MN 所成的角为60?.

故选：

C

【点睛】本小题主要考查线线角的求法，属于基础题.

3. 直线320kx y k -+-=恒过一定点，则该定点的坐标（ ）

A. ()3,2

B. ()3,2--

C. ()2,3

D. ()2,3-- 【答案】B

【解析】

【分析】

合并同类项后确定定点坐标.

【详解】由320kx y k -+-=得()320k x y +--=，所以30

20x y +=??-

-=?， 解得3,2x y =-=-，所以定点坐标为()3,2--.

故选：B

【点睛】本小题主要考查直线过定点，属于基础题.

- 3 - 4. 两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ）

A. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解.

【详解】因为两直线平行，

所以361m ?=?，解得m =2，

将6x +2y +1=0化为3x +y +12

=0， 由两条平行线间的距离公式得d

==

=20

， 故选：D .

【点睛】本题考查已知直线平行求参数、两平行线间距离，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.

5. 过点()2,1P 且与原点距离最远的直线为（ ）.

A. 250x y +-=

B. 230x y --=

C. 240x y +-=

D. 20x y -=

【答案】A

【解析】

【分析】

过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线垂直于直线OP ，求出12

OP k =，从而过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线的斜率为2k =-，由此能求出过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线方程.

【详解】过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直垂直于直线OP ，

- 4 - 12OP k

=，∴过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线的斜率为2k =-， ∴过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线方程为：

()122y x -=--，即250x y +-=.

故选：A .

【点睛】本题考查点到直线方程的求法，考查点到直线的距离、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6. 若三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA =PB =PC =1，则点P 到平面ABC 的距离是（ ）

A. 6

B. 6

C. 3

D. 3 【答案】D 【解析】

【分析】

先建立空间直角坐标系，求出平面ABC 的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.

【详解】解：分别以PA ，PB ，PC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1) ()()1,1,0,1,0,1AB AC =-=-.

设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，由00

n AB n AC ??=???=??得：00x y x z -+=??-+=?. 令1x =，则1y z ==.则平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =.所以点P 到平面ABC 的距离||33||

n PA d n =?=. 故选：D .

- 5 - 【点睛】本题考查空间中点到平面的距离，关键考查运算能力，属于基础题.

7. 圆222680x y x y ++-+=的圆心和半径分别是（ ）

A. ()1,3-，2

B. ()1,2-，22

C.

()1,3-，22 D. ()1,3-，2 【答案】D

【解析】

【分析】

利用配方法求得圆心和半径.

【详解】由222680x y x y ++-+=，

得()()22132x y ++-=，

所以圆心

()1,3-，半径为2.

故选：D

【点睛】本小题主要考查根据圆的一般方程求圆心和半径.

8. 如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=6,则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )

A. π6

B. π4

C. π3

D. π2

【答案】A

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量的数量积即可求得直线与平面的夹角．

【详解】以A 为坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，AA 1 为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系：

- 6 -

则A 1（0，06），A （0，0，0），B 1（0，26），C 1（2，06） 则()()(1110,2,6,2,0,6,6AB AC AA ===

设平面AB 1C 1的法向量为(),,m x y z = 则11260260

m AB y z m AC x z ??=+=???=+=?? ，令1z = 可解得6262

x y ?=-????=-??

所以66,2m ??=- ? ???

设AA 1与平面AB 1C 1所成的角为α ，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角的正弦值为

()12226

1sin cos ,2666122m AA α===?????-+-+ ? ?????

因为0,2

απ?∈????? 所以6π

α=

所以选A 【点睛】本题考查了空间向量线面夹角的求法，注意直线与平面夹角的取值范围，属于基础题． 二、多选题（每小题5分，共4小题20分）

9. 给出下列命题，其中正确命题有（ ）

A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B. 已知向量//a b ，则存在向量可以与a ，b 构成空间的一个基底

- 7 - C. A ，B ，M ，N 是空间四点若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底那么A ，B ，M ，N 共面

D. 已知向量组{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.

【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；

选项B 中，因为//a b ，根据空间基底的概念，可得B 不正确；

选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；

选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

10. 已知直线1:(3)220l m x y --+=和直线2: 3350l mx y --=垂直，则m =（ ）

A. 1-

B. 1

C. 2

D. 2- 【答案】BC

【解析】

【分析】

先求出直线1l 的斜率，直线2l 的斜率，再建立方程求解即可.

