03第三章 极限与函数的连续性

第三章 极限与函数的连续性

§1 极限问题的提出

§2 数列的极限

1． 用定义证明下列数列的极限为零： (1) ?lim?(2) ?lim?n?1?；

n???n2???1??sin?n??；

n???n?(3) ?lim?n????n??；

?n???(?1)n(4) ?lim?2?；

n??n?????(5) ?lim?(n???1???n?)?；

n??10n(6) ?lim??；

n???n!?(7) ?lim?n????a???1??； n???an?n!?； n???nn?(8) ?lim?1???2??3???????n(9) ?lim??；

n???n2?(10) ?lim??n??1???a?n????a??1?. ?n?2．用定义证明： 3n2?n?(1) ?lim?2????；

n???2n???1???n2???n??????； (2) ?lim?n???n???n???1??,??????n?为偶数，??n(3) ?lim?xn?????，其中 ?xn?????

n???n???1???,??????n?为奇数；??n???????????????????????????????n???3k，???n???1???,??????????n????k??1??(k???1,?2,??)?，? (4) ?lim?xn?????，其中 ?xn???????????n??n??????n???2????,??????n????k???2.?3???n???n?3．用定义证明：

(1) 若?lim?an???a?，则对任一正整数?k?，有?lim?an?k???a?；

n??n??(2) 若?lim?an???a?，则?lim??an?????a|?.反之是否成立？

n??n??(3) 若?lim?an???a?，且?a???b?，则存在?N?，当?n???N?时，有?an???b?；

n??(4) 若?lim?an???a?，且?an???0?，则?lim?an???a?.

n??n?? 4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“???”是逻辑符号，表示“存在”.）

|xn?-?a??|

n???lim?xn???a?，?lim?yn???a?.

n??n?? 7．利用极限的四则运算法则求极限： 3n3???2n2???n???1 (1) ?lim??； 32n???n???3n?2(?2)n???3n?； (2) ?lim?n??(?2)n?1???3n?11?1??????????n??； (3) ?lim?2n??1?1??????????n44 (4) ?lim?(n?1????n??????????n????)?.

n??8．求下列极限： (1) ?lim?(n??111??????????)?； 1???2?????n(n???1)111??????????)?； n2(n???1)2(2n)2 (2) ?lim?(n?? (3) ?lim?(n??1n??12???1n??22???????1n??n2)?；

132n?1 (4) ?lim?(???2???????n)?；

n??222 (5) ?lim?(1???nn??1?2?)?cos?n；

(6) ?lim????????；

n???n(7) ?lim?????????????????????????；

n??n (8) ?lim[(?n???1)n???nn]?，?0???a???1；

n?????n?? (9) ?lim?????????????；

n????2n (10) ?lim?nn??1?????????????????n?1??；

2??????????????n? (11) ?lim?nn???； ?n！?1 (12) ?lim?n?n?lnn??.

n?? 9．证明：若???an??，??bn???中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则???an???bn??是发散数列；又问???anbn??和???n????(?bn???0)?是否也是发散数列？为什么？ 10．设?xn???(?1)n?，证明???xn??发散. 11．若?a1,?a2,???,?am?为?m?个正数，证明：

n??nnlim?n?a1n???a2?????am???max(a1,?a2,???,?am).

?a??bn? 12．设?lim?an???a?，证明：

n??[n?a] (1) ?lim?n???a?；

n??n (2) 若?a???0,?an???0?，则?lim?n?an???1?.

n?? 13．利用单调有界原理，证明?lim?xn?存在，并求出它：

n?? (1) ?x1????2??,??x2????2xn?1??,???n???2,?????； (2) ?x1????c?????,??xn????c???xn?1??,???n???2,?????； cn (3) ?xn??????（c>0）??；

n！x,xn???1???n?1?,???n???1,?????. (4) ?x0??????1???xn?1 14．若?x1???a????,??y1???b???0?(a???b)?,

?xn?1????xnyn??,??yn?1???xn???yn?,? 2证明：?lim?xn????lim?yn?.

n??n?? 15．证明：若?an???0?，且?lim?n??an???l???1，?lim?an????.

n??an?1 16．设?lim?an???a，证明：

n?? (1) ?lim?a1???a2???????an（又问，它的逆命题成立否？） ??a?；

n??nn?? (2) 若?an???0，则?lim?n?a1?a2???an????a?. 17．应用上题的结果证明下列各题：

?1?1???????????n?????； (1) ?lim??3n??n (2) ?lim?n?a?????1??(a???0)；

n??(3) ?lim?n?n?????1?；

n??(4) ?lim?nn??????0；

?n！?11?????????????????nn??????； (5) ?lim?n??n(6) 若?lim?bn?1???a??(bn???)，则?lim?n?bn???a?. n??bn??n18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) ???n?； ！??； (2) ???n??? (3) ???ln?n??； ?1? (4) ?1????????????.

