反例在数学分析学习中的优秀论文

优秀论文

题 目: 反例在数学分析学习中的应用 姓 名: 吴永达

学 院: 理学院 专 业: 数学与应用数学

2011年5月4日

云南师范大学数学学院教务处制 班 级: 2009级 1班 学 号: 1884070133 指导教师: 李连丽 职称: 讲 师

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摘 要

本文通过数学分析中的很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用.本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例.系统的对数学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、一元函数导数及其积分、级数、多元函数五个部分，各部分之间并非完全独立.针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实.本文所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性.本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处.

关键词：数学分析；反例；函数

反例在数学分析学习中的应用

Abstract

There are many theorems and propositions of Mathematical analysis, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and it’s easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, which it’s necessary to use counterexamples felicitously. To the question, this text researches a lot of problems with counterexamples in Mathematical Analysis deeply. The counterexamples are summarized in Mathematical Analysis systematically and there are five sections: sequence of number, function, a circular function derivative and its integral, series, and function of several variables. And every section isn’t independent. We can learn most theorems and propositions with the reverse thinking method. If there’s some problem, you can give the examples to verify from the opposite. The selected problems and counterexamples in this thesis are typical, appropriate difficult, and enlightening. Based on understanding the basic concept of Mathematical Analysis, grasping the basic theory and technique of Mathematical Analysis technique, the thesis is very good.

Key words: Mathematical Analysis; Counterexample; Function

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目 录

第一章 绪论 .......................................................................................................................................... 1

1.1引言 ............................................................................................................................................ 1

1.2课题的背景及目的 .................................................................................................................... 1

1.3国内外研究状况 ........................................................................................................................ 2

1.4课题研究方法 ............................................................................................................................ 2

1.5论文构成及研究内容 ................................................................................................................ 2

第二章 数列中的反例 .......................................................................................................................... 2

第三章 函数中的反例 .......................................................................................................................... 4

第四章 一元函数导数及其积分中的反例 .......................................................................................... 5

第五章 级数中的反例 .......................................................................................................................... 8

第六章 多元函数中的反例 ................................................................................................................ 10

第七章 总结和展望.............................................................................................................................12

参考文献 .............................................................................................................................................. 13

致 谢 ................................................................................................................................................... 14

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第一章 绪论

1.1 引言

在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功.用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题.它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的.反例在数学的发展中功不可没.反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示.举反例是一种重要的反证手段.重要的反例往往会成为数学殿堂的基石.学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中.反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例.至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变.

1.2 课题的背景及目的

数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义.

反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维.

举出大量实例来说明反例法确实是发现数学真理的一种有效手段.比如，数学家奥姆斯特德[1]指出:“数学由两大类——证明和反例组成.而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段.从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解.”在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.

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1.3 国内外研究状况

数学分析是一门久远的学科.纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果.因此，从数学中的反例可以窥探到数学思想的一步步进化.通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现：大部分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统的总结.

所以，想对数学分析中一些常见的问题进行总结，总结它们的反例，并尝试构造反例.对于以后的学习具有很大的帮助.

1.4 课题研究方法

数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.所以论文主要研究方法就是对数学分析中的一些重要问题寻找、总结反例，加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法.

针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握.我们在数学分析中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明、否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法.

1.5 论文构成及研究内容

本文主要包括以下几个部分：绪论、数列中的反例、函数中的反例、一元函数导数及其积分中的反例、级数中的反例和多元函数中的反例.针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证.并且在一些常见的问题上，会尝试构造反例来说明这些问题.

第二章 数列中的反例

定义2.1 设 an 为数列,a为定数，若对任何的正数ε ，总存在正整数N ，使得当n N时有

an a

则称数列 an 收敛于a,定数a称为数列{an}的极限.若数列 an 没有极限，则称 an 不收敛，或称 an 为发散数列[3].

例2.1 判断以下两个论断是否与极限 liman a 的定义等价[2]. n

①有无穷多个ε > 0，对每一个ε，存在N(ε)当n >N 时，有an a .

②对任意正数ε,无限多个an，使an a .

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事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价.

论断① 忽视了ε 的最本质属性“ 任意小正数”.例如数列 an ：an 1 ( 1)n尽管有无穷多个ε >0(如ε =3，4，5， )， 可以使an a ( 1)n a(这里a可以是0 或

1)小于每一个ε(ε =3，4，5， )，但却不能使an a ( 1)n a比任意小的正数ε 还要小.

论断② 对任意ε > 0，虽然有无限多个an，使an a 成立，但它忽视了对每一个 ε > 0，都必须存在某个自然数N ，即数列数列 an 的某一项aN，从aN以后的所有1111项都必须满足an a ，例如数列{an}={1，，1，，1，， ，1，， }.234n

11对任意正数ε，有无限多个an (只要n >)，在0的ε邻域(0 ε ,0 +ε)内；但在 an nn

中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0 ε ,0 +ε)内的项.

