江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：函数(2) (详细解答)

江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学专题卷

江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数2

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。 1

、函数y

的定义域为 ▲ 。

2、已知全集U A B中有m个元素，(CuA) (CuB)中有n个元素．若A B非空，则

A B 的元素个数为 个。

3、设函数f(x) g(x) x2，曲线y g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y 2x 1，则曲线y f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 ▲ 。

2

y log(x 6x 8)的单调递增区间是 ▲ 。 14、函数

2

ax 1

在区间 2, 上是增函数，那么a的取值范围是 。 x 2

1

6、已知偶函数f(x)在区间 0, )单调增加，则满足f(2x 1)＜f()的x 取值范围是

3

5、函数f(x) 。

7、设函数f(x) (2a 1)x b是R上的减函数,则a的范围为 . 8、已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是 ▲ 。

9、二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若 f(1－2x2)<f(1＋2x－x2)，则x的取值范围是 ▲ 。[来源:Z,xx,] 10、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)

在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间

(a,b)内有极小值点 ▲ 个。[来源:学。科。网]

11、设函数f(x)

a 0)的定义域为

D，若所有点(s,f(t))(s,t D)构成一个正方形区域，则a的值为 ▲ 。

12 k(x 2) a,b ，且b a 2，

则k＝ ▲ 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

ex

13、设函数f(x)

x

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（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若k 0，求不等式f (x) k(1 x)f(x) 0的解集。

[来源:Z*xx*]

2x b

14、已知定义域为R的函数f(x) x 1是奇函数。

2 a

（1）求a,b的值；

（2）若对任意的t R，不等式f(t2 2t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围。

15、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面

工程费用为(2x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。

（1）试写出y关于x的函数关系式；

（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

16、设函数f(x) |x 1| |x a|。

若a 1,解不等式f(x) 3； （2）如果 x R,f(x) 2,求a 的取值范围。w.w. 17、对于函数f(x) ax2 (b 1)x b 2(a 0)，若存在实数x0，使f(x0) x0成立，则称x0为f(x) 的不动点。

（1）当a 2,b 2时，求f(x)的不动点；

（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在(2)的条件下，若y f(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线

y kx

12a2 1

是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围。

18、已知函数y kx与y x2 2(x≥0)的图象相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分别

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是y x2 2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点。 （1）求k的取值范围；

（2）设t为点M的横坐标，当x1 x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（3）试比较OM与ON的大小，并说明理由（O是坐标原点）。

[来源:学§科§网]

[来源:学科网]

参考答案 一、填空题： 1

、函数y

的定义域为 ▲ 。( 1,1)

(痧2、已知全集U A B中有m个元素，若AIB非空，则AIBUA) (UB)中有n个元素．

的元素个数为＝ ▲ 。m n

3、设函数f(x) g(x) x2，曲线y g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y 2x 1，则曲线y f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 ▲ 。4

2

y log(x 6x 8)的单调递增区间是 ▲ 。( ,2) 14、函数

2

ax 11

在区间 2, 上是增函数，那么a的取值范围是 ▲ 。a x 22

1

6、已知偶函数f(x)在区间 0, )单调增加，则满足f(2x 1)＜f()的x 取值范围是

3

5、函数f(x)

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▲ 。（7、

12

，） 33

1 a

2

8、已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是 ▲ 。(－3，

3） 2

9、二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)<f(1+2x－x2),则x的取值范围是 ▲ 。－2＜x＜0 10、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间

(a,b)内有极小值点 ▲ 个。1个

11

、设函数f(x)

a 0)的定义域为

D，若所有点(s,f(t))(s,t D)构成一个正方形区

域，则a的值为 ▲ 。－4 12、若不等

式▲

二、解答题：

k(x 2)的解集为区间 a,b ,且b a 2,则k＝

ex13、设函数f(x)

x

（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若k 0，求不等式f'(x) k(1 x)f(x) 0的解集． 解： (1) f(x)

'

1x1xx 1x

e e 2e, 由f'(x) 0,得 x 1. 2xxx

因为 当x 0时,f'(x) 0； 当0 x 1时,f'(x) 0； 当x 1时,f'(x) 0；

(0,1]. 所以f(x)的单调增区间是:[1, )； 单调减区间是: ( ,0)，

2

(kx 1x)x 1 kx kxx(x 1)

e 0, （2）由 f(x) k(1 x)f(xe22

xx

'

得：(x 1)(kx 1) 0.

