中考数学能力考查- 南安市教师进修学校

例谈中考数学能力考查 南安国光初级中学 吴文献 联系电话：13506968013 纵观近几年的泉州市数学中考试题和每年的各区市数学质检试卷，我们不难发现，数学综合题的重点都放在高中继续学习的函数问题上。此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角函数相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法，如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

这些题目的特点是：注重考查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题的形式出现，相当于几个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生发挥正常水平。 (一)函数型综合题：

压轴题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化。这类题型是先给定直角坐标系和几何图形，求(已知)函数的解析式(即求解前已知函数的类型)，然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

初中已知函数有①一次函数 (包括正比例函数)和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。

例1（2011四川凉山）二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，反比例函数y?系内的大致图像是（ ）

a与正比例函数y?bx在同一坐标x

【答案】B。

【分析】本题把二次函数、反比例函数、正比例函数的图象和性质融合在一起。主要考察数形结合思想。 【解题思路】由二次函数y?ax?bx?c的图象可知，∵图象开口向下，∴a<0；∵对称轴在y轴左侧，∴?2b<0，由2a

a<0，知b<0。根据反比例函数图象的性质，当a<0时，函数y?

当b<0时，函数y?bx图象经过二、四象限。故选B。

a

图象在二、四象限；根据正比例函数图象的性质，x

变式题1（2010龙岩）对于反比例函数y?k，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y?kx2?kx的大致图象是（ ）

例2（2011广西数y??x2?桂林）已知二次函

x143x的图象如图． 2（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

【分析】该题通过平移抛物线，把观察、探究、计算融合在一起，将二次函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，相似三角形的判定和性质等初中数学的主干知识融为一体。蕴含着数形结合思想、化归的思想、方程与函数的思想、运动变化等数学思想。

【解题思路】（1）根据对称轴公式求出x??b，求出即可。 2a（2）用待定系数法设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可。 （3）由抛物线的解析式y??x2?可证明。

【答案】解：（1）由y??x2?143x?4可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即2143b。 x，得x???3，∴D（3，0）

22a143x?k， 2（2）如图1，设平移后的抛物线的解析式为y??x2?则C（0，k），OC=k， 令y=0，即?x2?143x?k?0， 2法一：得x1?3?4k?9 , x2?3?4k?9。 ∴A3?4k?9 , 0 ，B3?4k?9 , 0 ， ∴AB2??????4k?9?3?3?4k?9 2?16k?36，

?AC2?BC2?k2?3?4k?9 +k2?3?4k?9 ??2??2?2k2?8k?36。

∵AC2+BC2=AB2，即：16k?36?k2?8k?36，得k1=4，k2=0（舍去）， ∴抛物线的解析式为y??x2?143x?4。 222法二：可证?AOC??COB，得OC?OA?OB，即k?16,?k?4

（3）如图2，由抛物线的解析式y??x2?143x?4可得， 225??A（﹣2，0），B（8，0），C（4，0），D（3，0），M?3 , ? ，

4??过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，

则MH=3，

?25?625∴DM????，

416??22?25?225。 CM?MH?CH?3???4??416??22222在Rt△COD中，CD?32?42?5?AD， ∴点C在⊙D上。

?25?625∵DM????， DM2?CD2?CM2，

16?4?22∴DM2=CM2+CD2。∴△CDM是直角三角形。∴CD⊥CM。 法二：可证?COD??MHC，得CD⊥CM。 ∴直线CM与⊙D相切。

变式题2（2011湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上)，抛物线y?经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1. （1）求B点坐标；

（2）求证：ME是⊙P的切线；

（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ

＝t，S△ACQ＝s，直接写出．．．．s与t之间的函数关系式.

12x?bx?c4图甲

图乙（备用图）

(二)几何型综合题：

这类题型是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点(或动线段)运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前，不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，

探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等；⑥直线与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程)，变形写成y＝f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f(x)的形式)等。

找等量关系的途径主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等??求定义域主要是寻找图形的特殊位置 (极限位置)和根据解析式求解。

而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

例3（2011四川宜宾）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）

AD

8y8xOy8Oy8OyP OB4A12164 C

81216Bx8C16x4D16x【答案】B。

【分析】该题主要考察动点问题的函数图象。

【解题思路】当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点p在DC山运动时，y随着x的增大而增大；当点p在CB上运动时，y不变；当点P在CA上运动时，y随x的增大而减小。故选B。

变式题3（2011安徽）如图2，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个

动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设则

关于的函数图象大致形状是（ ）

，，，△AMN的面积为，

例4（2011湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B。

（1）求点B的坐标；

（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

【分析】本题通过“点动”带来“形动”，把观察、操作、

探究、计算融为定值； 梯形？若存

合在一起，巧妙将等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定等初中数学的主干知识综合在一起。蕴含着数形结合思想、化归的思想、分类讨论思想、运动变化等数学思想。