?3n 19．证明：若???xn??为无穷大量，???yn??为有界变量，则???xn???yn?为无穷大量. 20．(1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？

(2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形.

1?? 21．利用?lim??1???????e?，求下列极限：

n??n???1? (1) ?lim??1?????；

n???n?1?? (2) ?lim??1?????； n??n?1??nnn1?? (3) ?lim??1?????；

n??2n??1?? (4) ?lim??1???2??.

n??n??nn

§3 函数的极限

1．用极限定义证明下列极限： (1) ?lim?(2) ?lim?x?3x???31???；

x??1x2???92x???31???； x2???96(3) ?lim?x?1x???1???2； ?x????1(4) ?lim?x?1(x?2)(x?1)???0；

x???3(5) ?lim?x2?5???3；

x?2(6) ?lim?x?1x(x?1)1???； x2???12x????； 2x???9x???1???1； x???2(7) ?lim?x?3(8) ?lim?x??x2???x(9) ?lim??????；

x??x???1x2???5(10) ?lim?2???1.

x??x???12．用极限的四则运算法则求下列极限： x2???1(1) ?lim?2??；

x?02x???x???1x2???1(2) ?lim?2??；

x?12x???x???1(x???1)3???(1???3x)(3) ?lim???；

x?0x2???2x3(4) ?lim?x?1x2????x??x??；

(5) ?lim?x?31?x??2??； x???3x2???5x???6(6) ?lim?2?；

x?3x????x?????xn???1(7) ?lim?m?（?n?,?m?为正整数）；

x?1x???1

(8) ?lim?x?41?2x???3?x????2?.

3．设?f(x)???0?，证明：若?lim?f(x)???A?，则?lim?nf(x)???nA?，其中正整数?n????.

x?x0x?x04．证明：若?lim?f(x)???A?，则?lim?|f(x)|???|A|，但反之不真.

x?x0x?x05．求下列函数字所示点的左右极限：

???????????????????x???1,?(1) f(x)???????????????????????x???1,? 在?x?=1??；

???x2???2?,???????x???1,?(2) f(x)??????x?sin?1x??????????x????,? ?????x2????????????x????,(3) f(x)???|x|1x1?x2?,? (4) f(x)???1x???[1x],? ???????x??????????x????,(5) f(x)???????????????????????x???0,? ?????x2?,???????x???0,6．求下列极限： (1) ?lim?x2???12???x???1??；

x??2x(2) ?5x???7xlim????2x????x???；

(3) ?xlim????(x2???1??x????；

(4) ?xlim????(x2???1??x????；

(5) ?limx2??x???3xx2??；

(6) ?x?sin?xxlim????x2???4??； (7) ?x??cos?xxlim????x??； (8) ?xlim?x????x????x?????x?1??.

7．用变量替换求下列极限： (1) ?xlim1?0??x[x]?；

(2) ?xlim?0??xa?ln?x???(a???0)； 在?x?=?0?；在?x?=?0?；在?x?=?1n?，在?x?=???.

n?是正整数；

? (3) ?lim?ln?x?????a???0???；

x???xa1xx???(4) ?lim?x?.

8．设?f(x)?在?(?a,???)?上单调上升，?lim?xn?????，若?m求证：?lim?f(x)???A? il(?f)xn???A，

n??n??x???（?A?可以为无穷）.