例2.2 收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立.

1n 例如，数列 xn 与 yn ，通项分别为xn ，yn nsin() (n=1,2, )则数列n 12 xn 收敛, yn 发散，

n n) (n=1,2, )故其积 xy 发散. xnyn nnn 1

然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛.

反例：数列{( 1)n}有界，但它发散[3].

例2.3 数列 xn 与 yn 均为发散数列，通项分别为

[1 ( 1)n][1 ( 1)n]xn ，yn (n=1,2, ) 22

但xnyn 0(n=1，2， )，因而数列 xnyn 收敛于零.

例2.4 两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列.

取数列

1，0，1，0，1，0 ，

及数列

1240，，0，，0， ， 233

显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是

1241，，1，，1，， 233

[3]它是一个收敛数列.

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第三章 函数中的反例

定义3.1 设f(x)为定义在D上的函数，若对任何正数M，都存在x0 D，使

[3]f(x0) M0，则称f(x)为D上的无界函数.

无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.

若x x0时，f(x)→∞，则f(x)在 x0的每个邻域内必定无界.反之，函数f(x)在x0的任何邻域内都是无界的，但当x x0时,f(x)并不趋于无穷大. cos

设f(x) x1，则对无论多大的正数M，总有充分接近于x =0的点，使

cos

x

cos1x M 例如，取x 1，则n 11cosx n ，故当 n M 时，就有x M. xx

因此，函数f(x)在x =0的任何邻域内都是无界的. 然而，若取xn 1，则当n→∞时,xn 0，此时1(n ) 2cos1xnxn 0，即f(x)并不趋

于无穷大.

在研究函数性质时，函数的定义域及值域有时用区间表示，有时又用集合表示，此时我们易产生这样一种误解，即数集的区间与集合表示是等同的，其实不然，此时可用如下反例加以澄清.

例3.1 设A 2k x 2k ，k Z 2

Bk (2k ,2k ) ， k Z 2

我们知道：y sinx，当x Bk时是严格单调函数，但若x A，则y sinx就

13 13 A，而sin sin不是严格单调函数了.事实上：当x A，则x ，4646

究其原因是由于集合A 表示k取遍所有整数的符合条件的x的全体，而区间Bk则表示k每取一个确定的值时的一个确定的区间.因而数集的区间表示与集合表示并不

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完全等同.

例3.2 在学习无穷大量和无界量概念时，我们对limf(x) ：任意的M >0，存在x x0

δ>0，0<|x-x0|< δ时f(x) M和f(x)在x0的某领域无界：对任意的M >0，存在x' U(x0， ),使得f(x')>M,这两个概念理解不清，容易混为一谈.对于定义的理解，我们可以得出：无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量，下面举例说明.

1co[4]x在x=0的任何领域都是无穷的，如 f(x) 但当x→x0=0时，f(x)却不是无穷大量. 0x

例3.3 y f(x)在x=x0处连续，是否存在x0的某领域，使得f(x)在该领域内连续[5].

答案是否定的，我们举反例说明：

1，x为有理数 我们知道Dirichlet函数D(x) 处处不连续.利用这个例子，我们可以

0，x为无理数

x x0，x为有理数 构建y (x x0)D(x) 易知函数y (x x0)D(x)只有在

0，x为无理数

x x0处连续，在其他任何地方都不连续.

数学分析中的很多定理是充分而非必要条件.在说明其逆命题是否成立时，如果考虑一般情况很难说明，如果能举一些反例，则既简单又明了，这样我们很容易掌握.

[4]例3.4 定理 若函数f(x)在a点处连续，则f(x)在a点处也连续.

要说明其逆定理是否成立，可以设函数

x=0处连续，而f(x)=1在x=0处不连续. 1，x 0f(x) 为例.因为f(x)=1在 1，x 0

第四章 一元函数导数及其积分中的反例

定理1 若函数f 在点x0 可导，则f 在点x0 连续[3].

其中，可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件.如函数f(x)= x 在点x =0处连续，但不可导.而且，函数f 在某点可微，只能保证f 在该点连续，而不能保证f 在该点的某个邻域内连续.

例4.1 函数

x2，x为无理数 f(x)

0，x为有理数

在x≠0的点都间断，而x = 0处有导数f '(0) = 0.这是因为当h是有理数时，

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f(h) f(0)0 0 0 hh

而当 h 是无理数时，

f(h) f(0)h2 0 h 0(h 0) hh

设f(x)= 0，当x为有理数；f(x) x2 x，当x为无理数.则函数f(x)也仅在x = 0处连续且可微，f '(0) =1.

定理2 （积分中值定理）若f 在[a,b]上连续，g在[a,b]上不变号且可积，则在(a,b)中存在一点ξ ，使

f(x)g(x)dx f( ) g(x)dx[3]. aabb

定理中的条件改变，结论就不一定成立.假设f 在区间[a,b]上不连续时.