【详解】直线1l ：(3)220m x y --+=和直线2l ：3350mx y --=垂直，

直线1l 的斜率为132m k -=

，直线2l 的斜率为2=k m ，

- 8 - 则12

1k k ，即12

3m m -?=-，解得1m =或2，经检验成立 故选：BC 【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数，是基础题

11. 下列说法正确的是（ ）

A. 直线x ﹣y ﹣2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B. 点(0，2)关于直线y =x +1的对称点为(1，1)

C. 过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)两点的直线方程为112121

y y x x y y x x --=-- D. 经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2=0

【答案】AB

【解析】

【分析】

求出截距得到三角形的面积判断A 的正误；利用对称知识判断B 的正误；直线的两点式方程判断C 的正误，利用截距相等判断D 的正误.

【详解】解：直线x ﹣y ﹣2=0在两坐标轴上的

截距分别为：2，﹣2，与坐标轴围成的三角形的面积是：122??2=2，所以A 正确；

点(0，2)与(1，1)的中点坐标(12，32

)满足直线方程y =x +1，并且两点的斜率为：﹣1，所以点(0，2)关于直线y =x +1的对称点为(1，1)，所以B 正确；

当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)两点的直线方程为112121

y y x x y y x x --=--，所以C 不正确； 经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2=0或y =x ，所以D 不正确； 故选：AB.

【点睛】本题考查命题的真假的判断直线方程的求法?对称知识以及直线的截距的应用，是易错题.

12. 如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，

点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且3AP PN =，23ON OM =，设OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式成立的是（ ）

- 9 - A. 1122

OM b c =- B. 1133AN b c a =

+- C. 113444AP b c a =-- D. 111444OP a b c =++ 【答案】BD

【解析】

【分析】 根据图像，利用向量的线性运算法则，分别验算四个选项即可求解.

【详解】由已知得，

23

AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ??=+- ???1133

OB OC OA =+-1133b c a =+-，分析各个选项： 对于A ，利用向量的四边形法则，11112222

OM OB OC b c =+=+，A 错； 对于B ，利用向量的四边形法则和三角形法则，得

23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ??=+- ??? 1133OB OC OA =+-1133

b c a =+-，B 对； 对于C ，因为点P 在线段AN 上，且3AP PN =，所以，

411333

AN AP b c a ==+-，所以， 3111143334

44AP b c a b c a ??=+-=+- ???，C 错；

- 10 - 对于D ，113444OP OA AP a b c a =+=+

+-111444

a b c =++，D 对 故选：BD 【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13. 已知空间向量m ，n ，设||1m =，||2n =，2m n +与3m n -垂直，4a m n =-，72b m n =+，则,a b <>=________．

【答案】0?

【解析】

【分析】

根据2m n +与3m n -垂直，求得2m n ?=-，再由条件可求出a b ?，a ，b ，根据cos ,||||

a b a b a b ?<>=即可得出结果. 【详解】∵(2)(3)m n m n +⊥-，∴(2)(3)0m n m n +?-=，化简得2m n ?=-， 又∵22||||(4)1646a a m n ==-=+=， 2||(7493b b m ===+=，

22(4)(72)28||2||18a b m n m n m n m n ?=-?+=-+?=， ∴18cos ,163

||||a b a b a b ?<>===?，∴,0a b ?<>=． 故答案为：0?.

【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积的公式的应用，求出a b ?，a ，b 的值，是解题的关键.

14. 若直线1l ：()34350m x y m +++-=与2l ：()2580x m y ++-=平行，则m 的值为_____．

【答案】-7

【解析】

- 11 - 【分析】

由已知条件可得关于m 的方程()()3580m m ++-=，解方程即可求出m 的值，代入直线方程验证即可.

【详解】因为12l l ,所以有()()3580m m ++-=，解之得,m 1=-或m 7=-.当m 1=-时，直线12l l ，重合,舍去.

【点睛】本题主要考查两直线平行的判定条件，属于基础题型.

15. 平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3

π=，

则对角线AC 1的长为_____．

6

【解析】

【分析】

由题知：11AC AB AD AA =++，再给式子平方即可求出1AC 的长度

【详解】如图，由题意可知，

111AC AB AD CC AB AD AA =++=++，

所以1

221())(AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++ 1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++==.

所以16AC =6

【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.

- 12 - 16. 已知(4,2,6)a =-，(1,4,2)b =--，(4,5,)c λ=，若a ，b ，c 三向量共面，则λ=__________．

【答案】5

【解析】

【分析】

利用共面向量基本定理列坐标关系，求解即可.

