2013年全国中考数学试题汇编----图形的相似

（2013，永州）如图，已知AB?BD，CD?BD

（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；

（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m,n,l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？ C

BD P

?第25题图?

（2013?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米 ．

A

考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 解答： 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB，即则=， =， ∴h=1.5m． 故答案为：1.5米． 点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． （2013，成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，?A??C?90o，

BD?BE，AD?BC.

（1）求证：AC?AD?CE；

（2）若AD?3，CE?5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ?DP，交直线BE与点Q；

i）当点P与A，B两点不重合时，求

DP的值； PQii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）

（1）证△ABD≌△CEB→AB=CE；

（2）如图，过Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE， ∴

ADAPBHQH，； ? ? PHQHBCEC设AP=x ，QH=y，则有∴BH=

BHy? 353y3y，PH=+5?x 55∴

33y?5?x5?x，即(x?5)(3y?5x)?0 y又∵P不与A、B重合，∴x?5, 即 x?5?0， ∴3y?5x?0即3y?5x

∴

DPx3?? PQy5(3)

234 3（2013?广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．

考点： 作图—应用与设计作图． 专题： 作图题． 分析： 分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可． 解答： 解：根据勾股定理，斜边AB==4， ①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时， ∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切， ∴=， 解得r=4﹣4， ②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切， ∴=， 解得r=2， 作出图形如图所示： 点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键． （2013?眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为_________

AEAF1??，若EBFC2

（2013?眉山）在矩形ABCD中，DC＝23，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF。

⑴求证：△DEC∽△FDC；

⑵当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度。

A F

D E B C

（2013?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足

AO2?； AD3AO2?，试判断OAD3是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 B

S四边形BCHGS?AGH的最大值。

AAAGOCBOCBOHCD（图1）D（图2）D（图3）

2013?内江）如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）

A．2：5 C． 3：5 D． 3：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF=4：25， ∴DE：AB=2：5， ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3． 故选B． 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． （2013?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积；

（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；

（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

B． 2：3

考点： 相似形综合题． 分析： （1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式； （3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可

以求出其值． 解答： 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC= （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， =； ∴y=∵a==x， 2＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ， ∴x=1.5时，y最大=如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y==﹣ （3），如图4，∵y=﹣∴y=﹣y=﹣（x﹣4x）﹣（x﹣2）+22， ； ； ， ， ∵a=﹣＜0，开口向下， ， ∴x=2时，y最大=∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME． ∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， 2S⊙O=π×1=π． （2013?雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ） A．1：3 C． 1：4 D． 2：5 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 分析： 先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3． B． 2：3 解答： 解：∵DE为△ABC的中位线， ∴AE=CE． 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴S△ADE=S△CFE． ∵DE为△ABC的中位线， ∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2， ∴S△ADE：S△ABC=1：4， ∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED=1：3， ∴S△CEF：S四边形BCED=1：3． 故选A． 点评： 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比． 点评： 本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键． （2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= ..

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵AE：BE=4：3， ∴BE：AB=3：7， ∴BE：CD=3：7． ∵AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF， ∴BF：DF=BE：CD=3：7， 即2：DF=3：7， ∴DF=． ． 故答案为：点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解． （2013宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=

；④S△DEF=4

．

=，

其中正确的是 ①②④ （写出所有正确结论的序号）．

考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理． 分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：证得△ADF∽△AED； ②由

=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；

=

，DG=CG，继而

③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；

④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．

解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴

=

，DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED； 故①正确； ②∵

=，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8， ∴CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2； 故②正确；

③∵AF=3，FG=2， ∴AG=

=

，

=

，

∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=∴tan∠E=故③错误；

④∵DF=DG+FG=6，AD=∴S△ADF=DF?AG=×6×∵△ADF∽△AED， ∴

=（

），

2

；

=

=3

，

，

∴=，

∴S△AED=7，

∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4； 故④正确．

故答案为：①②④．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）

11 9 8 A．C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 分析： 判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长． 解答： 解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形， ∵AD∥BC， ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3， 在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4， 10 B． ∴AG==2， ∴AE=2AG=4， ∴△ABE的周长等于16， 又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选D． 点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大． （2013?自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？