9．设?f(x)?在集合?X?上定义，则?f(x)?在?X?上无界的充要条件是：存在?xn???X?,

?n???1,?2,??，使?lim??f(x)|??????.

n??10．利用重要极限求极限： (1) ?lim?sin?2x??；

x?0xsin?x2??； (2) ?lim?x?0(sin?x)2(3) ?lim?x?0tan?3x??； sin?5x2sin?x???sin??x??；

x3(4) ?lim?x?0(5) ?lim?(6) ?lim?x?0cos?5x???cos?3x??；

x?0x2tan?x???sin?x??； x3(7) ?lim?(8) ?lim?x?0arctan?x??；

x?0x??；

?x???1???1sin?4x?1??cos?x2??； (9) ?lim?x?01???cos?x(10) ?lim?cos(n?arccos?x)??????n?为奇数?；

x?0xtan?x???1??； ?x???4?(11) ?lim?x?4(12) ?lim?x??sin?mx； ????（m,?n?为整数）sin?nxcos?xx????(13) ?lim?x?2?2??；

1(14) ?lim?x?sin???；

x???x(15) ?lim?[cos??n???????cos??n?]?；

x???(16) ?lim?sin?(???n2???1)????n?为整数?；

x??????(17) ?lim???－???；

x???x????x(18) ?lim?(1?nx)?????n?为整数?；

x?01x(19) ?lim?(1?tan?x)cot?x?；

x?01?x?1(20) ?lim?()x??；

x?01?x(21) ?lim?(x???3x?22x?1)?； 3x?1(22) ?lim?(sin?x)tan?x?；

?x?2?x2???1?(23) ?lim??2??；

x??x???1???n?x???. (24) ?lim??x???n?1??nx2111．证明limcos不存在 .

x?0x12．证明?lim?D?(x)?不存在，其中

x?x0???????x?为有理数，??1,D?(x)????

???,??????x?为无理数.?13．求极限

xxx?lim?cos??cos????cosn?. n???24214．用定义证明：

(1) 若?lim?f(x)??????，?lim?g(x)???A?，则?lim??f(x)?g(x)]??????；

x?ax?ax?a(2) 若?lim?f(x)??????，?lim?g(x)???A???????，则?lim??f(x)g(x)]??????.

x?ax?ax?a15．若?lim?f(x)???A??，?lim?g(x)???B??，证明：?lim??f(x)g(x)]???AB?.

x???x???x???16．证明?lim?f(x)???A??的充要条件是：对任何数列?xn??????(n??)?，有

x????f(xn????A?(n??)??.

17．证明?lim?f(x)???????的充要条件是：对任何数列?xn???x0?(n??)?，有 ?x?x0?f(xn????A?(n??)??.

18．设函数?f(x)?在?(0,???)?上满足方程?f(2x)???f(x)?，且?lim?f(x)???A，证明：

x????f(x)???A?,??x????(0,???)?.

§4 函数的连续性

1． 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1) y????x?； 1； ?x?(3) y???|x|；

(2) y???1(4) y???sin?.

x2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) f(x)???x???(2) f(x)???1； ?x?x； (1?x)21(3) f(x)???cos2?；

x(4) f(x)???[x]???[?x]；

(5) f(x)???sinx； |x|(6) f(x)???sgn??x|； (7) f(x)???sgn(cos?x)； ?； ln?x???x??,????????|x|???1,? (9) f(x)??????1???,?????????x|?1；?(8) f(x)?????x????cos??,????????|x|???1,(10) f(x)????? 2?????x??1????,?????????x|?1；(11) f(x)???????sin??x??,????????x?为有理数,?

??????0?????,????????x?为无理数；???????x??,????????x?为有理数,?

???x??,????????x?为无理数.?(12) f(x)????3．当?x???0?时下列函数无定义，试定义?f(0)?的值，使?f(x)?在?x???0?连续： (1) ?f(x)???3(2) ?f(x)????????x???1?1??x???1；

tan?2x； x1(3) ?f(x)???sinx?sin；

x(4) ?f(x)??????x?.

4．设?f(x)?是连续函数，证明对任何?c???0?，函数

?????c,???????f(x)?????c,??g(x)?????f(x),??????f(x)????c,

??????c,?????????f(x)???c??x是连续的.

5．若?f(x)?在?x0?点连续，那么??f(x)???和?f2(x)?是否也在?x0?点连续？反之如何？ 6．若函数?f(x)?字?x???0?点连续，而?g(x)?在?x???0?点不连续，问此二函数的和、积在?x0?点是否连续？又若?f(x)?和?g(x)?在?x0?点都不连续，问此二函数的和、积在?x0?点是否必不连续？

7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0. 8．若?f(x)?在?[a,?b]?连续，恒正，按定义证明?

1

?在??a,?b??连续. f(x)

9．若?f(x)?和?g(x)?都在?[a,?b]?连续，试证明?max(f(x)???g(x))?和?min(f(x)???g(x))?都在?[a,?b]?连续.