例4.2 定理3（罗尔(Rolle））中值定理） 若函数 f 满足如下条件：

(i) f 在闭区间[a, b]上连续；

(ii) f 在开区间(a, b)内可导；

(iii) f (a) =f (b) ，

则在(a, b)内至少存在一点 ξ ，使得f '(ξ) =0[4] .

那么，我们在实轴上定义

f(x) eix cosx isinx， -∞ < x < +∞

此函数是处处连续和可微的，但是不存在区间(a,b)，a < b，使得在a与b之间能有某个 ζ ，满足等式

f (b) f (a) = f '(ζ)(b a)，

即

(cosb isinb) (cosa isina) ( sin icos )(b a)

事实上，假定上述等式成立，则等式两边的模（绝对值）的平方亦应相等，即

(cosb cosa)2 (sinb sina)2 (b a)2

于是，利用基本恒等式将得出

22b a b a sin 22

但这是不可能的，因为没有一个正数h能够使sin h = h.注 上述反例说明，对于复值函数而言，中值定理不再有效.

定义4.1 设f 是定义在[a,b]上的一个函数，J 是一个确定的实数.若对任何的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对[a,b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集{ξi}，只要T < δ ，就有

安徽科技学院学士学位论文 n f( i) xi J ， i 1

则称函数 f 在区间[a,b]上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[a,b]上的定积分或黎曼积分，记作

J f(x)dx ab[8]

我们在学习函数可积性时往往会习惯性认为黎曼可积函数一定具有原函数，但事实上，这个假设并不一定成立.

例4.3 如函数

1，x [ 1,0]

f(x) 0，x [0,1]

显然在[ 1，1]上可积的，但是f(x)在[ 1，1]上没有原函数.

因此，黎曼可积函数不一定具有原函数.反过来，有原函数的函数不一定黎曼可积. 例4.4 如函数

413 xsin，x 0x F(x) 0，x 0

由于

2 441133xsin xcos，x 0 xx 3' f(x) F(x) 0，x 0

可见F(x)是f(x)的一个原函数，但是f(x)在[ 1，1]上无界，所以f(x)在[ 1，1]上不可积[9].

例4.5 证明：存在函数f(x)和g(x)，使得f(x)在[a，b]上可积，g(x)在[a，b]上不变号且可积，而在(a，b)中不存在满足等式

证： 设g(x) =1，再设 baf(x)g(x)dx f( ) g(x)dx的ξ[10]. ab

0 x 1 1， f(x) 1， 1 x 0

则

1

1f(x)g(x)dx 0 ， g(x)dx 1. 0

bb

aa1于是，由函数f 的定义可知，不存在ξ∈( 1,1)，使 f(x)g(x)dx f( ) g(x)dx.

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第五章 级数中的反例

本章讨论由实数项组成的无穷级数.对于数项级数 ak，令

k 1

sn= ak a1 a2 an

k 1

称sn为级数 ak的n项和.若limsn s存在，则称级数 ak为收敛的，并称s为级

k 1n k 1

数 ak的和，记作

k 1

a

k 1

k 1 k s 在相反的情形，就称级数 ak为发散的.级数 ak收敛的必要条件是liman 0[3].

k 1n 0

例5.1 如果级数 an收敛，那么其部分和数列有界且liman 0.

n 1n

这个命题显然是成立的，而它的逆命题却不成立.一个发散数列 an，其部分

n 0

和数列有界且liman 0. n

设 an 为

111111111, ,,,, , , , 223334444

则liman 0,且对每一个n，都有0 ≤sn≤1 ，其中 1， n

sn=a1 a2 an

然而，由于 sn 中有无穷多个sn取值为0，又有无穷多个sn取值为1，因而limsn并n 不存在，即级数 an发散[4].

n 1

lim(an 1 an 2) 0, ,lim(an 1 an 2 an p) 0, 试例5.2 如果liman 1 0，n n n

问级数 an是否一定收敛？ n 1

1不一定，例如级数 ，虽然对任意的p∈N， n 1n

11p0< + ++ 0(n ) n 1n pn 1

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1但 发散[11].

n 1n

例5.3 举出一个收敛级数 an，使得级数 an发散[12]. 3

n 1n 1

分析 因为级数 an收敛，故an→0（当n 时）.因此n充分大时，有

n 1

3an an .