故：当 0 k 1时, 解集是：{x1 x ；

1

k

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当 k 1时，解集是： ； 当 k 1时, 解集是：{x

1

x 1}. k

2x b

14、已知定义域为R的函数f(x) x 1是奇函数．（1）求a,b的值；（2）若对任意的t R，

2 a

不等式f(t2 2t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围.

b 11 2x

[来源:解：（1）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 0 b 1 f(x) x 1

a 2a 2

学。科。网]

1

又由f（1）= -f（-1）知1 2

a 2.a 4a 1

1

1 2x11

（2）由（Ⅰ）知f(x) ，易知f(x)在( , )上为减函数． x 1x

2 222 1

又因f(x)是奇函数，从而有不等式：f(t2 2t) f(2t2 k) 0 等价于f(t2 2t) f(2t2 k) f(k 2t2)， 因f(x)为减函数，由上式推得：t2 2t k 2t2．

即对一切t R有：3t2 2t k 0，从而判别式 4 12k 0 k .

15、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面

工程费用为(2x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。

（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

13

m 1 xmm

所以

-1)+(2x

xx

256x

2m 256.

x

解 （Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n 1)x m，即n= （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f'(x)

256mx

2

13m3

2

mx 2(x2 512). 22x

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令f'(x) 0，得

xx 512，所以=64

3

2

当0<x<64时f'(x)<0， f(x)在区间（0，64）内为减函数； 当64 x 640时，f'(x)>0. f(x)在区间（64，640）内为增函数， 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n 故需新建9个桥墩才能使y最小。

16、设函数f(x) |x 1| |x a|。

若a 1,解不等式f(x) 3； （2）如果 x R,f(x) 2,求a 的取值范围。 解：（1）当a=-1时，f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳. 由f(x)≥3得

︱x-1︳+︱x+1|≥3

（ⅰ）x≤-1时，不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3

17、对于函数f(x) ax2 (b 1)x b 2(a 0)，若存在实数x0，使f(x0) x0成立，则称x0为f(x) 的不动点．

（1）当a 2,b 2时，求f(x)的不动点；[来源:学科网ZXXK]

（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在(2)的条件下，若y f(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线y kx

m640 1 1 9. x64

12a2 1

是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

解： f(x) ax2 (b 1)x b 2(a 0)， （1）当a 2,b 2时，f(x) 2x2 x 4．

设x为其不动点，即2x2 x 4 x，则2x2 2x 4 0． 所以x1 1,x2 2，即f(x)的不动点是 1,2. （2）由f(x) x得ax2 bx b 2 0.

由已知，此方程有相异二实根，所以 a b 4a(b 2) 0，

2

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即b2 4ab 8a 0对任意b R恒成立．

b 0, 16a2 32a 0， 0 a 2．

（3）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线y kx 记AB的中点M(x0,x0)，由(2)知x0

12a2 1

是线段AB的垂直平分线， k 1．

b． 2a

b a

1bb1

2

上， M在y kx 2

2a 12a2a2a 1 f(x) x ax2 bx b 2 0, x1 x2

化简得：

b

a2a2 1

12a

a

时，等号成立．

4，当a 2

b 即b 44

18、已知函数y kx与y x2 2(x≥0)的图象相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分别是y x2 2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点． （1）求k的取值范围；

（2）设t为点M的横坐标，当x1 x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（3）试比较OM与ON的大小，并说明理由（O是坐标原点）．

y kx，

解：（1）由方程 消y得x2 kx 2 0． ① 2

y x 2

依题意，该方程有两个正实根，

k2 8 0，故 解得k

x x k 0，

12

（2）由f (x) 2x，求得切线l1的方程为y 2x1(x x1) y1， 由y1 x 2，并令y 0，得t

2

1

x11 2x1

x1，x2是方程①的两实根，且x1

x2，故x1 k

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x1是关于k的减函数，所以x

1的取值范围是(0．

t是关于x

1的增函数，定义域为(0，所以值域为( ，0)，

（3）当x1 x2时，由（II）可知OM t

x11 ． 2x1

类似可得ON

x21x xx x ．OM ON 12 12． 2x22x1x2

由①可知x1x2 2．从而OM ON 0．

当x2 x1时，有相同的结果OM ON 0．所以OM ON．

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