专题五取值范围探究教师版

2016年中考专题五初中数学取值范围

一．选择题（共5小题）

1．（2015?青岛）如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）

的图象相交于A，B两点，其中点A的

A．x＜﹣2或x＞2

1题图 5题图

B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2

D．﹣2＜x＜0或x＞2

解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2，∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=是﹣2＜x＜0或x＞2．选D．

的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围

2．（2015?扬州）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）

A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2

解：∵x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，∴（2﹣5）（2a﹣3a+2）≤0，解得：a≤2，∵x=1不是这个不等式的解，

∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0，解得：a＞1，∴1＜a≤2，选：C．

3．（2015?常州）已知二次函数y=x+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1

解：抛物线的对称轴为直线x=﹣

，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣

≤1，解得m≥﹣1．选D．

2

4．（2015?武汉）在反比例函数y=的取值范围是（ ） A．m＞

B．m＜

图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m

C．m≥ D．m≤

解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，∴反比例函数图象在第一，三象限，∴1﹣3m＞0，解得：m＜．选B．

5．（2015?济南）如图，抛物线y=﹣2x+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）

A．﹣2＜m＜

B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣

2

解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0， △=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣3个不同的交点，选：D．

，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3，当﹣3＜m＜﹣

时直线y=x+m与C1、C2共有

二．填空题（共7小题）

6．（2015?潍坊）正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AM⊥y轴，垂足为M．若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是 ﹣2＜x＜0或x＞2 ．

解：∵正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，∴B（﹣n，﹣4）． ∵△AMB的面积为8，∴×8×n=8，解得n=2，∴A（2，4），B（﹣2，﹣4）．由图形可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时，正

比例函数y1=mx（m＞0）的图象在反比例函数y2=（k≠0）图象的上方，即y1＞y2．故答案为﹣2＜x＜0或x＞2．

6题图

坐标为（a，a）．如图，若曲线

7题图

与此正方形的边有交点，则a的取值范围是

时，则a﹣1=

7．（2015?义乌市）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的

≤a

，解得a=

．

+1，

解：∵A点的坐标为（a，a）．根据题意C（a﹣1，a﹣1），当C在双曲线

当A在双曲线时，则a=，解得a=，∴a的取值范围是≤a．答案为≤a．

8．（2015?朝阳）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t=

时，PQ∥EF；

≤t≤1 ．

（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是

解：（1）如图1，当PQ∥EF时，则∠QPO=∠ENA，又∵∠AEN=∠QOP=90°，∴△AEN∽△QOP，∵∠AOB=90°，AO=

BO=1，∴tanA=

=

=

，∴∠A=∠PQO=30°，∴

=

=

，

，解得：t=，故当t=时，PQ∥EF；为：；

（2）如图2，当P点介于P1和P2之间的区域时，P1′点介于P1′和P2′之间，此时线段P′Q′与线段EF有交点，当P运动到P1时，

∵AE=AB=1，且易知△AEP1′∽△AOB，∴，∴AP1′=，∴P1O=P1′O=，∴AP1=AO+P1O=，

∴此时P点运动的时间t=

=s，当P点运动到P2时，∵∠BAO=30°，∠BOA=90°，∴∠B=60°，∵AB的垂直平分线交

时，此时Q2′与F重合，A与P2′重合，

AB于点E，∴FB=FA，∴△FBA是等边三角形，∴当PO=OA=∴PA=2

，则t=1秒时，线段P′Q′与线段EF有公共点，故当t的取值范围是：≤t≤1．答案为：≤t≤1．

9．（2015?盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 ．

解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD=

=5．由图可知3＜r＜5．答案为：3＜r＜5．

三．解答题（共18小题）

1．（2015?衢州）如图，已知点A（a，3）是一次函数y1=x+b图象与反比例函数y2=图象的一个交点． （1）求一次函数的解析式；

（2）在y轴的右侧，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．

解：（1）将A（a，3）代入y2=得a=2，∴A（2，3），将A（2，3）代入y1=x+b得b=1，∴y1=x+1；

（2）∵A（2，3），∴根据图象得在y轴的右侧，当y1＞y2时，x＞2．

2．（2015?枣庄）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围； （3）求△AOB的面积．

解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）． 又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，∴

（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴AE=6，BC=2， ∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣

