河南省郑州市第一中学2018届高三数学上学期第二次月考试题理

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1 河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合}80|{≤<∈=x N x U ，}5,4,3,2,1{=S ，}7,5,3{=T ，则=)(T C S U ( )

A ．}4,2,1{

B ．}7,5,4,3,2,1{

C ．}2,1{

D ．}8,6,5,4,2,1{

2．已知i 为虚数单位，复数i

z +=12，则z z -等于（ ） A ．2 B ．i 2 C ．i 2- D ．0

3．执行如图所示的程序框图，如果输入36=m ，15=n ，则输出的n 的值为（ ）

A ．12

B ．6

C ．3

D ．0

4．已知)(x f ，)(x g 是定义在],[b a 上连续函数，则“)()(x g x f <对一切],[b a x ∈成立”是“)(x f 的最大值小于)(x g 的最小值”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．如下左图所示的一个正三棱柱被平面111C B A 截得的几何体，其中2=AB ，31=AA ，21=BB ，11=CC ，几何体的俯视图如下右图所示，则该几何体的正视图是（ ）

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2

6．设1)1(22≤-+y x ，则2≥+y x 的概率为（ ）

A ．41

B ．ππ42-

C ． π21

D ．π

π423+ 7．设βα,为锐角，且22π

βα=-，1sin cos tan =+β

βαx ，则=x （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2

8．若非零向量,的夹角为锐角θ，θcos ||=b ，则称被“同余”.已知被“同余”，则-在上的投影是（ ）

A ||22a b a

B ．222b a -

C ||22a a b

D ||2

2b b a 9．已知椭圆1C ：)1(1222>=+m y m x 与双曲线2C ：)0(1222>=-n y n

x 的焦点重合，21,e e 分别为21,C C 的离心率，则2

221e e +的取值范围为（ ）

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3 A ．),2[+∞ B ．)2,0( C ．),2(+∞ D ．)2

2,0( 10．平面α过正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1AB ，且平面⊥α平面BD C 1，平面 α平面11A ADD AS =，则AS A 1∠的正切值为（ ）

A ．23

B ．55

C ． 33

D ．2

1 11．已知点),(t s P 在曲线C ：2

22

x y -=上运动，给出以下命题： 1p ：在x 轴上一定存在两个不同的定点R Q ,，满足PR PQ +为定值；

2p ：在y 轴上一定存在两个不同的定点R Q ,，满足||PR PQ -为定值；

3p ：22)2(t s +-的最小值为1；

4p ：2222)2()22()2(t s t s +--+-+-的最大值为432-.

则下列命题为真命题的是（ ）

A ．21)(p p ∨?

B ．)(31p p ?∧

C ．)(43p p ?∧

D ．32p p ∨

12．=∑=--m k k n m n k n C C

0（ ） A ．n m +2 B ．m m n C 2

C ． m n n C 2

D ．m n m C 2 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知a 是任意实数，则关于x 的不等式3222)2017()2017(2++-<+-x x a a a a 的解集为 ．

14．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法： 甲说：“我去过上海，乙也去过上海，丙去过北京.”

乙说：“我去过上海，甲说得不完全对.”

丙说：“我去过北京，乙说得对.”

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4 已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是 ． 15．已知函数)6

cos(21)6sin(23)(ππ+-+=x x x f ，若存在n x x x ,,,21 满足π6021≤<<<≤n x x x ，且

),2(12|)()(||)()(||)()(|*13221N n n x f x f x f x f x f x f n n ∈≥=-++-+-- ，则n 的最小值为 ．

16．在斜三角形ABC 中，D 为BC 的中点，且090=∠+∠C BAD ，则

C

B ∠∠的值是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．对于数列}{n a （+∈N n ），若存在N b n ∈，}3,2,1,0{∈n c ，n n n c b a +=4，则称数列}{n b ，

}{n c 分别为数列}{n a 的“商数数列”和“余数数列”.已知数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n （+∈N n ）项和，42=a ，224=S ．

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）证明：)(4++∈?=N n c c n n ．

18．为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.

