《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

习题一：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故 1 5,6,7, ； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解： 2 2,3,4, 11,12 ； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以 3 0,1,2, (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： 4 i,j i j 5 ; (5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则 5 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： 6 x,y 1 x y T2

；

；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解： 7 x0 x 2 ；

(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解： 8 x,y x 0,y 0,x y l ； 1.2

(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; AB；

(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;A(B C)； (3) A,B,C 中至少有一个发生; A B C；

(4) A,B,C 中恰有一个发生;A B ； (5) A,B,C 中至少有两个发生; AB AC BC； (6) A,B,C 中至多有一个发生; ；

(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC

(8) A,B,C 中恰有两个发生.BC AC AB ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间 x0 x 2 , 事件A=x0.5 x 1 ,B x0.8 x 1.6 具体写出下列各事件：

(1) AB; (2) A B ; (3) A B; (4) A B （1）AB x0.8 x 1 ； (2) A B=x0.5 x 0.8 ；

(3) A B=x0 x 0.5 0.8 x 2 ; (4) A B=x0 x 0.5 1.6 x 2

1.6 按从小到大次序排列P(A),P(A B),P(AB),P(A) P(B), 并说明理由.

解：由于AB A,A (A B),故P(AB) P(A) P(A B)，而由加法公式，有：

P(A B) P(A) P(B)

1.7

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

P(W E) P(W) P(E) P(WE) 0.175

(2) 由于事件W可以分解为互斥事件WE,W，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：P(W) P(W) P(WE) 0.1

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：P() 1 P(W E) 0.825. 1.8

解：(1) 由于AB A,AB B，故P(AB) P(A),P(AB) P(B),显然当A B时P(AB)

取到最大值。 最大值是0.6.

(2) 由于P(AB) P(A) P(B) P(A B)。显然当P(A B) 1时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4. 1.9

解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.A,B,C至少有一个发生的概率为：

P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 0.7

1.10 解

（1）通过作图，可以知道，P(A) P(A B) P(B) 0.3 （2）P(AB) 1 P(AB) 1 (P(A) P(A B)) 0.6

(3)由于P(AB) P() 1 P(A B) 1 (P(A) P(B) P(AB))

1 P(A) P(B) P(AB)P(B) 1 P(A) 0.7

1.11

解：用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有

4 4 4 64种，每种放法等可能。

对事件A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故P(A1)

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

3 8

对事件A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故P(A3) 1.12

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为

1319

。P(A2) 1 1681616

1

。 18

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是(1) 1.13

11,。 129

解：从10个数中任取三个数，共有C10 120种取法，亦即基本事件总数为120。 (1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有

2C4 6种，故所求概率为

3

1

。 201。 12

(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有C5 10种，故所求概率为 1.14

解：分别用A1,A2,A3表示事件：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则

2

C822814C46116

P(A1) 2 ,P(A2) 2 ,P(A3) 1 P(A1) P(A2) 。

C126633C12661133

2

1.15

解：P((A )B)

P((A ) B)P((AB) (B))

P(B)P(B)

P(AB)P(A) P(A)

0.5

P(B)P(B)

由于P(B) 0，故P((A )B)

1.16

(1) P(A B);（2）P( B);

解：（1）P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1 P(B)P(AB) 1 0.4 0.5 0.8;

（2）P( B) P() P(B) P(B) 1 P(B)P(B) 1 0.4 0.5 0.6;

注意：因为P(AB) 0.5，所以P(B) 1 P(AB) 0.5。 1.17

解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i 1,2,3），则i表示事件“第i次取到的是次品”（i 1,2,3）。P(A1)

15331421

,P(A1A2) P(A1)P(A2A1)

20441938

(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：

P(3A1A2)

5。

18

(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

P(A1A23) P(A1)P(A2A1)P(3A1A2)

（3）事件“第三次取到次品”的概率为：

1514535

201918228

1 4

此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i 1,2），

则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：P(2A1) 1；而事件“第二次才取到次品”的概率为：P(A12) P(A1)P(2A1) 1.18。

解：用Ai(i 0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则

2112C12C12 C2C266241

P(A0) 2 ,P(A1) ,P(A) , 222

C1491C1491C1491

1

。区别是显然的。 2

P(BA0)