（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形． 分析： （1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论． （2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度． （3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可． 解答： （1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°， ∴∠B1CQ=∠BCP1=45°， ∵在△B1CQ和△BCP1中， ， ∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）， ∴CQ=CP1； （2）作P1D⊥CA于D， ∵∠A=30°， ∴P1D=AP1=1， ∵∠P1CD=45°， ∴=sin45°=， ， ∴CP1=P1D=又∵CP1=CQ， ∴CQ=； （3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=∠CBE=30°， ∴AC=BC， 由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE， ∴△AP1C∽△BEC， ∴AP1：BE=AC：BC=：1， 设AP1=x，则BE=x， 在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴AB=2BC=2， ∴S△P1BE=×=﹣x（2﹣x）=﹣2x+2x （x﹣1）+， ． 故当x=1时，S△P1BE（max）=点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度． （2013?沈阳）如图，?ABC中，AE交BC于点D，?C??E，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长等于（ ） A．

20151617 B． C． D． 3434

（2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）

A．1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值． 解答： 解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴=， ∵O为对角线的交点， ∴DO=BO， 又∵E为OD的中点， ∴DE=DB， 则DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选D． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值． （2013?黄石）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果

ACBC，那么称点C为线段AB?ABAC的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果

S1S2?，那么称直线为该图形的黄金分割线. SS1（1）如图2，在△ABC中，?A?36°，AB?AC，?C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图4，在直角梯形ABCD中，?D??C?90?，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论. · A

C C A

· C 图1

· B

A

D 图2

B

图3

D

A

B

H B D

F C 图4

E

解析：

解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下：

∵?A?36°，AB?AC ∴?B??ACB?72° ∵CD平分?ACB ∴?DCB?36°

∴?BDC??B?72°

∵?A??BCD，?B??B ∴△BCD ∽△BAC

BCBD ?ABBC又∵BC?CD?AD ADBD∴ ?ABAB∴D是AB边上的黄金分割点 ················································ （3分）

（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h，则

111S?ADC?AD?h，S?DBC?BD?h，S?ABC?AB?h

222∴

∴S?ADC:S?ABC?AD:AB，S?DBC:S?ADC?BD:AD ∵D是AB的黄金分割点 ∴

ADBD ?ABAD∴S?ADC:S?ABC?S?DBC:S?ADC

∴CD是△ABC的黄金分割线 ················································· （3分）

（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 ∵BC∥AD

∴△EBG ∽△EAH，△EGC ∽△EHD

BGEG ① ?AHEHGCEG ② ?HDEHBGGCBGAH由①、 ②得 即 ③ ??AHHDGCHD同理，由△BGF ∽△DHF，△CGF ∽△AHF得 BGGCBGHD 即 ④ ??HDAHGCAHAHHD由③、④得 ?HDAH∴AH?HD ∴BG?GC

∴

∴ 梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等

1S梯形ABCD 2∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 ······························ （3分）

∴S梯形ABGH?S梯形GCDH?

（2013?荆州）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，角∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为D A.3：4 B.1：2 C.2：3 D.1：3

AFEDC

（2013?武汉）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

DEAD（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证； ?CFCD（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，

DEAD使得成立？并证明你的结论； ?CFCDDE（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．

CFA

DFFADE AF GGG EBDE

BCC B第24题图②第24题图①

C 第24题图③

解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，

DEAD ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴． ?CFDCDEAD（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下： ?CFDC 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM． ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM， ∵∠B+∠EGC＝180°， FA∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．

G ∴△ADE∽△DCM，

BDMEB第24题图②CDEADDEAD，即． ??CFDCCMDCDE25（3）． ?CF24

（2013?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）

∴

A． B． C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质． 分析： 依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度． 解答： 解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠CBD=∠A， ∴△ABC∽△BDC， 同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE， ∴=，=，=， 解得：CD=，DE=，EF=． 故选C． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错． （2013?宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与⊿ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ） ．．．A.（6，0） B.（6，3） C.（6，5） D.（4，2）

（2013?宜昌）如图1，在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连接FE，FC，BF. （1）求证：BE=BF；

（2）如图2，若将⊿AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K.

①求证：⊿AGC∽⊿KGB；

②当⊿BEF为等腰直角三角形时，请直接写出．．．．AB：BF的值.

