八年级平方根与立方根（教案）

平方根与立方根 第一课时 平方根

教学目的：

1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；

教学重点和难点：

重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念； 关键：对符号“

”意义的理解。

学法指导：

根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。

教法指导：

1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。

2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。

教学过程：

一、引入新课：

我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。

可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑：

（1）计算：4； (－4)； (23)； (0.8)； (－0.8) （2）如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？

2

22

2

2因为开方与平方是互为逆运算，所以适当进行平方运算的复习是必须的 上面例子可以看到求一个数的平方根，可经转化为通2、知识形成： 知识点一：

2过乘方运算来求。 我们可以设这个数为x，则x＝16，问题归结为求x。这个问题可以通过乘方运算来解决。

因为4＝16所以x＝4；又因为(－4)＝16，所以x＝－4。4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)＝16。

因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。就是说，如果x＝a,那么x就叫做a的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。

因为(±23)＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系?

（2）0的平方根是什么?

概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

知识点二：

概括：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。

因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三：

（1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m的平方根怎样表示？

（2）下列各数的平方根各是什么？

23 64； 0； (－0.4)； (?1)； －16； (－4) 2

22

2

2

这些数都是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数 分析：求平方根是开方运算，我们可以通过平方运算来解决。 分析：因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0。 232（3）已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？

3、例题讲解：

例1、求下列各数的平方根：

(1)81； (2)1916； (3)0.09。

例2、下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根；如果没有，

问：(1)?42有平方根吗? (2) 请说明理由。

(1)－64； (2)0； (3)??4?2

例4、求下列各式的值：

(1)10000； (2)?144； (3)

25121； (4)?0.0001； (5)?4981 三、巩固训练： Ｐ4 1、3 四、知识小结：

1、如果x2

＝a,那么x就叫做a的平方根，用±a来表示。

当a＞0时，a有两个平方根，

当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身； 当a＜0时，a没有平方根。

2、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方的结果是唯一的；在开平方运中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的。 五、课后作业：

六、课后反思

??4?2与－4相等吗?为什么? 平方根与立方根

第二课时 算术平方根（9月2日 星期三）

教学目的：

1、使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法； 2、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；

教学分析：

重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法； 难点：算术平方根的概念，对符号“

”意义的理解，能用根

号表示一个正数的平方根和算术平方根。

教学过程：

一、算术平方根的概念

正数a有两个平方根(表示为?叫做a的算术平方根，表示为a。

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，

即0?0。

“

”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。 a的

a)，我们把其中正的平方根，

意义有两点：

（1）被开方数a表示非负数，即a≥0；

（2）a也表示非负数，即a≥0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a＜0时，a无意义。

如：9 ＝3，8是64的算术平方根，?6无意义。

9既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根。

二、平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同；

②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个；

③表示方法不同：正数a的平方根表示为?a, 正数a的算术平方根表示为a；

④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负．

⑤0的平方根与算术平方根都是0． 三、例题讲解：

例1、求下列各数的算术平方根：

(1)100； (2)

49； (3)0.81 64例2、求下列各数的平方根和算术平方根。

1 0 0.25 1616 0.0144 400 6.25

121144 324

例3、100的平方根是 ；

0的平方根是 ；

121的算术平方根是 ； 0.25的平方根是 ；

49的算术平方根是 ； 641的平方根是 ； 2561.69的算术平方根是 ； （-3）的平方根是 ；

2

四、巩固训练：

1、下列说法对吗？为什么？错的请你加以改正。 （1）－9的平方根是－3； （2）49的平方根是7； （3）0的算术平方根是0； （4）1 的平方根是 1； （5）－1 是 1的平方根； （6）7的平方根是±49； （7）（－2）的平方根是－2； 五、知识小结：

1、平方根、算术平方根概念、表示方法和读法。 2、a) 正数的平方根有两个，他们互为相反数。 b) 0的平方根有一个，为0。

c) 负数没有平方根。

3、0既是0的平方根，也是0的算术平方根。

平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系

六、课后作业：

七、课后反思：

2

平方根与立方根

第三课时 平方根和算术平方根（9月3日 星期四） 教学目的：

1、复习数的平方根和算术平方根的概念，会求非负数的平方根和算术平方根。；

2、熟练掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；

教学分析：

重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法； 难点：算术平方根的概念，对符号“

”意义的理解，能用根

号表示一个正数的平方根和算术平方根。

教学过程：

1、知识回顾

(1) 什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a?0)的平方根?

(2) 正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平方根是什么?