【解题思路】（1）根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C，根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标。 （2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB总成立，得出当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。

（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。 【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A(0,2)，△AOB为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°，

1）∴BC=3，OC=AC=1。即B（3 ，。

（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，

∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，

在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。 ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。

∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。 （3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上， ∴AO与BQ不平行。

①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方， 此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形， 当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。 又OB=OA=2，可求得BQ=3。

由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=3，

∴此时P的坐标为（?3， 0）。

②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方， 此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形， 当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。 又AB= 2，可求得BQ=23，

由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=23，

∴此时P的坐标为（23， 0）。

综上所述，P的坐标为（?3， 0）或（23， 0）。

变式题4（2011江苏泰州）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a

为大于0的

常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。 （1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； （3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。

近几年的中考数学综合题都重视知识间的联系与整合，在知识交汇处，设置多层次的开放性、观察操作、阅读理解、合理猜想、推理探究，考查数学思考和解决问题的能力。这启示我们在进行综合思维的时候要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，方程函数是工具，计算推理得严谨，创新品质得提高。 附变式题答案： 1. 【答案】B

2. 【答案】解：（1）如图，连接PE、PB，设PC＝n， ∵正方形CDEF面积为1，∴CD＝CF＝1。 根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n， ∴BC＝2PC＝2n。 而PB＝PE，

PB2=BC2+PC2?4n2?n2?5n2，

PE2=PF2+EF2??n?1??1，

∴(n?1)?1?5n。 解得n?1 (n??2221舍去) 。 2∴BC＝OC＝2。 ∴B点坐标为(2,2)。 （2）如图，由（1）知A(0,2)，C(2,0)，

∵A，C在抛物线上，∴y?∴抛物线的解析式为y?123x?bx?2，∴b??。 4212311x?x?2，即y?(x?3)2?。 424411FG＝。 22∴抛物线的对称轴为x?3即EF所在直线。 ∵C与G关于直线x?3对称，∴CF＝FG＝1、∴FM＝在Rt△PEF与Rt△EMF中，

EF1PFEFPF，∴△PEF∽△EMF 。 ?2，?1:?2， ∴?FM2EFFMEF∴∠EPF＝∠FEM，∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°。 ∴ME与⊙P相切。

（3）①如图，延长AB交抛物线于A′，连接CA′交对称轴x?3于Q，连接AQ， 则有AQ＝A′Q，△ACQ周长的最小值为（AC+ A′C）的长。 ∵A与A′关于直线x?3对称，∴A(0,2)，A′(6,2)。

22∴A′C＝(6?2)?2?25。

而AC=22?22?22 ，

∴△ACQ周长的最小值为22?25。 ②当Q点在F点上方时，s?t?1； 当Q点在线段FN上时，s?1?t； 当Q点在N点下方时，s?t?1。 （当Q点在F点上方时，如上图， s=SAOFQ－S△AOC－S△QCF =111（t+2）×3－×2×2－×1×t=t＋1； 222当Q点在线段FN上时，如右图， s=S△AHQ－S△AOC－SOCQH =111（t+2）×3－×2×2－×（2＋3）×t=1－t； 222当Q点在N点下方时，如右图， s=S△AQI－SAIFC－S△CFQ =111（t+2）×3－×（1＋3）×2－×1×t=t－1。） 2223. 【答案】C。

4. 【答案】解：（1）当∠BAO＝45°时，四边形OAPB为正方形。 ∴OA＝OB＝a·cos45°=222。 a。∴P点坐标为（a，a）

222（2）作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,

设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n）， ∵∠BAO＋∠DAE＝∠BAO＋∠ABO＝90°， ∴∠DAE＝∠ABO。 在△AOB和△DEA中，

?9?0??AOB??DEA? ??ABO??DAE ， ?AB?A D? ∴△AOB≌和△DEA（AAS）。 ∴AE＝0B＝n，DE＝OA＝m。 ∴D点坐标为（m＋n，m）。

∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0，n） ∴P点坐标为（

m?nm?nm?n,）。∴PF=OF= 。 ∴∠POF=45°。 222 ∴OP平分∠AOB。

即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。 （3）当A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为 α。

2a·cos α。 2221∵0°≤α＜45° ∴＜cos α≤1 ∴a＜h≤a

222

则0°≤α＜45° ， h＝PF＝PA·cos α＝

即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。 （3）当A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为 α。

2a·cos α。 2221∵0°≤α＜45° ∴＜cos α≤1 ∴a＜h≤a

222

则0°≤α＜45° ， h＝PF＝PA·cos α＝

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