可见级数 an不能绝对收敛，只能是条件收敛.这表明级数 an其所以收敛，不

n 1

仅是因为an 0的速度，而且是因为项级间的相互抵消.因此我们应构造这样一个变号收敛级数 an，它本身项级间能相互抵消，但变为级数 an时相级间抵消不3

n 1n 1

了，以致 an发散.令 3

n 1

an=1-1+n 1 12222

111 +--- 333333

1111 + +-- -+ ( 其中有k项 ) kkkkkkk

111因为-- -=0 (k=1,2， )，可见s limsn 0，此级数收敛.但是 n kkkkk

111111131 1 =( 其中有k项 ) a n3333322 22 2kk kk kk kn 1

发散 [ 因为部分和的子序列 1111 sn 1 1 3 3 2k2k

(nk= 2+3+ +（k+1）,k 2) ] 21-13-13 本例说明级数 an收敛，一般来说，不能推出级数 an收敛. 3

n 1

例5.4 证明：任意 xn →0(当n ),有 anxn收敛，则 an绝对收敛[3].

n 1n 1

分析 问题等价于：若 an发散，则至少存在一个序列 xn 0( 当n ),使得

n 1

级数 anxn发散.如此，问题归结为从条件 an=+∞出发，构造所需的序列 xn 的

n 1n 1

问题.

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证明： (反证法)若 an=+∞，则 n 1, k N, m N m n ,使得 ai k.n 1i n m

如此，对n=1，k=1， m N，使得 ai 1. i 1m1

对n=m1+1，k=2, m2 m1 1，使得

i mi am2i 2，

由此我们可以得到1=m1<m2< <mn< 使得

取xi i mn 11 amnn n(n 1,2, ). sinai(当mn 1 i mn时，m0=0)，则不论N>0怎么大，只要n-1>N时，恒有 n

“片段” mn mn 1 n 1 N，

i mn 1 1 aixi

n 1mni mn 1 1 mnni 1 此即说明 xn 0(当n 时)，使得 anxn发散，与已知条件矛盾.

第六章 多元函数中的反例

本章直接举例说明：

例6.1 fx'与fy'的连续性只是 f 可微的充分条件，而不是必要条件[13].

设

1 22(x y)si,x2 y2 0 22x y f(x,y)

0,x y 0

它的偏导数是

1

f(x,y) xcos'

xx2 y2x2 y2

1

x2 y2

x2 y2 2xsin1x2 y21x2 y2,x2 y2 0f(x,y) ycos'y 2ysin,x2 y2 0

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易见,fx'(x,y)和fy'(x,y)在点(0,0)处都是不连续的.另一方面，因为

f(x,y) f(0,0) x2 y2 x2 y2si1

x y22

所以 f 在(0,0)处是可微的.

注 可以证明，若fx'(x,y)及fy'(x,y) 在点(x0,y0)及其某一邻域内存在，且在这一点它们都连续，则f(x,y)在点(x0,y0)处必可微；若f(x,y)在(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点(x0,y0)处必定连续、弱可微且偏导数存在.

例6.2 [0,1] [0,1]上的一个无处连续函数f(x,y)，使对每一个y属于[0,1]，f(x,y)是x的连续函数[14].

0，y是无理数，x任意实数

设f(x,y) 1，y是有理数，x任意实数

则f(x,y)在[0,1] [0,1]上无处连续，因对任意固定的y，f(x,y)作为x的函数为常值函数，故它是x的连续函数.

例6.3 偏导数均不连续的可微函数.

设

1 2222(x y)sin,x y 0 22x y f(x,y) 0,x y 0

它的偏导数是

1

f(x,y) xcos'

xx2 y2x2 y2

1 2xsin1x2 y2,x2 y2 0

f(x,y) ycos'

yx2 y2x2 y2 2ysin1x2 y2,x2 y2 0

fx'(0,0) fy'(0,0) 0.

易见，fx'(x,y)和fy'(x,y)在点(0，0)处都是不连续的.另一方面，因为

f(x,y) f(0,0) x2 y2 x2 y2sin

所以f 在(0，0)处是可微的[15]. 1x y22，

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注 可以证明，若fx'(x,y)及fy'(x,y)在点(x0，y0),及其某一领域内存在，且在这一点他们都连续，则f(x,y)在(x0,y0)处必可微；若f (x, y)在(x0，y0)处必可微，则f(x,y)在(x0,y0)处必定连续、弱可微且偏导数存在.因此，可得蕴含关系如下：

偏导数连续 可微 连续，偏导数存在，

弱可微.

第七章 总结与展望

本文简要地总结了数学分析中一些重要典型的问题与反例，在数学分析的学习中出现的问题，往往是对数学分析中的基本概念和理论掌握的不准确、不彻底，没有准确掌握基本概念和基本理论的时候，盲目地去计算和证明.因此，我们学习数学分析或者更一般的说，学习任何一门学科，正确地掌握这门学科的基本概念、基本理论是学好这门学科的前提.反例就是强化概念的有力工具，可以深化学生对知识的理解.数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.本文的意义就旨在介绍数学分析中的一个重要的反例思想，希望能够帮助学习数学分析的人们更好的掌握.

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参考文献

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