浙教版数学七年级上期末复习讲义

七年级上

第一章 从自然数到有理数

知识点：

1.自然数：注意（1）0是最小的自然数，它表示没有，不要遗漏。（2）表示不同作用的数有不同的性质，表示计数和测量的数可以进行数的运算，而表示标号或排序的数有时有指代作用，即对事物起区别作用，一般不能进行计算，这也是区别数的表示作用的重要性。剖析用于计数和测量的数往往与量词相连，而用于标号和排序的数往往与顺序有关，在阅读是应特别注意体会这一点。

例：世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，这座设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第一座跨海大桥，计划在5年后建成通车。 你在这段文字中看到了哪些数？它们都属于哪一类数？

?属于计数如8万辆、5年后、6车道

?表示测量结果如全长36千米

?表示标号和排序如2003年6月8日、第一座等

下列语句中用到的数，哪些属于计数？哪些表示测量结果？哪些属于标号和排序？

（1）2002年全国共有高等学校2003所。 （标号和排序 计数）

（2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津，然后乘15路公交车到了小明家。（标号和排序 标号和排序）

（3）香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地上70层，至1993年为止是世界上第5高楼。 （测量结果，计数，标号和排序，标号和排序）

一、有理数的概念：1）正整数、零和负整数统称为整数；

2）正分数、负分数统称为分数；

3）整数和分数统称为有理数。（0既不是正数，也不是负数）

随堂测试一：

1、把下列各数分别填在表示它所属的括号里： -5.3 ,+31 ,43 ,0 , -7 ,13

12 ,2005 , -1.39. (1)正有理数：{ ……}

(2)负有理数：{ ……}

(3)整数：{ ……}

(4)分数：{ ……}

（5）非负有理数：{ ……}

2、请你任意写出一个自然数 ；一个负分数 ．

二、1、数轴的概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

2、相反数的概念：若两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也

称这两个数互为相反数。 注意：零的相反数是零。

3、在数轴上，表示为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 （例如：-100和100的点分别位于远点的左侧和右侧，到原点的距离都是100个长度单位。）

随堂测试二：

1、点A ，B ，C ，D ，E 在数轴上的位置如图所示，请你把各点所表示的数填入相应的括号内．

A 、（ ）

B 、（ ）

C 、（ ）

D 、（ ）

E 、（ ）

2、画一条数轴，在数轴上表示—2，3，-4.5以及它们的相反数。

3、如果一个数与它的相反数相等，那么这个数是 。

4、数轴上表示一个数的点在“-2.5”的右边，并且距离“-2.5”4个单位长度，求这个数。

三、1、绝对值的概念：我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 （例如：数轴上表示-5的点到原点的距离是5，所以-5的绝对值是5。记作丨-5丨=5 。）

2、一般地，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零；

互为相反数的两个数的绝对值相等。

随堂测试三：

1、如果说一个数与它的绝对值相等，那么这个数是 ．

2、任何数的绝对值都是（ ）

A 正数

B 负数

C 非负数

D 非正数

3、绝对值小于2的整数有________。绝对值不大于3的负整数有__________。

4、、大于3.142的负整数有 个；小于2.9的正整数有 个；大于－9.5的负整数有 个.

5、(1)若︱a ︱＝3,则a ＝_____

（2）某同学学习编程以后，编了一个关于绝对值的程序，当输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的绝对值小1，某同学输入-7后，把输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是多少？

6、计算：（1）58++- （2）74149-- （3）621+?- （4）2

135101-÷-?-

1,A B C D a a a =（3）若则为( ) 是正数或负数 是正数 是任意有理数 是正整数

四、一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

例题：1.在数轴上表示下列各对数，并比较它们的大小:

