外文翻译--结构分析的矩阵方法-精品

南 京 理 工 大 学

毕业设计(论文)外文资料翻译

学院（系）： 机械工程学院 专 业： 机械工程及自动化 姓 名： 徐峰 学 号： 0101500131 外文出处： Theory of structures

(用外文写)

Publisher:McGraw Hill 附 件： 1.外文资料翻译译文；2.外文原文。

指导教师评语： 翻译内容符合毕业设计内容的要求，翻译工作量较大，翻译基本正确、符合科技外语的翻译习惯和用法，较好的完成了翻译工作。 签名： 年 月 日

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附件1：外文资料翻译译文

结构分析的矩阵方法

1. 力法和应变方法

在前述的章节已经介绍解决静不定系统的各种各样的方法。它们可分为两大类。例如，在分析拱门和框架结构时，分析步骤如下。首先，所有的冗余的约束被对应的冗余的力（或力矩）取代，这些力的大小可通过基于应变能的最小势能原理解得。类似的过程也被用于解静不定桁架的分析，这些方法统称为力法。

在连续梁和框架分析中，另一种不同的方法曾被使用。在这个情况下，我们首先计算了结点的旋转的角度(变形)而冗余力是后来才求的。在连续梁的分析中使用了的3角度方程代表另一种方法。这样的方法称为应变方法。

我们用一个例子来说明这两种方法之间的区别，如图10.1的平面静不定桁架，一力P分解为Px和PY，作用在的5根悬于刚性基础的等截面杆交点A处。因为杆数量大于A点平衡方程的数目，很明显这是一个静不定问题。一般来说，如果绞点A由n根杆铰接而成，那么冗余的杆将是(n-2)。因此，为了根据力法解出对应的冗余的力X1，X2,X3，……Xn-2，我们根据这些力的作用，通过最小势能原理获得应变能表达式，进而获得所需的方程： эU/эX1=0 эU/эX2=0 …… (a) 其中每个方程都包含所有冗余力，因此随着杆数目的增加，方程（a）的求解将变得越来越麻烦。

解决相同的问题，Navier建议使用的移置方法。在图10.1的系统中，如果知道在力P作用下A点的各自的水平位移u、垂直位移v，那么系统变形将完全确定下来。假设P引起的位移量很小，那么第i杆的拉长量 △li=vSin ai–u cosai

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杆中的对应的轴力为 Si=EAi(vSin ai–u cosai)/li= EAi(vSinａｉ–u cosai) Ｓin ai/h (b) 再写出铰点A的两个平衡方程， 得

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v ∑Ai Sin2 ai Cos ai-u ∑Ai CosaiSin ai =Pxh/E (c) 2 v ∑Ai Sin2 ai-u ∑Ai Sin ai Cos ai=Pyh/E

从这两个方程中，在任一种特殊的情形下我们都很容易求出未知的u和v。之后，再将u和v代入任何系统中的(b)表达式中求出系统中任一根杆的Si。对于这个问题，可以看出，直接考虑系统变形使得问题解决简单化，尤其在遇到很多根杆的时候，无需考虑杆的多少，我们只需解2个方程而已。

在类似的方法下，对连续梁的直接变形分析在许多方面使问题简单化。如果我们去除所有的中间支持只考虑产生的多余的对应反力X1,X2,X3，……，用最少势能原理导出方程组(a)，其中每个方程均包含所有的未知量。因此如果梁跨度很大，那么问题的解决将很麻烦的。对这个问题的解决办法上的重大改进在于：将连续梁的看成两端支撑的简单杆并计算出这根杆末端旋转的角度。接着，根据连续梁在中间支撑处转角一定相等的条件，已知的3角度方程即可获得。这些方程比方程组(a)简单多了，因为他们没有一个包含有3个以上未知数。

eadbcFig 10.2

另一个运用应变方法使问题大为简单的代表例子是图10.2所示系统。4个两端固定杆刚接于a点。忽略杆中轴力影响，这个系统有7个冗余的元素，为解决这个问题，用最少势能原理得到7个方程。再用结构应变使问题变得非常简单。这种变形完全是载荷作用下交点旋转的角度θa决定。解出这一角度后，所有元素的末端可由力矩-变形方程解出。因此，在结点a的末端力矩方程的基础上只需一个方程即可解出变形。