【详解】a ，b ，c 三向量共面，则存在,m n ，使得c ma nb =+，

则()(4,5,)4,24,62c m n m n m n λ==--+-，即4424562m n m n m n λ-=??-+=??-=?，解得3225m n λ?=??=??=??

.

故答案：5.

【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用和线性运算的坐标表示，属于基础题.

四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）

17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)，C (2，－4)．

(1)求BC 边上的中线所在直线的方程；

(2)求BC 边上的高所在直线的方程．

【答案】（1）8480x y --=；（2）150x y +-=

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据中点坐标公式求出BC 中点D 的坐标，根据斜率公式可求得AD 的斜率，利用点斜式可求BC 边上的中线所在直线的方程；（2）先根据斜率公式求出BC 的斜率，从而求出BC 边上的高所在直线的斜率为1-，利用点斜式可求BC 边上的高所在直线的方程.

试题解析：（1）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 中点D 的坐标为（6，0），

所以AD 的斜率为k ＝8，

所以BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －0＝8(x －6)，

即8x －y －48＝0．

（2）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 所在直线的斜率为k ＝1，

- 13 - 所以BC 边上的高所在直线的斜率为－1，

所以BC 边上的高所在直线的方程为y －8＝－(x －7)，即x ＋y －15＝0．

18. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 为正方形BCC 1B 1的中心．

（1）求直线EF 与平面ABCD 所成角的正切值；

（2）求异面直线A 1C 与EF 所成角的余弦值．

【答案】（1）

22；（2）13. 【解析】

【分析】

（1）取BC 中点H ，连结FH ，EH ，证明∠FEH 为直线EF 与平面ABCD 所成角，即可得出结论；

（2）取1A C 中点O ，连接OF ，OA ，则1AOA ∠为异面直线1A C 与EF 所成角，由余弦定理，可得结论；

【详解】（1）取BC 中点H ，连结FH ，EH ，设正方体棱长为2，

∵F 为BCC 1B 1中心，E 为AB 中点，

∴FH⊥平面ABCD ，FH=1，2，

∴∠FEH 为直线EF 与平面ABCD 所成角，且FH⊥EH， ∴FH 2tan EHE EH 22

∠===，

所以直线EF与平面ABCD所成角的正切值为2

．

（2）取1A C中点O，连接OF，OA，

则OF∥AE，且OF=AE，

∴四边形AEFO为平行四边形，∴AO∥EF，

∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角，

∵

11

A A2AO A O3

===

，，

∴△AOA1中，由余弦定理得1

1

cos A OA

3

233

∠==

??

，

异面直线A1C与EF所成角的余弦值为

1

3

．

19. 已知ABC

?的顶点(2,8)

C-，直线AB的方程为211

y x

=-+，AC边上的高BH所在直线的方程为320

x y

++=

（1）求顶点A和B的坐标；

（2）求ABC

?外接圆的一般方程.

【答案】（1）()

5,1和()

7,3

-；（2）2246120

x y x y

+-+-=

【解析】

- 14 -

- 15 - 【分析】

（1）联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标，由AC BH ⊥，进而设出直线AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标；

（2）由（1）知A ，B ，C 的坐标，设ABC ?外接圆的一般方程，代入求解即可.

【详解】（1）由211320

y x x y =-+??++=?可得顶点(7,3)B -, 又因为AC BH ⊥得，13BH

k =- 所以设AC 的方程为3y x b =+，

将(2,8)C -代入得14b =-

由211314

y x y x =-+??=-?可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-

（2）设ABC ?的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，

将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=??-++=??-++=?

，

解得4612D E F =-??=??=-?

，

所以ABC ?的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.

【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.

20. 如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点PE EC ⊥，2PD =，2CD =，12

AE =．

（1）求二面角E PC D --的大小；

- 16 - （2）求点B 到平面PEC 的距离．

【答案】（1）

4π；（2

）4 【解析】

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，利用平面PEC 和平面PCD 的法向量，计算出二面角E PC D --的余弦值，由此求得二面角的大小.

（2）通过平面PEC 的法向量、直线BE 的方向向量，计算出点B 到平面PEC 的距离.

【详解】（1）以D 为原点，向量DA ，DC ，DP 的方向分别为x ，y ，轴的正方向建立空间直角坐标系，

设AD x =，由已知可得(0,0,0)D

，P ，(0,2,0)C ，1,,02E x ?