（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；

（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望．

19．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -为长方体，点P 是CD 上的一点.

（1）若P 为DC 的中点，当AB

BC 为何值时，平面⊥1PBC 平面C C AA 11；

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5 （2）若2=AB ，11==CC BC ，当)10(<<=λλDC DP 时，直线C A 1与平面1PBC 所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

20．已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点F 和上顶点B 在直线0333=+-y x 上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且x AF ⊥轴，N M ,为椭圆C 上不同于A 的两点，且NAF MAF ∠=∠．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设直线MN 与y 轴交于点),0(d D ，求实数d 的取值范围．

21．已知函数R a x ax x x f a ∈-+=,ln )(2.

（1）若函数)(x f a 在]2,1(上是减函数，求实数a 的取值范围；

（2）当],0(e x ∈时，分别求函数2)(2x x f e -的最小值和25ln )(+=

x x x g 的最大值，并证明当],0(e x ∈时，)()(22x g x x f e >-成立；

（3）令x a ax x f x h a a ln )1()()(-+=+，当0<a 时，判断函数)(x h a 有几个不同的零点并证明.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为???==θθ

sin 3cos 2y x （θ为参数），以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过极坐标系内的两点)4,

2(πA 和)2,3(π

B ． （1）写出曲线

C 的普通方程，并求直线l 的斜率；

（2）设直线l 与曲线C 交于Q P ,两点，求||||BQ BP ?.

23．选修4-5：不等式选讲

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6 已知函数|12|)(-=x x f ．

（1）若不等式)0(12)21(>+≥+m m x f 的解集为]2,2[-，求实数m 的值；

（2）若不等式|32|1)(+++≤x a

a x f 对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5：ACCBA 6-10：BAACD 11、12：BD

二、填空题

13．}31|{<<-x x 14．甲、丙 15．8 16．1

三、解答题

17．（1）设等差数列}{n a 的公差为d .

由题意可得??

???=-??+=+22)14(4214411d a d a 解得???==311d a 所以23)1(31-=-+=n n a n .

（2）证明：因为23-=n a n ，所以122)4(34+=-+=+n n a n a ，

因为n c 是n a 除以4的余数，所以4+n c 是4+n a 除以4的余数，

由124+=+n n a a 两边同时除以4，得

左边的余数为4+n c ，右边的余数为n n c c =+0，所以n n c c =+4.

18、（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有

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7 1526=C 种不同选择.

（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数X 服从二项分布)

2.0,9(B ，所以分布列为

所以X 的数序期望8.12.09)(=?=X E .

19、（1）要使平面⊥1PBC 平面C C AA 11，只需⊥PB 平面C C AA 11.

因为四棱柱1111D C B A ABCD -为长方体，

所以⊥1AA 平面ABCD ，所以PB AA ⊥1.

又因为A AC AA = 1，所以只需AC PB ⊥，

只需CBP BAC ∠=∠，只需BAC ?∽CBP ?，

因为2π=∠=∠ABC PCB ，所以只需

BC

PC AB BC =， 因为P 为DC 的中点，所以BC AB

AB BC 2=，所以22=AB BC . 所以当2

2=AB BC 时，平面⊥1PBC 平面C C AA 11. （2）存在.理由如下：建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，

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8

则)0,2,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(1C A C B ，所以)1,0,1(),1,2,1

(11-=--=BC A ， 由)10(<<=λλDC DP 得)0,2,0(λP ，则)0,22,1(--=λBP ，

设平面1PBC 的法向量为),,(z y x =，则?????=?=?0

01BC n ， 所以?