(3)当a?0时，式子a，?(4) 平方根有哪些性质？

分析：(1)如果一个数x的平方等于a，即x?a，那么x叫做a的平方根，表示为x＝±a。

(2)正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。

(3)a≥0，a表示a的算术平方根，?2a，?a，的意义各是什么?

a表示a的负平方根，

?a表示a的平方根

2、随堂练习

一、选择题

1．下列说法正确的是（ ）

A 、4的平方根是2 B 、4的算术平方根是-2 C、 8的平方根是4 D、 9的平方根是?3 2．下列计算中，正确的是（ ） A 9??3 B

93? C (?3)2??3 D 8?4 1643．81的平方根是（ ）

A ?9 B 9 C ?3 D 3 4．与135最接近的整数是（ ）

A 11 B 12 C 13 D 14 二、填空题

5．1。44的平方根是 ；算术平方根是 ．

9的平方根是 ；算术平方根是 ． 257．一个数的平方根是a?1和a?3，则a? ，这个数是 。

6．

8．已知：n?73?m，且m, n是两个连续整数，则m? ，n? 。

29．计算：(?2) ＝ 。

10．已知：a?2?a?b?6?0，则ab的平方根为 。 三、求下列各式中x的值：

1．x?25 2．x?9?0 3．9x?25

4．16x?49?0 5．?x?1??4 6．?x?3??121

222222

四、小明设计一个如下程序： 输入x 0 1 4

9

25

a(a?0)

输出y 1

2 3 4 12

（1） 在上述）表格的空

白处填上恰当的数值；

（2）当输入的数字为435时，请你估算出与输出y最接近的一个整数。

五、图4所示的是计算函数值的程序图，如输入的x的值为-11，因为-11

＜-10，则y?x2?1?(?11)2?1?122。 (1)若输入的x的值为?6，则y的值等于 。

(2)若输入的x的值为?123，则y的值等于 。 (3)若输出的y的值为5，则x的值等于 。

(4)若输入的x的值为13，请你估算出一个与y误差不超过0。5的有理数的值。（简要写出计算过程和估算过程）

注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a≥0(当a＜0时，a无意义)

用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a应是非负数)、边长为a的正方形就表示a的算术平方根。

这里需要说明的是，算术平方根的符号“

”不仅是一个运算符号，

如a≥0时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根。

例2以游戏的方法来进行课堂练习，一方面加强了学生对本堂课所学知识的理解和巩固，另一方面有挑战性的游戏，提高了学生的学习兴趣。

巩固课堂知识，及时反馈课堂效果，更好地进行教学细节上的改进。

§12。1 平方根与立方根 第四课时 立方根（9月4日 星期五）

教学目的：

1、使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；

2、理解开立方的概念；

3、明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；

教学分析：

重点：立方根的概念及求法； 难点：立方根与平方根的区别；

关键：立方根的概念与性质及求法。

教学过程：

一、知识导向：

立方根是与平方根等同的两个概念，在前面学习平方根与算术平方根概念的基础上，进一步来学习这个概念与知识，应该是相对轻松的。所以在教材的处理上，主要还是要侧重于两者的比较与关系，这样比较有利于学生的掌握。

二、新课学习：

1、知识设疑： （1）计算下列各题：

0.13、 (?23)3、 03

（2）怎样求下列括号内的数?各题中已知什么?求什么? ()3?18、 (125、 ()3?－27 )3?0

2、知识形成

概括1：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也

叫做三次方根)。

用式子表示，就是，如果x3?a，那么x叫做a的立方

根。数a的立方根用符号“3a”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数。(注意：根指数3不能省略)。 概括2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

3、例题讲解：

例1、 求下列各数的立方根：

8； －8； 0。125； －27125； 0 例2、 求下列各式的值：

327、

3?64、321017 、3?1000

三、巩固训练：

1、求下列各数的立方根：

3（1）512 （2）?0.125 （3）(?3)3 （4）?3

82、填空

（1） 立方根等于本身的数是

（2） 若x3?﹣0。729，则x?

3（3） 若?1?5y??216，则y? （4）﹣64的立方根是 ，??12?的立方根是 四、知识小结：

1、什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示数a的立方根?a的取值范围是什么?

2、数的立方根与数的平方根有什么区别?

3、我们在学习立方根概念时，应对照平方根概念进行。 五、课后作业：

六、课后反思

在立方根的学习中要让学生进行类比、讨论和总结，切实认识到立方根与平方根之间的异同，为立方根概念的引入打下坚实基础。让学生在类比中归结中记忆，有利于新知识的形成，也有利于旧知识的巩固。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gkg8.html