2011高中数学知识点总结

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高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}

{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??????1013

3. 注意下列性质：

{}

（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==

（3）德摩根定律：

()()()()()()C C C C C C U U U U U U

A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式

的解集为，若且，求实数x ax x a

M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴

·∵，∴

·，，）335305555015392522∈--

M a a a 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧ “非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨

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若为真，当且仅当为假?p p

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()

()例：函数的定义域是y x x x =--432lg

()()()（答：，，，）022334

10. 如何求复合函数的定义域？

[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。

[]（答：，）a a -

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

(

)如：，求f

x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21

∴f t e t t ()=+--2121

()∴f x e x x x ()=+-≥-21210

12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）

()()

如：求函数的反函数f x x

x x x ()=+≥---

110()

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13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈?=-()b a [][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，

14. 如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

[]（，，则（外层）（内层）y f u u x y f x ===()()()??

[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）f x f x ??()() ()

如：求的单调区间y x x =-+log 1222

（设，由则u x x u x =-+><<22002 ()且，，如图：log 122

11u u x ↓=--+

当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112

当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212

∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

()

在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0

[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013() 值是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

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（令f x x a x a x a '()=-=+?

? ???-?? ??

?≥333302 则或x a x a ≤-≥33

由已知在，上为增函数，则

，即f x a a ()[)1313+∞≤≤ ∴a 的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-??

若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0= 如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+=2221

（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000 即·，∴）a a a 2221

0100+-+== 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x x

x ()()()()-∈=+1101241

()求在，上的解析式。f x ()-11

()()（令，，则，，x x f x x

x ∈--∈-=+--1001241

() 又为奇函数，∴f x f x x x x

x

()()=-+=-+--241214

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()又，∴，，）f f x x x x x

x x x ()()()002411002

41

01==-+∈-=+∈???????

17. 你熟悉周期函数的定义吗？ ()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()() 函数，T 是一个周期。）

()如：若，则f x a f x +=-()

（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2

()又如：若图象有两条对称轴，f x x a x b ()==?

即，f a x f a x f b x f b x ()()()()+=-+=- 则是周期函数，为一个周期f x a b ()2-

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y ()()与的图象关于轴对称- f x f x x ()()与的图象关于轴对称- f x f x ()()与的图象关于原点对称-- f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20

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将图象左移个单位右移个单位

y f x a a a a y f x a y f x a =>?→????????>=+=-()()()()()00 上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b ()()()()>?→

????????>=++=+-00 注意如下“翻折”变换： f x f x f x f x ()()()(||)?→??→?

()如：f x x ()log =+21

()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211

y=log 2x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

()（）一次函数：10y kx b k =+≠

()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x a

k O a b =

≠=+-≠'() 的双曲线。 ()（）二次函数图象为抛物线302442

22y ax bx c a a x b a ac b a =++≠=+?? ???+-

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顶点坐标为，，对称轴--?? ???=-b a

ac b a x b a 24422 开口方向：，向上，函数a y ac b a

>=-0442min a y ac b a

<=-0442，向下，max 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><() ②求闭区间［m ，n ］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。 如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a

k f k 20020

++=?≥->>????????()

一根大于，一根小于k k f k ?<()0

()（）指数函数：，401y a a a x =>≠

()（）对数函数，501y x a a a =>≠log

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

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a x(a>1)

()（）“对勾函数”60y x k x

k =+> 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：，a a a

a a p p 01010=≠=≠-(()) a a a a a a m

n m n m

n m n =≥=>-((01

0))，

()对数运算：·，log log log a a a M N M N M N =+>>00 log log log log log a a a a n a M N M N M n

M =-=，1 对数恒等式：a x a x log =

对数换底公式：log log log log log a c c a n a b b a b n m b m =

?= 21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()() （先令再令，……）x y f y x ==?==-000()

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（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()()

[]（先令·x y t f t t f t t ==-?--=()()()

∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+

∴……）f t f t ()()-=

()[]（）证明单调性：……32212f x f x x x ()=-+=

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （）123134y x x =-+- （）2243

y x x =-+ （），3323

2

x y x x >=- []()（）设，，449302y x x

x =++-=∈cos θθπ （），，54901y x x

x =+∈(] 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？ （·，··）扇l l ==

=ααR S R R 1212

2

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin cos tan ααα===MP OM AT ，，

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y

T

A x

α

B S O M P

如：若，则，，的大小顺序是-<<πθθθθ80sin cos tan

又如：求函数的定义域和值域。y x =--?? ??

?122cos π （∵）122120--?? ??

?