? ???

，

∴1,,2PE x ?= ?，3,,02EC x ??=- ???

，

∵PE EC ⊥，∴0PE EC ?=

，∴x ，

∴1,02E ?????

，31,2

PE ?= ?，3,02EC ??=- ? ???． 设平面PEC 的一个法向量为(),,n x y z =，

由0n

PE ?=，0

n EC ?=，

得1022302

2x y x y +

=????-

+=??，令1y =

，则x z ==所以(3,1,n =， 取平面PCD 的一个法向量为()1,0,0m =，

设二面角E PC D --的大小为θ，由图可知θ为锐角. ∴2cos 2m n

m n θ?==?，∴4

πθ=，

- 17 - 即二面角E PC D --的大小为4π． （2）由（1

）知平面PEC 的一个法向量为(3,1,2)n =，

又3,2,02B ?? ? ???

，∴30,,02BE ??=- ???， ∴点B 到平面PEC 的距离||64||

BE n d n ?==．

【点睛】本小题主要考查二面角、点面距的求法，属于中档题.

21. 如图，面积为8的平行四边形ABCD ，A 为原点，点B 的坐标为()2,1-，点C ，D 在第一象限．

（1）求直线CD 的方程；

（2）若||13BC =，求点D 的横坐标．

【答案】（1）280x y +-=；（2）1.2或2.

【解析】

- 18 - 【分析】

（1）设出直线CD 的方程220x y m +-=，根据平行四边形的面积、点到直线的距离公式求得m ，进而求得直线CD 的方程.

（2）结合D 在直线CD

上以及||BC =D 点的横坐标.

【详解】（1）依题意1122AB CD k k -==

=-，设直线CD 的方程为12

y x m =-+， 即220x y m +-=

设原点()0,0到直线CD 的距离为d ，

AB ==，

由于平行四边形ABCD 的面积为8，

所以8,d AB d ?==. 由点到直线的距离公式得()0,0到直线CD 的距离为

=，解得4m =±， 由于,C D 在第一象限，所以4m =.

所以直线CD 的方程为280x y +-=.

（2）设(),D a b

，由于AD BC =

，

所以280

a b +-=??=，解得 1.2a =或2a =. 即D 点的横坐标为1.2或2.

【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查点到直线距离公式，属于中档题.

22. 如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12

AD （1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；

（2）证明平面AMD ⊥平面CDE ；

（3）求二面角A-CD-E 的余弦值．

- 19 -

【答案】（1）BF 与DE 成角60o ；

（2）见解析；

（3）二面角A CD E --

的余弦值为3 【解析】

【详解】分析：（1）先证明//BF CE ，则CED ∠（或其补角）为异面直线BF 与DE 所成的角，在ECD 中求出此角即可；

（2）欲证平面AMD ⊥平面CDE ，即证CE ⊥平面AMD ，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE 与平面AMD 内两相交直线垂直即可，易证DM CE MP CE ⊥⊥， ；

（3）设Q 为CD 的中点，连接PQ EQ ，，易证EQP ∠为二面角A CD E -- 的平面角，在Rt EQP 中求出此角即可．

详解：（1）由题//

BC FE?=，∴四边形BCEF 是平行四边形， //BF CE ∴ CED ∴∠ 或其补角为BF 与DE 所成角 ，

取AD 中点P 连结EP 和CP ，

∵FE //=AP ∴FA //

=EP

同理AB //=PC 又FA⊥平面ABCD ∴EF⊥平面ABCD ∴EP⊥PC、EP⊥AD ，由

,?AB AD PC AD ⊥⊥ ，

- 20 - 设FA a =， 则,EP PC PD a ===

?CD DE EC === ，∴∠CED=60o

∴BF 与DE 成角60o ；

（2）DC DE M =，为EC 中点，DM EC ∴⊥

连结MP ，则,MP CE ⊥ 又,DM MP M ?=

∴CE ⊥平面AMD ，

又CE CDE ⊥平面 ，∴平面AMD ⊥平面CDE ，

（3）设Q 为CD 的中点，连接PQ EQ ，， PC DQ PQ CD =∴⊥，

同理,EQ CD PQE ⊥∴∠为二面角的平面角，

在Rt EPQ

中，,PQ EQ ==

，cos PQ PQE EQ ∠== ∴二面角A CD E --

点睛：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．属中档题.

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