??=-+-=+-0)22(0y x z x λ，取1=x ，则)1(21,1-==λy z ， 所以)1,)

1(21,1(-=λn ， 设直线C A 1与平面1PBC 所成的角为θ， 则211)4(1126|112|||||sin λλθ-+?-+=?=AC n 2)4(1126112λλ-+?-+= 令t =-+λ112，则),3(+∞∈t ，211-=-t λ

， 所以61)611(3614113

614)2(26sin 222

+-?=+-?=-+?=t t t t t

θ 所以当611

=t ，即6=t ，4

3=λ时，θsin 取得最大值1. 20、（1）依题意得椭圆C 的左焦点为)0,1(-F ，上顶点为)3,0(B ， 故3,1==b c ，所以222=+=c b a ，

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9 所以椭圆C 的标准方程为13

42

2=+y x . （2）设直线AM 的斜率为k ，因为NAF MAF ∠=∠，所以AN AM ,关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为k -，

易知)23,1(-A ，所以直线AM 的方程是)1(2

3+=-

x k y ， 设),(),,(2211y x N y x M ， 联立???????=++=-134

)1(2322y x x k y ，消去y ，得0)3124()812()43(222=-+++++k k kx k x k ， 所以2

21433124k k k x ++--=， 将上式中的k 换成k -，得222433124k

k k x +++-=， 所以2

14324)24368(]2)[(2

2221212121=+-+++-=-++=--=k k k k k x x x x k x x y y k MN ， 所以直线MN 的方程是d x y +-=2

1， 代入椭圆方程13

42

2=+y x ，得0322=-+-d dx x ， 所以0)3(4)(22>---=?d d ，解得22<<-d ，

又因为MN 在A 点下方，所以12

3211<?>+?

-d d ， 所以12<<-d . 21、（1）由题意得01212)(2'

≤-+=-+=x ax x x a x x f a

在]2,1(上恒成立， 令12)(2

-+=ax x x m ，有???≤≤0)2(0)1(m m 即???≤-+≤-+0128012a a

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10 得??

???-≤-≤271a a ，所以27-≤a . （2）由题意可得0,ln )(222>-=-x x x e x x f e

令01]')([2

22=-=-x e x x f e ，则21e x =，],0(12e e

∈， 所以2)(2x x f e -在)1,0(2e 上单调递减，在),1(2e e

上单调递增， 所以当21e

x =时，2)(2x x f e -取最小值3. 2ln 1)('x x x g -=，令0)('=x g ，得e x =， 当e x ≤<0，0)('≥x g ，)(x g 在],0(e 上单调递增， 所以2

51)()(max +==e e g x g ， 因为当],0(e x ∈时，max min 2)(2

5125213])([2x g e x x f e =+>+=

=-， 所以当],0(e x ∈时，)()(22x g x x f e >-. （3）因为x a ax x f x h a a ln )1()()(-+=+，

所以2ln )(ln )1()(x x a x f x a ax x h a a -=--+=， 其定义域为),0(+∞，

x x a x x a x h a

2

'

22)(-=-=， 因为0<a ，所以0)('<x h a ，所以)(x h a 在),0(+∞上单调递减， 因为0<a ，所以1)1(2>-a ，1][02)1(2<<-a a e

， 所以0][)1()(2)1(2)1(2

2

>--=--a a a a a e a e h ，

又01)1(<-=a h ，所以函数)1(a h 只有1个零点. 22、（1）由题意得曲线C 的普通方程为13

42

2=+y x ， ∵)3,0(),1,1(B A ，∴直线l 的斜率为2-.

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11 （2）易知直线l 的参数方程为???

????+=-=t y t x 52351（t 为参数）

代入13422=+y x ，得0245

485192=++t t ， 设方程0245

485192=++t t 的两个根为21,t t ， 所以19

120||||||21==?t t BQ BP . 23、解：（1）由题意知，不等式)0(12|2|>+≤m m x 的解集为]2,2[-，

由12|2|+≤m x 得2

121+≤≤-

-m x m ， ∴221=+m ，解得2

3=m . （2）不等式|32|1)(+++≤x a a x f 等价于a

a x x 1|32||12|+≤+--， 因为不等式|32|1)(+++≤x a

a x f 对任意R x ∈恒成立， 所以a a x x 1|)32||12(|max +≤+-- 因为4|)32(12||32||12|=+--≤+--x x x x ，

所以a

a 14+

≤，解得320-≤<a 或32+≥a .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gkdm.html