清远市华侨中学高二理科数学练习题归纳推理与类比

清远市华侨中学高二理科数学练习题——归纳推理与类比推理

命题人：刘志联 审校：陈广平 2010-3-29

1.(2005广东)．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n>4时，

1f(n)= .（用n表示）5, (n?2)(n?1)

22.(2006广东)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、?堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以

f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)? ；f(n)? （答案用n表示）.f(3)?10，f(n)?n(n?1)(n?2)

63.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

??????

按照以上排列的规律，第n行（n?3）从左向右的第3个数为 ▲

n2?n【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋?＋（n－1）个，即

2n2?nn2?n?6个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．

224.（2008佛山二模理）对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22?1?3 32?1?3?5 42?1?3?5?7 23?3?5 33?7?9?11 43?13?15?17?19

3*根据上述分解规律，则5?___________________，若m(m?N)的分解中最小的数是21，则m的值为

3_________. 5?21?23?25?27?29，m?9

5.（2008湛江二模）设Sn是等比数列?an?的前n项和, 对于等比数列?an?,有命题p:若S3,S9,S6成等差

3数列,则a2,a8,a5成等差数列成立；对于命题q：若Sm,Sn,Sl成等差数列, 则 ________________成等差数列.请将命题q补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可)

am?k,an?k,al?k

(k?N?)开放题，答案不唯一

1

6.（2008中山一模）观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_______个小正方形，第n个图中

有 ________________个小正方形. 28 ,

7.（2008深圳一模文）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则f(5)? 41 ；

(n?1)(n?2)

2(?f(n)?f(n?1)? 4n1) ．（答案用数字或n的解析式表示）

8.(2009江苏)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ .【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8

w.w.w.s.5.u.c.o.m w.w.w.s.5.u.c.o.m

9.(2009浙江文)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， .s.5.u.c.o.m T8T12T ，16成等比数列． ,T4T8T12T8T12T16，成等比数列．,T4T8T12w.w.w..s.5.u.c.o.m

【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，

10.（2008深圳一模）在Rt?ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则

111??，由此类h2a2b2比：三棱锥S?ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则

1111??2?2 ． 22habc11.（2008珠海一模）边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于 3a ；将这个结论推广到空间是：棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和等于 26a . 3?????????????12.（2008韶关一模）若点O在?ABC内，则有结论 S?OBC?OA?S?OAC?OB?S?OAB?OC?0，把命题类

2

比推广到空间，若点O在四面体ABCD内，则有结论：_____________________________.

?????????????????VO?BCD?OA?VO?ACD?OB?VO?ABD?OC?VO?ABC?OD?0

13.（2008汕头一模）设P是?ABC内一点，?ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有

lalblc???__________________________；类比到空间，设P是四面体ABCD内一hAhBhC点，四顶点到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld，则有_________________。1,lalblcld????1 hAhBhChD0BC14.（2009深圳一模文）在Rt?ABC中，若?C?90,AC?b,BC?a，则?Aa2?b2外接圆半径r?．

2运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c，则其外接球的半径

222R= ．a?b?c

215.（2009茂名一模文）在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是?,?，则有

cos2??cos2?? * 。类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱所成的

角分别是?,?,?，则有正确的式子是 * 。1；cos2??cos2??cos2??1 16.(2009深圳二模文13)数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：

112123123412n?1 ,,,,,,,,,,?,,,?,,?2334445555nnn则a15? ，若存在正整数k，使Sk?10，Sk?1?10，则ak? ．

55 ， 67?1a?1?2n17. (2005北京理)设数列{an}的首项a1=a≠，且an?1??4?a?1n??4记bn?a2n?1?n为偶数,

n为奇数1，n＝＝l，2，3，?·． 4（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）略． 解：（I）a2＝a1+

11111=a+，a3=a2=a+； 44228113131（II）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,

42824163

11111111=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－), 444244441猜想：{bn}是公比为的等比数列·

2所以b1=a1－ 证明如下：

111111=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*) 42424211 所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列·

42 因为bn+1＝a2n+1－

18.(2008天津理22)在数列?an?与?bn?中，a1?1,b1?4，数列?an?的前n项和Sn满足

nSn?1??n?3?Sn?0,2an?1为bn与bn?1的等比中项，n?N*.

（Ⅰ）求a2,b2的值；（Ⅱ）求数列?an?与?bn?的通项公式；（Ⅲ）略.

（Ⅰ）解：由题设有a1?a2?4a1?0，a1?1，解得a2?3．由题设又有4a22?b2b1，b1?4，解得b2?9． （Ⅱ）解法一：由题设nSn?1?(n?3)Sn?0，及a2?3，进一步可得a3?6，a1?1，b1?4，b3?16，b2?9，

a4?10，b4?25，猜想an?先证an?n(n?1)*，bn?(n?1)2，n?N． 2n(n?1)*，n?N． 21?(1?1)当n?1时，a1?，等式成立．当n?2时用数学归纳法证明如下：

22?(2?1)（1当n?2时，a2?，等式成立．

2k(k?1)（2）假设n?k时等式成立，即ak?，k?2．

2由题设，kSk?1?(k?3)Sk (k?1)Sk?(k?2)Sk?1

①的两边分别减去②的两边，整理得kak?1?(k?2)ak，从而

ak?1?k?2k?2k(k?1)(k?1)[(k?1)?1]ak???． kk22n(n?1)对任何的n?2成立． 2这就是说，当n?k?1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式an?综上所述，等式an?n(n?1)n(n?1)*对任何的n?N都成立an? 22*再用数学归纳法证明bn?(n?1)2，n?N． （1）当n?1时，b1?(1?1)，等式成立．

2 4

4ak?12(k?1)2(k?2)2（2）假设当n?k时等式成立，即bk?(k?1)，那么bk?1???[(k?1)?1]2． 2bk(k?1)2这就是说，当n?k?1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式bn?(n?1)2对任何的n?N都成立． 19.(2008重庆理22)设各项均为正数的数列{an}满足a1?2,an?a（Ⅰ）若a2?32a?1a?2*a(n?N*).

1，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；（Ⅱ）略. 4解：(Ⅰ)因a1?2,a2?2?2,故

a3?a1a2?32?24,?2?8.2a4?a2a303?2

由此有a1?2(?2),a2?2(?2),a3?2(?2),a4?2(?2)，故猜想an的通项为an?2(?2)(n?N*).

20.(2008辽宁理21) 在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an?1成等差数列，bn，an?1，bn?1成等比数列（n?N）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）略．

2解：（Ⅰ）由条件得2bn?an?an?1，an?1?bnbn?1，

*23n?1由此可得a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25． 猜测an?n(n?1)，bn?(n?1)2． 用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即ak?k(k?1)，bk?(k?1)2， 那么当n=k+1时，

2akak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2)，bk?1??2?(k?2)2．

bk2所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知an?n(n?1)，bn(n?1)对一切正整数都成立．

2 5

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