=-≥cos sin πx x ∴，如图：sin x ≤22

()∴，25424

012k x k k Z y ππππ-≤≤+∈≤≤+ 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

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sin cos x x ≤≤11，

y

x O

-π2 π2 π y tgx = 对称点为，，k k Z π20?? ??

?∈ ()y x k k k Z =-+?

????

?∈sin 的增区间为，2222ππππ ()减区间为，22232k k k Z ππππ++?????

?∈ ()()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ02=+

∈ []()y x k k k Z =+∈cos 的增区间为，22πππ

[

]()减区间为，222k k k Z ππππ++∈ ()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+?

? ???=∈2

0 y x k k k Z =-+?

?

???∈tan 的增区间为，ππππ22 ()()[]26. y =Asin x +正弦型函数的图象和性质要熟记。或ω?ω?y A x =+cos （）振幅，周期12||||

A T =πω ()若，则为对称轴。f x A x x 00=±=

()()

若，则，为对称点，反之也对。f x x 0000=

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（）五点作图：令依次为，

，，，，求出与，依点20232

2ω?ππππx x y + （x ，y ）作图象。 （）根据图象求解析式。（求、、值）3A ω?

如图列出ω?ω?π()()x x 1202+=+=????

? 解条件组求、值ω?

()?正切型函数，y A x T =+=tan ||

ω?πω 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：，，，求值。cos x x x +

?? ???=-∈??????πππ62232 （∵，∴，∴，∴）ππππππππ<<<+<+==x x x x 32766536541312

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数的值域是

y x x =+sin sin|| [][]

（时，，，时，，∴，）x ≥=∈-<=∈-02220022y x x y y sin

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式： （）点（，），平移至（，），则1P x y a h k P x y x x h y y k →=?→?????=+=+???

()''''' （）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f x y a h k f x h y k ()()()==--=→ 如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的y x y x =-?

? ??

?-=2241sin sin π

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图象？ （横坐标伸长到原来的倍y x y x =-?

? ???-?→?????????=?? ???-?????

?-22412212412sin sin ππ =-?? ???-?→??????=-?→??????=24142121sin sin sin x y x y x ππ左平移个单位

上平移个单位 纵坐标缩短到原来的倍

）1

2?→?????????=y x sin 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ 如：··14

2222=+=-===sin cos sec tan tan cot cos sec tan ααααααααπ ===sin

cos π2

0……称为的代换。1 “·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k παα2± “奇”、“偶”指k 取奇、偶数。 ()如：cos tan sin 94

7621πππ+-?? ???+= 又如：函数，则的值为y y =++sin tan cos cot αααα

A. 正值或负值

B. 负值

C. 非负值

D. 正值 ()()（，∵）y =+

+=++>≠sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin ααααααααααα221100 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

()sin sin cos cos sin sin sin cos αβαβαβαβ

ααα±=±=?→???=令22 (

)cos cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβααα±==?→???=- 令222

()tan tan tan tan tan αβαβαβ

±=±1 · =-=-?211222cos sin αα tan tan tan 2212ααα=- cos cos sin cos 22122122αα

αα=+=-

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()a b a b b a sin cos sin tan ααα??+=

++=22， sin cos sin αααπ+=+?? ??

?24 sin cos sin αααπ+=+

?

? ???323 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

()（）角的变换：如， (1222)

βαβααβαβαβ=+-+=-?? ???--?? ??? （2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 ()()如：已知，，求的值。sin cos cos tan tan ααααββα12123

2-=-=-- （由已知得：，∴sin cos sin cos sin tan ααα

ααα221122=== ()又tan βα-=23

()()[]

()()∴··）tan tan tan tan tan tan βαβααβααβαα-=--=--+-=-+=21231213218

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ 余弦定理：a b c bc A A b c a bc 222

222

22=+-?=+-cos cos （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） 正弦定理：a A b B c C R a R A b R B c R C sin sin sin sin sin sin ===?===????

?2222 S a b C ?=12

·sin ∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ

()∴，sin sin sin cos A B C A B C +=+=22

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如中，?ABC A B C 22

212sin

cos ++= （）求角；1C （）若，求的值。222222

2

a b c A B =+-cos cos ()（（）由已知式得：112112-++-=cos cos A B C 又，∴A B C C C +=-+-=π2102

cos cos ∴或（舍）cos cos C C =

=-12

1 又，∴03

<<=C C ππ （）由正弦定理及得：212

222a b c =+ 22334

2222sin sin sin sin A B C -===π 121234

--+=cos cos A B ∴）cos cos 2234A B -=- 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 []反正弦：，，，arcsin x x ∈-??????∈-ππ2

211 [][]反余弦：，，，arccosx x ∈∈-011π ()反正切：，，arctan x x R ∈-?? ??