123

P(BA) P(BA) 12

12，12，12，

根据全概率公式，有：

P(B) P(A0)P(BA0) P(A1)P(BA1) P(A2)P(BA2)

1.19

3

28

解：设Ai(i 1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”，

B表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。

则P(A1) 0.92,P(A2) 0.05,P(A3) 0.03,P(BA1) 0.5，P(BA2) 0.15，

P(BA3) 0.1，根据全概率公式，有：

P(B) P(A1)P(BA1) P(A2)P(BA2) P(A3)P(BA3) 0.4705

1.20

解：用B表示色盲，A表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：

P(A) 0.51,P() 0.49,P(BA) 0.05,P(B) 0.025,因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：

P(AB)

P(A)P(BA)P(AB)P(AB)102

P(B)P(AB) P(B)P(A)P(BA) P()P(B)151

1.21

解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：

P(A) 0.005,P() 0.995,P(BA) 0.95,P(B) 0.01,

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

P(AB)

P(A)P(BA)P(AB)P(AB)95

P(B)P(AB) P(B)P(A)P(BA) P()P(B)294

1.22

(1) 求该批产品的合格率;

(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少?

解：设，B1 {产品为甲厂生产},B2 {产品为乙厂生产},B3 {产品为丙厂生产},

A {产品为合格品}，则

（1）根据全概率公式，P(A) P(B1)P(AB1) P(B2)P(AB2) P(B3)P(AB3) 0.94，该批产品的合格率为0.94.

（2）根据贝叶斯公式，P(B1A)

P(B1)P(AB1)19

P(B1)P(AB1) P(B2)P(AB2) P(B3)P(AB3)94

2724

，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取,P(B3A)

9447

192724

一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：,,。

949447

同理可以求得P(B2A) 1.23

解：记A={目标被击中}，则P(A) 1 P() 1 (1 0.9)(1 0.8)(1 0.7) 0.994 1.24

解：记A4={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，4={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而P(A4) 0.5904，因此P(4) 1 P(A4) P() P()4 0.4096。所以

P() 0.8,P(A1) 1 0.8 0.2

1

三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：C3P(A)(1 P(A))2 3 0.2 0.64 0.384。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：

第二章 随机变量

2.1 X P

2 1/36

3 1/18

4 1/12

5 1/9

6 5/36

7 1/6

8 5/36

9 1/9

10 1/12

11 1/18

12 1/36

2.2解：根据

P(X k) 1，得 ae

k 0

k 0

k

ae 1

1。 1，即 1

1 e

故 a e 1

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

0202111120200.70.3 0.40.6 0.70.3 0.40.6 0.70.3 0.40.6 0.3124C2C2C2C2C2C2

1

1

2

2

(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

110220022011

C20.70.3 C20.40.6 C20.70.3 C20.40.6 C20.70.3 C20.40.6 0.56281

2

2

1

2.4解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=

1232 1515155

(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=

121 15155

11[1 ()k]

1111 1 2.5解：（1）P{X=2,4,6, }=2 4 6 2k=limk 222231

4

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1

111 244

2.6解：设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

P{X 0} P{A1A2A3A4} P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)=

1817161512 2019181719

P{X 1} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4}

218171618217161818216181716232 2019181720191817201918172019181795

P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1

12323

199595

2.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

P(X 3) P(X 3) P(X 4) C40.430.61 C40.440.60 0.1792

(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

P(X 3) P(X 3) P(X 4) P(X 5) C50.430.62 C50.440.61 C50.450.60 0.31744

3

4

5

34

2.7 （1）X～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)

1.50 1.5 1.5

e=e P{X 0} 0!

（2）X～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)

20 221 2

P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 e e 1 3e 2

0!1!

