南京大学大学数学微积分第一层次06-08试题

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南京大学大学数学第一层次06-08试题

一、计算下列各题(简要写出计算过程,每小题6分) 1.求 limsin(2x) 2sinx .

x 0arctan(2x) 2arctanx

2.求 lim(xx

3.求常数p

的取值范围,使级数

4.设 y xarctan n 1n2收敛 . np1,求 y ,y . x

x t ln(1 t),dyd2y 5.设 23求 ,2. 2dxdxy t t, 3 6.设 f (e) e,f(0) 1,求f(x). xx

2x2 x二、(8分)用 N定义证明lim2 2. x x 1

1 2 xsin,三、(10分)设f(x) x x(x sinx),

连续性.

四、(8分)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,a 0,求证: (a,b),使得x 0,x 0. 求f (x),讨论f (x)在x 0的左、右ab(f(b) f(a)) 2f ( )(b a).

五、(8分)设f(x) x e xsinx a bx cx2,若x 0时,f(x) o(x2),求1 2x

a,b,c,并求limx 0f(x). x3

2六、(8分)求证明 2ln(1 x) ln(1 x) 2x(x 0) .

x3

的单调性,凹凸性,求极值,拐点,渐近线,并画七、(12分)讨论函数 f(x) (1 x)2

简图.

八、(5分 2)求下列不定积分 1.cosxdx; 2. earctanedx 3 xx

南京大学大学数学第一层次06-08试题

一、计算下列各题(至少写一步演算过程,每小题5分,共40分)

sinx arctan(3x) (e5x 1) 1) .

1.求 limx 0arcsin(2x) tan(4x) (cosx 1) ln(1 2x)

2.求 lim(x . x 01x

f(5 3x) f(2) . x 1x 1

1 4.设 y xarctan,求 y . x 3.f (2) 3,lim

x t ln(1 t),dy确定y y(x),求 . 5.设由 24dxy 2t t,

6.设 y xe,y

7.设 y 2cos2x2 x(10). . ,dy

dxx

4

8.求f(x) e

二、(6分×2) 2x 1 x 4x 2在x 0时无穷小的阶数. 1 x

2x 5 2. x x 1

21. 用 N语言证明lim2.用 语言证明lim(x 3x) 4. x 1

三、(8分)求极限 lim(sinx)

x tan2x .

2

2四、(10分)求证不等式 2ln(1 x) ln(1 x) 2x(x 0) .

x2 ln(1 x2),x 0,五、(10分)设f(x) 2xsinx,x0.

1)求f (x),讨论f (x)在x 0的连续性;2)求 f (0) .

x2

六、(12分)讨论函数f(x) 的单调性,凹凸性,求极值,拐点,渐近线,并画简图. 1 x

七、(8分)设f(x) C[0,1],f(x) D(0,1),f(0) 1,f(1) 0

求证: , (0,1),( )使得 f ( )f ( ) 1.

南京大学大学数学第一层次06-08试题

一、(12分,每小题6分)用极限定义证明下列极限:

x2 3 0( N语言) ; (2) lim 2( 语言) (1) lim2n n 2n 5x 1x 1

二、(24分,每小题6分)求下列极限: (1) limtan n ncos n5 cos(sinx) cosx 1004 ; (2) lim x3xx 04n (e 1)(5 1)

1

lnx (3) lim(arctanx)x 0 (4) lim arcsinx x 0x cot2x

三、(6分)求 esinx etanx关于基准无穷小x的无穷小主部.

四、(18分,每小题6分)计算下列各题:

x arctantdy所确定,求 . (1) 设y y(x)由 2tdx 2y ty e 5

(2) 设y xlnx,求y

(3) 设y arctan(x 2(10) .

,求dy .

五、(10分)设x0 0,xn 1 11(2xn 2),n 0,1,2, ,求证数列 xn 收敛,并求其极限。 3xn

六、(12分)设g(x)一阶可导,g (0) a,g(x)仅在x 0处二阶可导,g (0) b.又设f(x) 1(g(x) cosx). x

(1)欲使f(x)在x 0处连续,求g(0)和f(0).

(2)在(1)的条件下,f(x)在原点是否可导?若可导,求f (0).

七、(10分)设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0) f(1) 0,f(1

) 1.

(1) 证明存在c (2,1),使得f(c) c; (2) 证明存在 (0,1),使得f( ) 1.

八、(8分)已知e

x1 ax关于x为3阶无穷小,求常数 a,b的值. 1 bx

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