第13讲 增量理论本构方程

第三章 金属塑性变形的力学基础

第四节 本构方程

第一讲 增量理论本构方程

弹性应力应变关系特点 塑性应力应变关系特点 增量理论本构方程

弹性应力应变关系广义虎克定律

在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定 律表达，即

E , 2G

一般应力状态，用广义虎克定律： x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x

v ( v ( v (

y

z )]; x )]; y )];

xy

1 2G 1 2G 1 2G

xy yz zx

y

z

yz

z

x

zx

E——弹性模量； v——泊松比； G——切变模量(剪切模量);G E 2 (1 v )

弹性应力应变关系 x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x

v ( v ( v ( 1 E

y

z )]; x )]; y )];

xy

1 2G 1 2G 1 2G

xy yz zx

y

z

yz

z

x

zx

z )]

G

E 2 (1 v )

x y z

[

x

y

z

2 v (

x

y

3 m

3 E

m

(1 2 v )

m

1 2v E

m

物体弹性变形时其单位体积变化率与平均应力成正比，说明应力 球张量使物体产生弹性的体积改变。

弹性应力应变关系 x y z 1 E 1 E 1 E [ [ [ x

v ( v ( v (

y

z )]; x )]; y )];

xy

1 2G 1 2G 1 2G

xy yz zx

y

z

yz

z

x

zx

G

E 2 (1 v )

x m 1 v 2 E 3 1 v

1 Ex

[ x v (

y

z)

1 3

( x

y

z)

2v 3

( x

y

z )]

1 v 3 3 E 1 ( x m ) x' 2 G (1 v ) 2Gy

z

1 x ( x 3

y

1 v z ) ( x m ) E

弹性应力应变关系 x ' y ' z ' 1 2G 1 2G 1 2G

x '; y '; z ';

xy

1 2G 1 2G 1 2G

xy yz

yz

zx

zx

ij ' m

1 2GE

ij '

1 2v

m

广义虎克定律的张量形式

ij ij ' ij m

1 2G

ij '

1 2v E

ij m

弹性应力应变关系 x ' y ' z ' 1 2G 1 2G 1 2G

x '; y '; z ';

xy

1 2G 1 2G 1 2G

xy yz

yz

zx

zx

ij '

1 2G

ij '

广义虎克定律的其它形式 x' x'

y' y'

z' z'

xy

xy z

yz yz

zx

zx

1 2G

x y x y

y z y

z x z x

xy

xy

yz yz

zx

zx

1 2G

弹性应力应变关系 x y x y

y z y

z

z x z x

xy

xy2

yz yz

zx

zx2

1 2G2 2 yz

(

1 2

(

x

y ) ( 2

y

z ) (

z

x ) 6 ( xy xy yz zx

zx )2

y ) 2 G ( x y ) ( y z ) 2 G ( y z ) ( z x ) 2 G ( z x ) x

xy 2 G yz 2 G zx 2 G 2

2

G

E 2 (1 v ) 2 yz

2G 21 E

( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2

2 xy

2 zx

)

2 1 v

( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2

2 xy

2 yz

2 zx

)

弹性应力应变关系

2G 21 E

( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2

2 xy

2 yz

2 zx

)

2 1 v1 2 (1 v )

( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2

2 xy

2 yz

2 zx

)

令

i

( x y ) ( y z ) ( z x ) 6 ( 2 2 2

2 xy

2 yz

2 zx

)

E i

i

——弹性应变强度

弹性应力应变关系 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与 全量应变主轴重合; 变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应 变之间存在单值关系; 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的 变化，泊松比v<0.5;

塑性应力应变关系弹性变形——σ-ε对应，如σc永远对应εc

理想—— σs对应任何应变 塑性变形 硬化

σs→ σe (加载) → εe σf→ σe (卸载) → εf'

塑性应力应变关系

相同的应力状态(2、4、5), 对应不同的应变状态； 相同的应变状态(1、2及3、4) 对应不同的应力状态。

塑性应力应变关系1、应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变 主轴与应力主轴不一定重合；2、变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力应变关系不再保持单值关系； 3、塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量 为零，泊松比v=0.5; 4、对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的 屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服 应力要高。

弹性应力应变关系应力与应变完全成线性关系，即 应力主轴与全量应变主轴重合

塑性应力应变关系应力与应变之间的关系是非线性的， 全量应变主轴与应力主轴不一定重合

变形是可逆的，与应变历史无关， 变形是不可逆的，与应变历史有关， 应力与应变之间存在单值关系 即应力-应变关系不再保持单值关系

弹性变形时，

应力球张量使物体 产生体积的变化，泊松比v<0.5

塑性变形时可以认为体积不变，即应 变球张量为零，泊松比v=0.5 对于应变硬化材科，卸载后再重新加 载时的屈服应力就是卸载时的屈服应 力，比初始屈服应力要高

应力应变关系增量理论增量理论是描述材料处于塑性状态时，

应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。

应力应变关系增量理论1870年，圣维南(B.Saint Vonant)提出 应力主轴与应变增量主轴重合，而不与全量应变主轴重合。 ——应力~应变速率方程 1871年，列维(M.Levy)提出应力~应变增量关系。 1913年，米塞斯(Mises)提出与列维相同的方程——进入应用阶段。 ——Levy-Mises方程 1924年，普朗特(L.Prandtl)提出平面变形问题的弹塑性增量方程，劳 斯(A.Reuss)推广至一般状态。 ——Prandtl~ Reuss方程

应力应变关系增量理论1、Levy-Mises理论(Levy-Mises方程)1)材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就 是总的应变增量。

2)材料符合Mises屈服准则，即 s3)每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。 4)塑性变形时体积不变，即 d x d y d z d 1 d 2 d 3 0

在上述假设基础上，假设应变增量与应力偏量成正比，得LevyMises方程d ij ij ' d

dλ——瞬时非负比例系数，加载时 dλ>0,卸载时dλ=0

应力应变关系增量理论d ij ij ' d

Levy-Mises方程的其它形式d x d y d z d d d

x'

y'

z'

xy

xy

yz

zx

yz

zx

d

d x d y

x

d y d z

d z d x

y

y

z

z

d

x

应力应变关系增量理论d x

x'

d y

y'

d z

z' 2 2 2

d

xy

xy

d

yz

d

zx

yz

zx

d

d x d yx

d y d zy

d z d x

y

z

z

d

x

( d x d y ) ( ( d y d z ) ( ( d z d x ) ( 6(d 2 xy

x y z2 zx

2 2 y ) d 2 2 z ) d 2 2 x ) d

d

2 yz

d

) 6 ( xy 2

2 yz

zx ) d 2

2

(d x d y ) (d y d z ) (d z d x ) 6(d [( x

2

2

2

2 xy

d

2 yz 2

d 2

2 zx

)

y ) (

2

y

z ) (

2

z

x ) 6 ( xy

2

2

2 yz

zx )] d

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/glim.html