（1）2和7； （2）-6和-1； （3）-6和-36； （4）-0.5和-1.5

2.求上述各对数的绝对值，比比较大小，问上面各对数的大小与它们的绝对值的大小有什么关系？

结论：两个正数比较大小，绝对值达的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

随堂测试四：

1、比较下列各组数的大小：

（1）-4与+3 （2）0与-2.4 （3）-0.3与-

31 （4）43-与3

2

2、在数轴上,表示―5，，―312，0，0.125，―(351)，355113113355，6

5-的点中，在原点右边的点有（ ） (A) 4个； (B)3个； (C)2个； (D)1个

3、大于-3.5且小于2的整数是 。

4、画一条数轴，在数轴上表示1，-2.5，-4以及它们的相反数，并比较这些数的大小，按从小到大的顺序用“<”

边接起来．

第一单元检测练习

一、精心选一选

1. 如果高出海平面20米，记作+20米，那么-30米表示 ( )

(A)不足30米; (B)低于海平面30米; (C)高出海平面30米; (D)低于海平面20米

2.仔细思考以下各对量：

①胜二局与负三局； ②气温上升30 C 与气温下降30 C ； ③盈利5万元与支出5万元；

④增加10%与减少20%。其中具有相反意义的量有 ( )

﹙A)1 对 ﹙B ﹚2 对 (C)3 对 (D)4对

3.下列说法错误的是 （ ）

（A ）整数和分数统称有理数； （B ）正分数和负分数统称分数；

（C ）正数和负数统称有理数； （D ）正整数、负整数和零统称整数。

4.零是：A.最小的有理数 B.最小的正整数 C.最小的自然数 D.最小的整数 （ ）

5.下列数轴的画法中，正确的是 （ ）

A -1

B

C D

6.下列各对数中，互为相反数的是 （ ）

（A ）21-和0.2 （B ）32和23 （C ）—1.75和4

31 （D ）2-和2 7.大于—2.6而小于3的整数共有 （ ）

A. 7个

B. 5个

C. 6个

D. 4个

8.下列说法正确的是

A.若两数的绝对值相等，则这两数必相等

B.若两数不相等，则这两数的绝对值一定不相等

C.若两数相等，则这两数的绝对值相等

D.两数比较大小，绝对值大的数大

9.冬季三个城市的最高气温分别是-10°C ，1°C ，-7°C ，把它们从高到低排列是（ ）

A 、-10°C ， -7°C ，1°C

B 、-7°

C ， -10°C ，1°C

C 、1°C ， -7°C ， -10°C

D 、1°C ，-10°C ，-7°C

10.一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是 （ ）

（A ）—1 （B ）1 （C ）0 （D ）±1

11.数轴上到数—2所表示的点的距离为4的点所表示的数是 （ ）

（A ）—6 （B ）6 （C ）2 （D ）—6或2

12.一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是 （ ）

（A ）0 （B ）正数 （C ）非正数 （D ）非负数

二、细心填一填

13.若上升15米记作+15米，则－8米表示 ______

14.写出一个负分数： 。

15.一艘潜艇正在水下–50米处执行任务，距它正上方30米处有一条鲨鱼正好游过，这条鲨鱼所处位置的高度为________.

16.规定了__________、____________、_____________的直线叫数轴.

17.用“<”号或“>”号填空： －9 －11。

18.抽查四个零件的长度，超过为正，不足为负：（1）－0.3；（2）－0.2；（3）0.4；（4）0.05．则其中误差最大 的是 。（填序号）

19.一个点从数轴上的原点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动8个单位长度到达P 点，那么P 点所表示的数是_________.

20. 比—2.99小的最大整数是__________

21.绝对值大于3而不大于6的整数分别是 ________________________ 。

22.在数轴上,绝对值小于3并且离—2两个单位长度的点所表示的数是_____________.