×4×2=8．

．解得

，解析式为：y=﹣2x+8；

3．（2015?无锡）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M． （1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB．

（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形． ①问：

﹣

的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．

②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求

的取值范围．

解：（1）过P作PE⊥OA于E，∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四边形OMPQ为平行四边形，∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°， ∴PE=PM?sin60°=

，ME=，∴CE=OC﹣OM﹣ME=，∴tan∠PCE=

=

，∴∠PCE=30°，∴∠CPM=90°，又∵PM∥OB，

∴∠CNO=∠CPM=90°，则CN⊥OB； （2）①

﹣

的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，∵四边形OMPQ为菱形，∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，

∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O，又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴=，即=，∴6y﹣6x=xy．两边都除以

6xy，得﹣=，即﹣=．②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，则S1=OM?PE，S2=OC?NF，∴=．

∵PM∥OB，∴∠PMC=∠O，又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△CNO，∴==，∴==﹣（x

﹣3）2+，∵0＜x＜6，则根据二次函数的图象可知，0＜

≤．

4．（2015?北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．

特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0． （1）当⊙O的半径为1时．

①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，

）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；

②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣

x+2

与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存

在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

解：（1）当⊙O的半径为1时．①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，

）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；

②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2），∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，∴2x2﹣4x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2． 当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；∴0＜x＜2； （2）∵直线y=﹣

x+2

与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（6，0），B（0，2

），∴

=

，∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．

设C（x，0）．①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2，所以AC≤2，C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为8， 所以C点横坐标x≤10．综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．

5．（2015?北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x+bx+c经过点A，B． （1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；

2

（3）若抛物线C2：y=ax（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

2

解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：

解得：

∴y=x2﹣2x﹣1．顶坐标为（1，﹣2）．

（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2， 解得：a=2，∴

．

2

6．（2015?武汉）已知抛物线y=x+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接

CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．

（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ

交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．

解：（1）把A（﹣1，0）代入

得c=﹣，∴抛物线解析式为

）

（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G∴△EHC∽△FGC∵E（m，n）∴F（m，

又∵C（0，﹣）∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2又∵

，则∴n+=2∴n=当F点位于E点上

方时，则∠CEF＞90°；又∠CFG肯定为锐角，故这种情形不符合题意．由此当n=时，代入抛物线解析式，求得m=±2， 又E点位于第二象限，所以﹣2＜m＜0．（3）由题意可知P（t，0），M（t，∴△OPM∽△QPB．∴∴PQ=

．BQ=

．其中OP=t，PM=∴PQ+BQ+PB=

，PB=1﹣t，

．∴△PBQ的周长为2．

）∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，

7．（2015?沈阳如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．

（1）填空：n的值为 3 ，k的值为 12 ；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标； （3）观察反比函数y=的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．

解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，可得n=×4﹣3=3；把点A（4，3）代入反比例函数y=，可得3=， 解得k=12．（2）∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B，∴x﹣3=0，解得x=2，∴点B的坐标为（2，0），

如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，∵A（4，3），B（2，0），∴OE=4，AE=3，OB=2， ∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，在Rt△ABE中，AB=∴AB=CD=BC=

=

=

，∵四边形ABCD是菱形，

，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，∴∠AEB=∠DFC=90°，在△ABE与△DCF中， ，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴CF=BE=2，DF=AE=3，∴OF=OB+BC+CF=2+

+2=4+

，∴点D的坐标

为（4+，3）．（3）当y=﹣2时，﹣2=，解得x=﹣6．故当y≥﹣2时， x的取值范围是x≤﹣6或x＞0．答案为：3，12．

8．（2015?南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上． （1）求证：PQ∥AB；

（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；

（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．

（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC=∴

=

=

=12．∵

=

=，

=

=，

．∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB；

（2）解：连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB．∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ， ∴AQ=DQ．在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，∴DQ=2x．∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2，∴CP=3x=6． （3）解：当点E在AB上时，∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PGB．∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PGB，∴PB=PG=5x， ∴3x+5x=9，解得x=．①当0＜x≤时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤

；

②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE， ∴

=

=

．∵PG=PB=9﹣3x，∴

=

=

，∴GH=（9﹣3x），PH=（9﹣3x），∴FG=DH=3x﹣（9﹣3x），

x+

，此时，

＜T＜18． x+

=16，解得x=

．

∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]=

∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时，即∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤

．

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