?∈ππ22 34. 不等式的性质有哪些？

（），100a b c ac bc

c ac bc >>?>

（），2a b c d a c b d >>?+>+

（），300a b c d ac bd >>>>?> （），4011011a b a b a b a b >>?<< （），50a b a b a b n n n n >>?>>

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()（），或60||||x a a a x a x a x a x a <>?-<<>?<-> 如：若，则下列结论不正确的是（）110a b <<

A a b

B ab b ..22

2<< C a b a b D a b b a

.||||||

.+>++>2 答案：C

35. 利用均值不等式： ()a b ab a b R a b ab ab a b 222

222+≥∈+≥≤+?? ???+，；；求最值时，你是否注 意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()() 值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论： ()

a b a b ab ab a b a b R 22222+≥+≥≥+∈+， 当且仅当时等号成立。a b =

()

a b c ab bc ca a b R 222++≥++∈，

当且仅当时取等号。a b c ==

a b m n >>>>000，，，则

b a b m a m a n b n a b

<++<<++<1 如：若，的最大值为x x x >--0234 （设y x x =-+?

? ??

?≤-=-2342212243 当且仅当，又，∴时，）340233

243x x x x y =>==-max 又如：，则的最小值为

x y x y +=+2124 （∵，∴最小值为）22222222221x y x y +≥=+

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

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（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。 如：证明…1121312222+

+++

（…………112131111212311222++++<+?+?++-n n n =+-

+-++--=-<11121213111212……）n n n ()370.()()

解分式不等式的一般步骤是什么？f x g x a a >≠ （移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

()()()如：x x x +--<112023

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分或讨论a a ><<101

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式||x x --+<311 （解集为）x x |>?

?????

12 41.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题a b a b a b -≤±≤+ 如：设，实数满足f x x x a x a ()||=-+-<2

131 求证：f x f a a ()()(||)-<+21

证明：|()()||()()|f x f a x x a a -=-+--+221313

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=-+--<=-+-<+-≤++|()()|(||)

||||||||||x a x a x a x a x a x a x a 11111

又，∴||||||||||x a x a x a -≤-<<+11 ()∴f x f a a a ()()||||-<+=+2221

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值a f x a f x

a f x a f x >?>()()恒成立的最大值

a f x a f x >?>()()能成立的最小值 例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是x x x a a -++>32 （设，它表示数轴上到两定点和距离之和u x x =-++-3223 ()u a a min =--=><32555，∴，即 ()()或者：，∴）x x x x a -++≥--+=<323255

43. 等差数列的定义与性质

() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111()

等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()

前项和n S a a n na n n d n n =+=+-11212

{}性质：是等差数列a n

（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+

{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+

S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--

（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+

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（）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数）

{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即：

当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11

0000><≥≤???+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 110000

<>≤≥???+

{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===

--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331

()又·，∴S a a a a 31322233113

=+=== ()()∴·S a a n a a n n n n n =+=+=+?? ???=-121221312

18 ∴=n 27）

44. 等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n n

n n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2

()

前项和：（要注意）n S na q a q q q n n

==--≠?????111111()()! {}性质：是等比数列a n

（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+=

（），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n --

b8c4c5089ec3d5bbfc0a748a 高考圈-让高考没有难报的志愿

45.由求时应注意什么？S a n n

（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

{}如：满足

……a a a a n n n n 121212

251122+++=+<> 解：n a a ==?+=112

2151411时，，∴ n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212

215212211时，…… <>-<>=12122得：n n a ∴a n n =+21 ∴a n n n n ==≥???

+141221()() ［练习］

{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++11153

4 （注意到代入得：a S S S S n n n n n

+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--234

11时，……· （2）叠乘法

{}例如：数列中，，，求a a a a n n a n n n n 1131

==++ 解：a a a a a a n n a a n

n n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a n n 133==

（3）等差型递推公式

由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()

b8c4c5089ec3d5bbfc0a748a 高考圈-让高考没有难报的志愿

n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?????

?

?-22321321时，…………两边相加，得：()()() a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］

{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥-- ()

（）a n n =-1231 （4）等比型递推公式

()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1 ()?=+--a ca c x n n 11 令，∴()c x d x d c -==-11 ∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-?

?????+-111 ∴·a d c a d c c n n +-=+-?? ??

?-1111 ∴a a d c c d c n n =+

-?

? ???---1111 ［练习］

{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+ （）a n n =-?? ??

?+-84311

（5）倒数法 例如：，，求a a a a a n n n n 11122

==++

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