三、认真做一做 23.12325.0-?++- 24. 2135101-÷-?-

25.把下列各数的序号填在相应的数集内：

①1 ②-35 ③+3.2 ④0 ⑤13 ? ⑥-5 ⑦+108 ⑧-6.5 ⑨-647

. （1）正整数集{ …}

（2）正分数集{ …}

（3）负分数集{ …}

（4）有理数集{ …}

26．将下列各数在数轴上表示出来．

－4.5， 5， 0， －3， 211

， －1。

27.出租车司机小李某天下午营运全是在东西向的人民大道上进行的．?如果规定向东为正，他这天下午行车里程

（单位：千米）如下：

+15， -2， +5， -1， +10， -3， -2， +12， +4， -5， +6．

（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李一共行了多少千米？

（2）若汽车耗油量为0．2升/千米，这天下午小李共耗油多少升？

努力试一试

1.式子5－1-x 能取得的最大值是 ，这时x = 。

2.观察下面一列数，探求其规律： 111111,,,,,,23456

---

(1)请问第7个，第8个，第9个数分别是 ， ， ，

(2)第2012个数是 ？如果这列数无限排列下去，与哪个数 越来越接近？

3. 如图，图中数轴的单位长度为1。请回答下列问题：

①如果点A 、B 表示的数是互为相反数，那么点C 表示的数是____________.

②如果点E 、B 表示的数是互为相反数，那么点D 表示的数是___________，图中表示的5个点中，点________表示的数的绝对值最小，是___________.

第二章 有理数的运算

1．用正负数表示相反意义的量

2．正数和负数

像+

2

1，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-43等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。

+15表示加15分，那么扣20分表示 。

30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。

1）收入—2000元，表示 。

（2）如果下降8米记为—8米，那么上升15米记为 。

3．有理数

（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

分数：正分数和负分数统称为分数。

有理数：整数和分数统称为有理数。

（2）有理数分类

1）按有理数的定义分类 2）按正负分类

正整数 正整数

整数 0 正有理数

有理数 负整数 有理数 正分数

正分数 0 负整数

分数 负有理数

负分数 负分数

把%10,43,031.0,210,7,5

42,1312,9.6,0,3.6,5,21-----+- 填在相应的括号内。 正有理数集合：{

}??? 整数集合： {}??? 非负数集合： {

}??? 负分数集合：{}???

19,94,172,89,01.0,43.7,234,

444.2---

7

6%,5,260,2001,0,120.1,100020,- ,31 -?-??，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。

：下列说法正确的是 。

（1）一个数，如果不是正数，必定就是负数 （2）正有理数是正整数和正分数的统称。

（3）一个有理数不是分数就是正数。 （4）整数不是奇数就是偶数。 （5）0是最小的有理数。

（ ）

A 3.1415926 不是分数

B 正整数和负整数统称为整数。

奇数是正数 D 有理数包括整数和分数

( )

A —0.6是分数

B 0不是正数也不是负数

C 0是自然数，不是整数

D 没有最小的有理数

（1）3，—3，3，—3，3，—3， ， ，……

（2）,7

1,51

,31,1-- ， ， ，…… 第199个数分别是 。

1）1，—3,5，—7,9，—11， ， ，……

（2）,54,43,32,21,1-- ， ，……

第100个数分别是 。

4．数轴

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

0,213,5.1,3,2--

A,B,C,D,E 各点表示的数

（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．

4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。

（1）若数轴上的点A 向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A 点对应的数是 。

（2）数轴上与原点距离小于4个单位长度的整数点有 个，分别是 。

（3）在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是 。

下列结论正确的有（ ）个：

① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 ② 最小的整数是0

③ 正数，负数和零统称有理数 ④ 数轴上的点都表示有理数

A.0

B.1

C.2

D.3

（3）在数轴上比较有理数的大小

1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0， －３

14， 112， －３，－1.25并把它们用“＜”连接起来。

（1）下列说法错误的是（ ）

A.没有最大的正数，却有最大的负数

B.数轴上离原点越远，表示数越大

C.0大于一切非负数

D.在原点左边离原点越远，数就越小

（2）写出两个比—2大的负有理数 。

根据有理数a,b,c 在数轴上的位置，比较a,b,c,0的大小。

5．相反数

（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （代数意义）

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）

（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。

（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

7的相反是 。

（1）312-的相反数是 。

（2）下列说法正确的是( )

