§1.1集合及集合的表示方法（第1节）

1.1.1集合与集合的表示方法

入课部分：同学们先考虑一下老师提出的一下3个问题。 （1）2012年沈阳市中考的考生都是谁？ （2）不等式2x-1<0的解是什么？

（3）一元二次方程的x?2x?0的根是什么？

一、集合（简称为集）概念：能够确定的不同的对象所构成的整体称为集合。 ．．．．．．

元素：构成集合的每个对象叫做元素。 例1:判断下列语句能否构成集合 （1）沈阳31中高一2班身高超过170cm的男生。 （2）沈阳31中高一2班身高较高的男生。 （3）小于0的整数 （4）较小的整数 注：利用集合概念中的确定性来判断集合，使学员明白确定性与相对性的区别。 二、元素与集合的关系：集合一般用大写字母A、B、C?来表示， 元素一般用小写字母a、b、c?来表示； 如果元素a是集合A中的元素，记a∈A，读作“a属于A”， 如果元素a不是集合A中的元素，记a?A，读作“a不属于A”； 如：集合A={5,6} 2∈{1,2,3}；5?{1,2,3} （点一下集合的表示法，后面会详细讲。） 三、通过x??1引入空集概念 空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作? 注：0??；空集是一个集合而不是一个元素。 例2：下列说法正确的是（ ） A．0?? B．??0 C．0?{0} D．??A 注：集合与集合之间不能用?符号。 四、集合的性质：①确定性：集合中的元素必须是确定的，不能含混不清。 ②互异性：集合中不能有重复的元素。如：{1,2,3,4}是集合，{1,1,2}是错误的表示方法 ③无序性：集合中元素可以任意排列。如：{1,2,3}={3,1,2} 说明：如果两个集合中的元素完全相同，则这两集合为相等集合。 例3：已知集合A=x?2,x?4x,5，其中?3?A，则x的取值为___________ 例4：已知集合A?{x,xy,x?y},B?{0,x,y}，且A=B，则x?___________，y?___________。 五、集合的分类：1、按照集合中元素的个数分类 ①有限集：含有有限个元素的集合。注：空集?是有限集。 如：大于2小于10的整数； 方程3x+1=0的根。 ②无限集：含有无限个元素的集合。

如：所有的实数； 线段AB上的点。

2、按性质分类

①数集；如：{1,2,3} ②点集；如：{（2,1）（1，2）（3,8）}

③其他集合；如{平行四边形}，{高一1班的学生}，

{身高超过170cm的人}

强调：不能写成{所有平行四边形}，在{ }里面不能有全体、所有等全称量词存在。

1

22?2?

六、用某些字母表示常见集合：

*

①自然数集：记做N； ②正整数集：记做N或N+，或Z+；

③整数集：记做Z； ④有理数集，记做Q； ⑤实数集：记做R

强调：*与+号的区别：*号代表除去0以外的数， +号代表一个数域的正向部分。

*

如：R-表示负实数；Q+表示正有理数；R表示表示非0实数。 例5：用符号?或?填空：

0_____｛0｝， 0_____?， a_____｛a｝， π____Q，

1*

_____Z， －1_____R-， 0_____N． 2七、集合的表示 1、列举法：把集合中的所有元素都列举出来，写在“{ }”内。 A=??1,1? B={2,4,6,8,10,12,14,16} 注意：列举法也可以表示无限集，如：自然数集{0,1,2,?,n,?} 但列举法不能表示无规律的无限集，如：{0,2,-1,?,1,?}这样表示是不正确的，因为不 3 满足集合的确定性。 2、描述法：形式为：{x|p(x)}，其中x为代表元素，p(x)为代表元素所具有的性质（特征性质）。 22 如：1、方程x-1=0的根所够成的集合可以表示为{x|x-1=0}={-1,1} 2、大于3的全体偶数：{x|x>3,x=2k,k?N} 3、图示法： 例6：用列举法表示下列集合 ?x?y?1 ① 20以内的质数集合 ②{(x,y)|?} xy??6? 例7：用描述法表示下列集合 ① ??1,1? ②在自然数内，小于100的奇数所构成的集合 ③平行四边形全体 八：难点解读 1、一个集合可以有多种表示方法： 2如：①{-1,1}={x|x-1=0}={x|(x+1)(x-1)=0}={t||t|=1} ②{x|x是正奇数}={x|x=2k+1，k?N}={x|x=2k-1，k?N+}={x|x=2k-1，k?Z+} ③{x|x?1}={x|y=x?1}={y|y=x+1}={y|y=x+2x+2} 2、同一个特征性质表示不同的集合 22 ①A={x|y=x?1}表示x的取值范围。A={x|x?1} ②B={y|y=x?1}表示y的取值范围。A={y|x?0} ③C={（x，y）|y=x?1}表示在直角坐标系中曲线y=x?1上点的坐标。 （此部分没时间可以不讲） 课上习题： 1、下列各组对象：①接近0的数的全体②比较小的正整数全体③平面上到点O的距离等于1的点的全体④正

三角形的全体⑤2中16岁以下的学生，其中能构成集合的组数是（ ）

A、2组 B、3组 C、4组 D、5组

2、下列说法错误的是（ ）

A、平面直角坐标系中的所有整点（纵横坐标都是整数的点）可形成一个集合 B、小于0.01的整数的集合是有限集 C、0?Q，0?Z D、｛0｝表示仅含有一个元素0的集合

2

3、用符号?或?填空：

（1）-3 N； （2）3.14 Q； （3） （5）3 Q； （6）?1 Q； （4）0 Φ 31 R； （7）1 N+； （8）? R。 224、若集合A?{xax?2x?1?0,a?R,x?R}中只有一个元素，则a=___________。

5、用适当的方法表示下列集合（1）36的正约数集合 （2）A={(x,y)|y=x-1,x?2,x?Z}

2

6、若-3∈{a-3,2a-1,a+1},求实数a的值。

（讲不完留作业）

2课 后 练 习 1、判断下列命题真假 ⑴很小的实数可以构成集合；（ ） ⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；（ ） ⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；（ ） ⑷由1，36，，0.5组成的集合有4个元素．（ ） 242、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； （3）方程(x?1)2(x?2)?0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{x4?x?5}是有限集. 其中正确的说法是（ ） A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3） C. 只有（2） D. 以上四种说法都不对 3、已知有下列四个命题：①?0?是空集；②若a?N，则?a?N； 2 ③集合A?x?R|x?2x?1?0有两个元素；④集合B??x?Q|????6??N?是有限集， x? 其中正确命题的个数是（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 24、已知集合M?{xmx?2x?m?0,m?R}中有且只有一个元素的所有m的值组成的集合为N，则N为

（ ） A.??1,1? B.?0,1? C.??1,0,1? DN?R 5、若集合A?{x,xy,xy?1}，其中x?Z，y?Z且y?0，若0?A，则A中元素之和是___________。 6、定义集合运算:A?B?zz?xy,x?A,y?B.设A??1,2?,B??0,2?,则集合A?B的所有元素之和 为 ． 7、已知集合A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，若1?A，则a值为多少？

2222

8、设集合A={x-y,x+y,xy},B={ x-y,x+y,0 }，且A=B，求实数x和y的值及集合A、B。

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