2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则X~B(180,0.01)。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即P(X m) 0.99，也即

P(X m 1) 0.01

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为 180 0.01 1.8的泊松分布。 查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。 故应至少配备6名设备维修人员。

2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为

10001000

P(1000 X 1500)

1000x2x

1500

1500

1000

1

3

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则Y~B(5,)。所求的概率为

13

1280

P(Y 2) C52()2 ()3 5 0.329

333

2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.8 X 1} 12x(1 x)2dx (6x2 8x3 3x4)| 0.0272

0.8

0.8

11

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.9 X 1} 12x(1 x)2dx (6x2 8x3 3x4)| 0.0037

0.9

0.9

11

2.11解:要使方程

x

2

2Kx 2K 3 0有实根则使 (2K) 4(2K 3) 0

2

解得K的取值范围为[ , 1] [4, ],又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

p

[ 1 ( 2) 4 3]1

4 ( 2)3

2.12解：X~P(λ)= P(

1

) 200

100

111

x100 1 200

edx e200| 1 e2

0200

(1) P{X 100}

113 x 1 200

edx e200| e2 （2）P{X 300} 300300200

（3）P{100 X 300}

300

100

1113

x300 1 200

20022

edx e|100 e e 200

P{X 100,100 X 300} P{X 100}P{100 X 300} (1 e)(e e)

2.13解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为

12

12

32

P(X 10) 0.5e 0.5xdx e 0.5x

510

10

e

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则Y~B(282,e 5

)。

因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为 282 e

5

1.9的泊松分布。所求的概率为

P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)

1 e 1.9 1.9e 1.9 1 2.9e 1.9 0.56625

2.14解：(1)P(X 105) (

105 110

12

) ( 0.42) 1 (0.42) 1 0.6628 0.3372

(2)P(100 X 120) (

120 11012) (100 110

12

) (0.83) ( 0.83) 2 (0.83) 1 2 0.7967 1 0.5934

2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)

P{X a} 1 P{X a} 0.01

P{X a} (a 170

6

) 0.99

a 170

6

2.33 a 184厘米

2.19解：X的可能取值为1,2,3。

因为P(X 1) C246C3 0.6； P(X 3) 11

3 0.1； 510C5

10

P(X 2) 1 0.6 0.1 0.3

所以X的分布律为

X的分布函数为

x 1 0

0.61 x 2

F(x)

0.92 x 3 1x 3

2.20(1)

P{Y 0} P{X 0.22

P{Y 2} P{X 0} P{X } 0.3 0.4 0.7 P{Y 4 2} P{X

Y

3

0.12

2

0.7

4 0.1

2

qi

(2)

0.2

P{Y 1} P{X 0} P{X } 0.3 0.4 0.7

3

P{Y 1} P{X P{X } 0.2 0.1 0.3

22Y

-1 0.7

1 0.3

qi

2.21（1）

当 1 x 1时，F(x) P{X 1} 0.3

当1 x 2时，F(x) P{X 1} P{X 1} 0.3 P{X 1} 0.8

P{X 1} 0.8 0.3 0.5

当x 2时，F(x) P{X 1} P{X 1} P{X 2} 0.8 P{X 2} 1

P{X 2} 1 0.8 0.2

X P （2）

-1 0.3

1 0.5

2 0.2

P{Y 1} P{X 1} P{X 1} 0.3 0.5 0.8 P{Y 2} P{X 2} 0.2

Y

1 0.8

2 0.2

qi

2.22

X~N(0,1) fX(x)

x2

2

（1）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

2

y 1x

y 1FY(y) P{Y y} P{2X 1 y} P{X 22dx

2对FY(y)求关于y

的导数，得fY(y)

y 12

) 2

2(

(

y 1) 2

(y 1)2

8

y ( , )

（2）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当y 0时，FY(y) P{Y y} P{e当y 0时，有

X

y} P{ } 0

FY(y) P{Y y} P{e X y} P{ X lny} P{X lny}

对FY(y)求关于y的导数，得

(lny) ( lny)y>0 22

( lny) fY(y)

y 0 0

2

2

ln x2

dx 2

（3）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

2

当y 0时，FY(y) P{Y y} P{X y} P{ } 0

x22

当y>0

时，FY(y) P{Y y} P{X y} P{ X

2

dx

对FY(y)求关于y

的导数，得

fY(y) 0

(lny)2

2

y>0

y 0

0 x 1

2.23 ∵X U(0, )∴fX(x)