A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。

B 符号相反的两个数互为相反数。

C 互为相反数的两个数可能相等。

D 一个数的相反数不可能大于它本身。 写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出来。

4,0,2

12,5.0,3-- （5）相反数的求法：数a 的相反数是—a 。

1）0.1与a 互为相反数，那么a= 。 （2

）a-1的相反数是 。

（1）若-x 的相反数是-7.5，则x= 。

（2）如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是-2，那么m+n= 。

a-1的相反数是-2，则a= 。 （6）多重符号化简

多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－

”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。

（-3.5）= -（+8）

=

（+5）的相反数是 。

32-的相反数与a 的相反数相等，则a= 。 （

）=-3 -（ ）=5.2

6．绝对值

（1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。

（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． ??

???<-=>=0,0,00,a a a a a a |-8|=

数轴上表示-2.5的点到原点的距离 。

1）若|a|=2，则a= 。

（2）|-2

13|的相反数是 。 （

3）到原点5个单位长度的点是 。

4）若|m|=-m,则m 是 。若|m|=m,则m 是 。

2,2.4

,0.51-- （3）绝对值的主要性质

一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．

（4）两个相反数的绝对值相等．

|x+2|=0,则x=

（1）若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= .

（2）若|a|=4,|b|=3,且a

试求 a 、b 的值。

（3）下列说法正确的是

① 任何一个有理数的绝对值一定是大于0的。 ②一个有理数的绝对值不小于它自身。 ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。 ④绝对值等于本身的数是非负数。 ⑤绝对值最小的有理数不存在。 ⑥任何数的绝对值都不小于原数。

（4）|x+5|的最小值是 。

（1）写出绝对值不大于3的所有整数 （2） 若|x|=|-4|，则

x= . (5)有理数大小比较原则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 两个负数，绝对值大的反而小.。

1）比较大小0 -0.001 -5 -|-4|

（

2）因为|-

32-，所以，31- 32-

（1）实数a,b 在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b 的大小关系。

（2）比较大小 ①8

7-和98- ②-|-3|和31- （3）大于-3且不大于5的整数有 个，其中奇数有 个。

（1）将有理数0，-3.14, 2.7， -4， 0.15 按从小到大的顺序排列起来，并用“>”连接。

（2）若x

7．有理数的加法

(1)有理数加法法则

1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3）互为相反数的两个数相加得零。

）一个数与0相加，仍得这个数。

（-4）+（-7）= =+-83)32

( -9.5+0= =+

??

? ??-251854 （1）下列说法正确的是

①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。 ②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。 ③两个有理数的和可能为0。 ④两个有理数的和可能等于其中一个加数。 ⑤若a 与-2互为相反数，则a+(-2)=0。

（2）如果|x|=2,|y|=3, 则①x,y 同号，x+y= ②x,y 异号，x+y=

（1）计算

（+6.5）+（-4.1）= （-2.1）+（-3.9）=

m+0= m+（-m ）=

（2）用算式表示：

①温度-10C o 上升了3C o

达到

②0.25的相反数与-0.75的绝对值的和。

③绝对值不大于-4.3的所有整数的和。

（2）有理数加法的运算律

加法交换律：a ＋

b ＝b ＋a

(a+b)+c=a+(b+c)

（1） 计算 31)32(987)1.10()4

1(211.475

.18)25.3(25.6)75.18()

18(17)12(13+-+-+-+-+++-++--++-+

(2)

某校购回面粉10袋，每袋50千克，入库时又重新称量，结果如下，（超过的千克数记为正数，不足的千克数 记为负数）。+0.8，-0.5，+1.1,0,-0.3,+0.4,-1.2,-0.7,+0.6。

问：①该校共买进面粉多少千克？ ②平均每袋面粉重多少？ ③平均每袋面粉比标准量多还是少？

（1）计算：

()()()()()2006

20056543218

175.0125.47512)432(-++???+-++-++-+++-+??? ??+- （2）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：+15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18。①将最后一名乘客从到目的地时，小李距最初的出发点多少千米？②若汽车的耗油量为a 升每千米，那么这天下午小李的车共耗油多