（2013?莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ） A．正方形与矩形 B． 正方形与菱形 菱形与菱形 C．D． 正五边形与正五边形 考点： 相似图形． 分析： 根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形． 解答： 解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、菱形与菱形，对应边不值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意． 故选：D． 点评： 本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键． （2013?莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．

如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长．

2

考点： 黄金分割． 分析： （1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案． （2）根据黄金比值即可求出AD的长度． 解答： 解：（1）∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°， ∴AD=BD，BC=BD， ∴△ABC∽△BDC， ∴=2，即=， ∴AD=AC?CD． ∴点D是线段AC的黄金分割点． （2）∵点D是线段AC的黄金分割点， ∴AD=AC=． 点评： 本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值． （2013?莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF； （2）拓展探究：若AC≠BC． ①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；

②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）如答图1，连接CD，证明△AND≌△CDM，可得DM=DN；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF； （2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．证法二提供另外一种证明方法，可以参考； ②若BD=kAD，证明思路与①类似；证法二提供另外一种证明方法，可以参考． 解答： （1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形， 如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2． 在△AND与△CDM中， ∴△AND≌△CDM（ASA）， ∴DM=DN．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3， ∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5， 在△NED与△DFM中， ∴△NED≌△DFM（ASA）， ∴NE=DF． ∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF． （2）①答：AE=DF． 证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD， ∴，即MF?EN=DE?DF． 同理△AEN∽△MFB， ∴，即MF?EN=AE?BF． ∴DE?DF=AE?BF， ∴（AD﹣AE）?DF=AE?（BD﹣DF）， ∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF． 证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． ∵D为AB中点， ∴DQ=PC=PB． 易证△DMF∽△NDE，∴易证△DMP∽△DNQ，∴∴； ， ， ， 易证△AEN∽△DPB，∴∴，∴AE=DF． ②答：DF=kAE． 证法一：由①同理可得：DE?DF=AE?BF， ∴（AE﹣AD）?DF=AE?（DF﹣BD） ∴AD?DF=AE?BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE． 证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． 易证△AQD∽△DPB，得由①同理可得：∴又∵∴； ， ， ， ，即PB=kDQ． ∴DF=kAE． 点评： 本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想． （2013?厦门）如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，

DE＝2，则BC＝ 6 ．

A D E

C B

图3

（2013?吉林省）如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1㎝/s，点P沿A F D的方向运动到点D停止；点Q沿B C的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动.在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（㎝2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s） （1）当点P运动到点F时，CQ= ㎝；

（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度； （3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式.

DBMQBEDE（2013?白银）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．

考点： 相似三角形的应用． 分析： 易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 解答： 解：根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知=，即=， 解得AM=5m．则小明的影长为5米． 点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．

（2013?宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有 ①②③ ．（只填序号） 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 分析： 根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可． 解答： 解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE=BC=2， ∴△ADE∽△ABC， 故①②正确； ∵△ADE∽△ABC，=， ∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4， △ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2， 故③正确，④错误． 故答案为：①②③． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．

(1)当t＝ ▲ s时，四边形EBFB'为正方形；

(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； (3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（2013?淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．

（1）当ι= 7 时，点P与点Q相遇；

（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式；

②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得； （2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值； （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解． 解答： 解：（1）在直角△ABC中，AC==4， 则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5． 根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7． （2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒． 则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1． 当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC， 在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH=AQ=∵PC=BC﹣BP=3﹣t， ∴×（2t﹣4）=3﹣t， 解得：t=； ． （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t． 同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14﹣2t）， 故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t+10t﹣2）． 故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）． ∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上， 2

∴PD一定是AC的中垂线． 则AP=AC=2，PD=BC=， 则S△APD=AP?PD=×2×=． AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4． 则PC边上的高是：AQ=×4=则S△PCQ=PC?故答案是：7． =×2×=． ． 点评： 本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．

（2013?南京）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过 点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且?BCP=?ACD。 (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： (2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。

（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 （2，4﹣2） ．

考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质． 分析： 根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标． 解答： 解：∵四边形OABC是边长为2的正方形， ∴OA=OC=2，OB=2， ∵QO=OC， ∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2， ∵正方形OABC的边AB∥OC， ∴△BPQ∽△OCQ， ∴即==， ， 解得BP=2﹣2， ∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2， ∴点P的坐标为（2，4﹣2）． 故答案为：（2，4﹣2）． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键． （2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．