其它 0

（1）

当2ln y 时

FY(y) P{Y y} P{2lnX y} P{lnX2 y} P{ } 0

当

y 2ln 时

y

FY(y) P{Y y} P{2lnX y} P{lnX2 y} P{X2 ey} P{X

e2

1

yy y 2ln 1212 e (e)

对FY(y)求关于y的导数，得到fY(y) 2

02ln y

（2）

当y 1或 y -1时，FY(y) P{Y y} P{cosX y} P{ } 0

当 1 y 1时,FY(y) P{Y y} P{cosX y} P{X arccosy}

对FY(y)求关于y的导数，得到

1

arccosy

1 1 y 1 (arccosy)

fY(y)

0其它

（3）当y 1或 y 0时FY(y) P{Y y} P{sinX y} P{ } 0

当0 y 1时，

FY(y) P{Y y} P{sinX y} P{0 X arcsiny} P{ arcsiny X }

arcsiny

1

dx

1

arcsiny

对FY(y)求关于y的导数，得到

1 10 y 1 arcsiny ( arcsiny) fY(y) 0其它

第三章 随机向量

3.1 P{1<X 2,3<Y 5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)= 3.2

3

128

3.4（1）a=

9

（2）

5 12

（3）

P{(X,Y) D} dy

1 y1111

(6 x y)dx [(6 y)x x2]|dy

0009902

111211111188

(y 6y 5)dy (y3 3y2 5y)|

902296209327

1

1 y

3.5解：（1）

F(x,y)

（2）

y

x

yx

2e (2u v)dudv e vdv 2e 2udu ( e v|0)( e 2u|0) (1 e y)(1 e 2x)

yx

P(Y X) x

(2x y)

2x

x

v

x0

2e

dxdy 0

2e

dx 0

edy 0

2e 2( e y|x

0)dx

2e

2x

(1 e x

)dx

(2e 2x 2e 3x)dx ( e 2x| 2 3x 21

000) 3e|0 1 3 3

3.6解：P(x2 y2 a2

)

12222 d ar

22dr x2 y2 a2

(1 x y)00 (1 r) 2 da

1 (1 r2)2d(1 r2

) 1 2 11a1a20

2(1 r2)|0

1 1 a2 1 a2

3.7参见课本后面P227的答案

3.8 f)

1

f(x,y)dy 1

302xy2dy 32xy3X(x0

3|10 x

2

f22

323212y(y) 0

f(x,y)dx

2xydx 2y2x|2

3y2 f x,

0 x 2

3y20 y 1X(x) 2 f Y(y)

0,其它

0其它3.9解：X的边缘概率密度函数fX(x)为：

①当x 1或x 0时，f(x,y) 0，

f(y) 1

12111

Yy4.8y(2 x)dx 4.8y[2x 2x]|y 4.8y[12 2y 2

y2]

fX(x) 0y 1或y 0

0 y 1

fx

x

X(x) 0

4.8y(2 x)dy 2.4y2(2 x)|0

2.4x2(2 x)

②当0 x 1时，fX(x)

x

4.8y(2 x)dy 2.4y2(2 x)|x

2.4x20

(2 x)

Y的边缘概率密度函数fY(y)为：

① 当y 1或y 0时，f(x,y) 0，fY(y) 0

12111

② 当0 y 1时，fY(y) 4.8y(2 x)dx 4.8y[2x x]| 4.8y[1 2y y2]

1

y2y2 2.4y(3 4y y2)

3.10 （1）参见课本后面P227的答案

（2）f x

x26dy 0 x 1x1-x）0 x 1X(x) = 6（

0

其它 0 其它

f(y)

y

dx0 y

1 6y）0 y Y = 1 0

其它 0其它3.11参见课本后面P228的答案 3.12参见课本后面P228的答案 3.13（1）

20 x 1 220 xf(x) 0(x2 xy)dy 2x x

1X 3 3

0其它 0其它 f(y) 1 0(x2 xy)dx0 y 2 1y0 y 2 = 3

3

Y6 0其它 0

其它对于0 y 2时，fY(y) 0，

2xy0 x 1 6x2

+2xy所以ff(x,y) x 0 x 1

2 yX|Y(x|y) f 1y Y(y) 3 6 0其它

0其它2

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