10．证明：设?f(x)?为区间?(a,?b)?上单调函数，若?x0????a,?b??为?f(x)?的间断点，则必是?f(x)?的第一类间断点.

11．若?f(x)?在?[a,?b]?,?a???x1???x2???????xn???b?，则在?[x1,?x2]?中必有???，使得 ??f(?)???[f(x1)???f(x2)???f(xn)]?.

n 12．研究复合函数?f??g?和?g??f?的连续性. 设

(1) ?f(x)???sgn?x,??g(x)???1?x2； (2) ?f(x)???sgn?x,??g(x)????1?x2)x.

13．证明：若?f(x)?在?[a,?b]?连续，且不存在?x????a,?b]?，使?f(x)?????，则?f(x)?在?[a,?b]?恒正或恒负.

14．设?f(x)?为?[a,?b]?上的递增函数，值域为?[f(a),?f(b)]?，证明?f(x)?在?[a,?b]?上连续. 15．设?f(x)?在?[a,???)?上连续，且?0????f(x)???x??(?x???0)，若?a1?0??，??an?1???f(an)??(n???1,?2,??).求证：

(1) lim?an?存在；

n??(2) 设lim?an???l?，则?f(l)???l?；

n??(3) 如果将条件改为?0????f(x)???x??(?x???0)，则?l???0?. 16．求下列极限： ?1?x?(1) lim???x?12?x??1??x?1?x；

1(2) lim??arctan?x?cos?；

x???x1(3) lim?(cos?x)；

x?0x2excos?x??5?(4) lim?.

x?01???x2???ln(1?x)17．证明方程?x3???px???q???0???(p??0)?有且只有一个实根.

§5 无穷小量与无穷大量的比较

1． 当?x???0时，以?x?为标准求下列无穷小量的阶： (1) sin??x????sin?x； (2) (3)

1???(1???x)； 1?x3?|x|????x2；

(4) 1???tan?x???1???sin?x; (5) ln?(1???x)?； (6)

5x2???4x3；

(7) n1???x????; (8) ex???1.

2．当?x?????时，以?x?为标准求下列无穷大量的阶： (1) x2???x6；

(2) 4x2????x4???x5； (3)

31x2?sin?；

x|x|； (4) 1???1?????x3?1(5) 2；

x?2x???31(6) x2?arctan?.

x3．当?x??0?时，下列等式成立吗？ (1) ?o?(?x2?)???o?(?x?)?； (2) ?O?(?x2?)????(?x?)?；

?o?(?x2?)???o?(?x3?)?； (3) ?x??o?(?x2?)(4) ????o?(?x?)?；

xo?(?x2?)???o?(?x?)?； (5) ?o?(?x)(6) ?o?(?x?)???O?(?x2?). 4．试证下列各题：

(1) x?sin??x????O?(?x?)???(?x??0?)； (2) 2x3???2x2???O?(?x3?)?????(x??)； (3) o?(g(x))???o?(g(x))???o?(g(x))?????x?x0?； (4) o?(xm)???o?(xn)???o?(xn)?????x?0????m???n???0?； (5) o?(xm)?o?(xn)???o?(xm?n)?????x?0????m???n???0?. 5．证明下列各式：

(1) tan?x???x?????(?x???0?)?； (2) arcsin?x???x?????(?x???0?)?； (3) arctan?x???x?????(?x???0?)?； ?(4) 1???cos?x???x2?????(?x???0?)?；

?32(5) ex???????x?????(?x???0?)?；

(6) (1?x)a???????x?????(?x???0?),?其中???????. 6．运用等价无穷小量求极限：

?x； (1) lim?x??x???cos?x2?arctan?1???x2???1(2) lim?；

x?01???cos?x?(3) lim?x?0x?ln(1?x)；

sin?x22ex???1(4) lim?.

x?0x?sin?x7．设?f(x)???g(x)??(x?x0)?，证明：

?f(x)???g(x)????o?(?f(x)?)?或?f(x)???g(x)????o?(?g(x)?)?.

8．设?x???a?时，f1(x)?与?f2(x)?维等价无穷小，g1(x)?与?g2(x)?是等价无穷大，且 ?lim?f2(x)g2(x)?存在，求证

x?a?lim?f1(x)g1(x)???lim?f2(x)g2(x)?.

x?ax?a

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