向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟 2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab |a||b|cos （2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

ab

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ab 0 x1x2 y1y2 0 （6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则ab x1x2 y1y2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知 、 是任意角，求证：cos( ) cos cos sin sin 。 证明：在单位圆上，以x轴为始边作角 ，终边交单位圆于A，以x轴为始边作角 ，终边交单位圆于B，有OA (cos ,sin ),OB (cos ,sin )，所以有：

OAOB cos cos sin sin

又OAOB |OA||OB|cos AOB cos( ) 即cos( ) cos cos sin sin

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos( )或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 2、利用向量证明不等式

材料二：m,n,a,b,c

,

d

证明：设h

k

|h| k|

由数量积的坐标运算可得：hk

又因为|hk| |h||k|，

成立。 点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：

ab x1x2 y1y2，|a||b| |ab|，构造向量解之。

3、利用向量求值

3

，求锐角 , 。 2

3

解析：由条件得(1 cos )cos sin sin cos

2

设m (1 cos ,sin )，n (cos ,sin )，

3则mn

cos ，|m| |n| 1，

2

312

由mn |

m||n|，得 cos (cos ) 0，

22

1

则cos ，即 ，同理 （因为 、 为锐角）

233

材料三：已知cos cos cos( )

点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。 变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)，C(cos ,sin )， (（１）、若|AC| |BC|，求角 的值；

3

2,2

)。

2sin2 sin2

（２）、若ACBC 1，求的值。

1 tan

解析：（１）AC (cos 3,sin )，

BC (cos

,sin 3)

|AC|

3 5

)， 由|AC| |BC|得sin cos ，又 (, 224

（２）、由ACBC 1得(cos 3)cos sin (sin 3) 1

2

sin cos ……………………………………（１）

3

2sin2 sin2 2sin2 2sin cos

2sin cos 又

sin1 tan 1

cos

4

由（１）式两边平方得1

2sin cos

9

552sin2

sin2

2sin cos ，

991

tan

|BC|

4、利用向量求函数值域 5，求x y的最小值。

解析：构造向量

m ，n (1,1) 由mn

|m

||n|

27

x y

227

x y有最小值

2

变式：设x的最小值。

解析：

故可设a

(x 1,1)，b (5 x,3)

|a b|

|a| |b|

x 11

，即x 2时等号成立。 当

5 x3

所以当x 2时, 取最小值点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。 5、利用向量解决析几何问题

材料六：过点M( 2,0)，作直线l交双曲线x2 y2 1于A、B不同两点，已知

OP OA OB。

（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使|OP| |AB|?若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。 解析：（1）、设直线l的方程为y k(x 2)， 代入x2 y2 1得(1 k2)x2 4k2x 4k2 1 0，

4k24k2 1当k 1时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1 x2 ，x1x2 2 2

1 kk 1

k4k24k

y1 y2 k(x1 2) k(x2 2) 4k 22

1 k1 k

设P(x,y)，由OP OA OB，则

4k24k

(x,y) (x1 x2,y1 y2) (,)

1 k21 k2

4k2x x

1 k，解之得 k (k 0)

y y 4k

1 k2

4kx22

再将 k代入y 得(x 2) y 4……………………（1） 2

1

ky

当k 0时，满足（1）式；

当斜率不存在是，易知P( 4,0)满足（1）式，故所求轨迹方程为(x

2)2 y2 4，其轨

迹为双曲线；

当k

1时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）|OP| |AB|，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是

OAOB 0，即x1x2 y1y2 0。

当k不存在时，A、B坐标分别为( ，( 2,，不满足上式。

(k2 1)(4k2 1)2k24k22

4k 0 又x1x2 y1y2 x1x2 k(x1 2)(x2 ) 22

k 1k 1

k2 1

0，此方程无实数解，故不存直线l使OAPB为矩形。 化简得：2

k 1

2

点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

x2y2

变式：已知双曲线Ｃ：2 2 1(a 0,b 0)，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x轴

ab

正半轴上，且满足|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线l，垂足为Ｐ，如图所示。 （１） 求证：PAOP PAFP；

（２） 若l与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率e的范围。

a y (x c) aa2ab b

解析：（１）直线l的方程为：y (x c)，由 解得P(,)

ccc y bx

a

|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，

a2

A(,0)，故PA x轴，如图所示。

c

从而PAOP PAFP PAOF 0 PAOP PAFP

a

a4 y (x c)22

(2)、由 得bx 2(x c)2 a2b2， b

b b2x2 a2y2 a2b2

a422a4a42

即(b 2)x 2cx 2(x c)

bbb

a4c2

(2 a2b2)x1x2 0， b4 a4，即b2 a2，c2 a2

a2 e2 2 e 4

ab2 2

b

2

点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。 随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u 1,k 或u m,n ，要会求出直线的斜率； （2）给出OA OB与AB相交,等于已知 过AB的中点;

（3）给出 0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出AP AQ BP BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①

//；②存在实数 ,使 AC；③若存在实数

, ,且 1,使OC OA OB,等于已知A,B,C三点共线.

OA OB

，等于已知P是的定比分点， 为定比，即AP PB

1

（7） 给出 0,等于已知MA MB,即 AMB是直角,给出

（6） 给出

MA MB m 0,等于已知 AMB

是锐角。

是钝角, 给出MA MB m 0,等于已知 AMB

（8）

给出 MP,等于已知MP是 AMB的平分线/

（9）在平行四边形ABCD中，给出(AB AD) (AB AD) 0，等于已知ABCD是菱

形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB AD| |AB AD|，等于已知ABCD是矩形; （11）在 ABC中，给出 ，等于已知O是 ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在 ABC中，给出 的重心是三角形三条中线的交点）；

2

2

2

，等于已知O是 ABC的重心（三角形

OC OA，等于已知O是 ABC的垂

（13）在 ABC中，给出OA OB OB OC心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在 ABC中，给出

(

ABAC

)( R )等于已知AP通过|AB||AC|

ABC的内心；

（15）在 ABC中，给出a b c 等于已知O是 ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在 ABC中，给出AD

1

AB AC,等于已知AD是 ABC中BC边的中线。 2

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