（1）当t= 2.5 s时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可； （2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算； （3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在． 解答： 解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF， 即：10﹣t=3t， 解得t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG， 则有，即， 解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF， 则有，即， 解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2． ∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似． （3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合． 如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5， 由勾股定理得：OM+FM=OF， 222即：5+（6﹣3t）=（3t） 解得：t=； 222 过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6， 222由勾股定理得：ON+EN=OE， 222即：6+（5﹣t）=（10﹣t） 解得：t=3.9． ∵≠3.9， ∴不存在实数t，使得点B′与点O重合． 点评： 本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在． （2013?泰州） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M. (1)求证：△ADP∽△ABQ；

(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；

(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。

解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90° ∵∠ABC+∠ABQ=180° ∴∠ABQ=∠ADP =90° ∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90° ∴∠QAB+ ∠BAP=90° 又∵∠PAD+∠BAP=90° ∴∠PAD=∠QAB

在△ADP与△ABQ中

A10 Dx

PMQB20-x

??ADP??ABQ∵?

?PAD??QAB?∴△ADP∽△ABQ

（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°

N

C又∵∠MQN=∠PQC ∴△MQN∽△PQC ∴

MNQM ?PCQP∵点M是PQ的中点 ∴

QM1? QP2∴

MNQMQN1??? PCQPQC2又∵PC?DC?DP?20?x ∴MN?1111PC?(20?x) QN?QC?(QB?10) 2222∵△ADP∽△ABQ ∴

ADDP10x ∴BQ?2x ??20BQABBQ111QC?(QB?10)?(2x?10) 2221∴BN?QB?QN?2x?(2x?10)?x?5

2∵QN??1?2222在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM?MN?BN??(20?x)??(x?5)

?2?即：y?252x?20x?125 (0?x?20 )445?35.

当x?4即DP?4时，线段BM长的最小值?A 10

(3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10

D 8 P a

10a由△ADP∽△ABQ得?解得：a?12.5

810M Q

10 B 10 C ∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，

当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：a?12.5 ．（2013?南通）若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ▲ ．

（2013?南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，

BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A F D

B

E

（第27题）

C

∴OA=2，OB=4． ∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°， ∴△OAE∽△OBA， ∴=，即=， 解得，OE=1， ∴点E的坐标为（0，1）； （Ⅱ）①如图②，连接EE′． 由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m． 在Rt△A′BO中，由A′B=A′O+BO，得A′B=（2﹣m）+4=m﹣4m+20． ∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的， ∴EE′∥AA′，且EE′=AA′． ∴∠BEE′=90°，EE′=m． 又BE=OB﹣OE=3， 2222∴在Rt△BE′E中，BE′=E′E+BE=m+9， 2222∴A′B+BE′=2m﹣4m+29=2（m﹣1）+27． 22当m=1时，A′B+BE′可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）． ②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3． 易证△AB′A′≌△EBE′， ∴B′A=BE′， ∴A′B+BE′=A′B+B′A′． 当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值． 易证△AB′A′∽△OBA′， ∴==， 2222222∴AA′=×2=， ∴EE′=AA′=， ∴点E′的坐标是（，1）． 点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握． （2013? 东营）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ B ） A. 只有1个

B. 可以有2个

C. 可以有3个

D. 有无数个

（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题：计算题．

分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答． 解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD， ∴AC=2CD，CD==2，

∴EC=2+2，即EC=；

2

∴S2的面积为EC==8； ∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故选B．

2

2

2

CD，可得AC=2CD，CD=2，

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力． （2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF∥BC，

∴∠M=∠CBM，

∵BQ是∠CBP的平分线， ∴∠PBM=∠CBM， ∴∠M=∠PBM， ∴BP=PM，

∴EP+BP=EP+PM=EM， ∵CQ=CE，

∴EQ=2CQ，

由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ， ∴

=

=2，

∴EM=2BC=2×6=12， 即EP+BP=12． 故答案为：12．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． ．（2013济宁）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为 cm．

考点：相似三角形的应用．

分析：根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答． 解答：解：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC ∴

=

=

设屏幕上的小树高是x，则解得x=18cm．故答案为：18．

点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）

A．a B． C． D．

考点：相似三角形的判定与性质．

分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积． 解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∵AB=4，AD=2，

∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4， ∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3， ∵△ABD的面积为a， ∴△ACD的面积为a，

故选C．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．

（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

2

（1）求证：AC=AB?AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求

的值．

考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似

2

三角形的对应边成比例，证得AC=AB?AD；

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB，

的值．

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