但并不能从前述讨论静不定系统中总结出应变方法总比力法要优异。例如，在一个含有1个冗余度和10个结点的简单桁架中，用上面的应变的方法将变得很麻烦，而使用的力法是极其简单的。

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在处理高次静不定系统时，我们通常发现那不管我们用的力法还是应变方法，都要解带有许多未知量的线性代数方程组。抛开结构分析的其他任何特别的问题，让我们考虑如下系统的方程：

a11?a12x2?????a1nxn?c1 a21?a22x2?????a2nxn?c2

………………………………..

am1?am2x2?????amnxn?cm

（10.1）

理论上讲，这种线性代数方程总是可解的，但是随着方程数目的增加，解方程的过程将变得十分麻烦，为了简化解题技巧，介绍一种矩阵代数的记法。因此，在矩阵记法中，方程(10.1) 可精简为：

[aij][xj]=[ci] （10.1a） 或简记 Ax=c （10.1b）

方括号表达式中的每个数组(或记法)被称为一个矩阵。数（或记法)本身被称为元素，当矩阵有m行和n列时，矩阵被称为m*n型。当仅仅在矩阵有一列或一行元素时，它被称为列向量或行向量。认为（10.1a）矩阵[aij]以这种方式作用于列向量[xj]组成了上面方程组的左边。因此有必要去学习一些矩阵代数的规则。

但在这之前，读者应认清结构分析的矩阵方法并没有什么特别的或不可思议的，也并不代表它比前述章节讨论的手算方法更为优越。它真正的优势在于它引导去更好的利用了电子计算机。因此，避免了棘手的手算麻烦而另辟了一条结构分析的道路。在可得到的有限的空间里，我们将不可能揭露矩阵方法的全部作用，但通过简单的例子帮助读者熟悉方法并领会他的优点。

2 连续结构的矩阵分析方法

诸如建筑结构的连续结构很可能是高次静不定的，以致于在分析时要处理分析许多未知数。解决这类问题的唯一的可行方法是求助于电子数字计算机。并且为实现这个目的，矩阵陈述是最有利的。为阐述这类问题的矩阵方法，我们以图（10.13）的二层结构框架来举例说明，尽管这个框架并没有使问题复杂的众多未知数，但在另一方面，它足以阐述清涵盖分析更大结构时所有的步骤、过程。

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为简洁起见，我们假设每段梁的长为l，一样的弯曲刚度EI，因此硬度条件都是相等的，即k=EI/l是一样的。作为一个一般练习，忽略轴应力和剪应力引起的变形，而仅仅考虑弯曲变形。在这些假设前提下，在负载作用下的结构的变形完全由6个位移量决定。即，两个水平位移δa，δb四个交点处的旋转角度θ1,θ2，θ3,θ4。6个位移量求出来以后，所有末端力矩可通过力位移方程计算出，这个问题就解决了。因此，我们介绍列向量

[δj]={δa，δb，θ1,θ2,θ3,θ4} (a) 并将这一系列位移量作为问题未知量。

图10.13

作为计算位移量的第一步，我们首先考虑图10.14举例说明了的2个简单的问题。在图10.14a中，在两端固定的等截面梁AB的端点A作用一个位移δ，A没有任何旋转运动，B没有任何移动。那么，A、B两点的反力根据方程（9.6）很容易就计算出了。并且我们发现

Rab=12kθ/l2 Mab=6kθ/l Rab=12kθ/l2 Mab=6kθ/l (b) 在图10.14b中，相同梁的端点A只有一个旋转角度θ，不允许A有任何侧面移动，端点B也没有任何移动。接着，再使用应力--变形方程{9.6}，我们发现

Rab=6kθ/l Mab=4kθ Rab=6kθ/l Mab=2kθ (b’)

图10.14

在方程(b)和(b')中，出现在δ和θ前面的系数代表梁端部的反力、力或约束，而此时

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