少升？

（1）如果a,b 互为相反数，则a+2a+3a+…+99a+100a+b+2b+…+99b+100b= 。

（2）（-1）+3+（-5）+7+…+95+（-97）+99= 。

8. 有理数的减法

a-b=a+(-b)

(1)计算：3-（-5） （-5）-|-5|

小4的数是 。

（1）室内温度是16C o ，室外温度是-7C o

，室内温度比室外温度高 。

（2）下列说法正确的是 。

①在有理数的减法中，被减数不一定比减数或差大。 ②两个相反数想减得零。

③零减去一个数，仍得这个数。 ④负数减去正数，差为负数。

⑤较小的数减去较大的数，所得的差一定为负。

（3）①A 、B 两点间的距离是多少？

②A 、C 两点间的距离是多少？

③探究两点间的距离与表示这两点的数有什么关系？ （1）计算：

0-（-5）-（-12）-（+9） ??

? ??+-??? ??--??? ??--??? ??--614131210 （2

9．有理数的加减混合运算

（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。

例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。

读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。

（1）把-2-（+3）-(-5)+(-4)+(+3)写成省略括号的形式 。

（2）把-5-3+4-7按“和”的意义读作 。按“运算”意义读作

。

（1）-7，-12，+2的代数和比他们的绝对值的和小 。

（2）已知a= -1,b=2,c= -3,d=4，求

a-b-c+d （3）计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2005+2006-2007-2008

（1）计算： 2004-（2008+|2004-2008|）

（2） 用算式表示

①-6的相反数比10的相反数小2的数的和。

②-0.3的绝对值的相反数与3.5的相反数的差。

10．有理数的乘法

（1）有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。

（1）计算：

()=??? ??-???? ?

?-=???

? ??-=

?=

-?-522186311900020091

（2）如果|a|=2,|b|=3,且ab<0,求3a+2b 的值。

（1）下列说法正确的是 。

①一个数与1的积等于它本身。 ②一个数与-1的积是它的相反数。 ③如果ab=0，则一定有a=b=0。 ④一个有理数和它相反数的积一定为负。⑤积比每个因数都大。

（2）如果|x|=0.99,|y|=0.09,且xy>0，则x+y= 。

（3）在-2,3，-4,5中任取两个数相乘，所得的积最大是

。

2+2=232。其实这样的数有很多，如：()()12

112-?=-+，请再写出三组这样的式子。 （2

）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。

=??? ??-???? ??-???? ?

?-64321191

7 -9）31030=

（1）（10-11）3（11-12）3（12-13）3…3（99-100）=

（2）如果三个数的积为负数，则这几个数中有 个负因数。

（3）乘法运算律

乘法交换律： ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac

（1）（-7）3（-2）+（-12）3（-7）-（-3）3（-7）=

（2）()=-???

? ??-+-361276195

（1）在23（-6）35=-63（235）中运用了（ ）

A 乘法交换律

B 乘法结合律

C 乘法结合律和乘法交换律

D 乘法分配律

（2）用简便方法计算：

①()619

89-? ②()=?-??? ??-?-??? ??-

?-%25.5282175.2041421 ③=?-???-?-?--20

19143132121

（1）若a,b 异号，那么|1-ab|= 。

（2）=??

? ??-?????? ??-??? ??-??? ??-??? ??

-911511411311211 11．有理数的除法

（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 0没有倒数。

求下列各数的倒数。

8，0.5，1,1,83,312-

（1）若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 。

（2）下列说法正确的是 。

①只有1的倒数等于它的本身。 ②－3.5的倒数是3.5。 ③零没有倒数。 ④0.1的倒数是10。 ⑤任何一个有理数a 的倒数都等于a

1。 ⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。 （2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 【注】0不能做除数。 )0(1a ≠?

=÷b b a b （3）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不等于的数，都得零。

（1）计算：（-32）÷（-8）= =??

? ??-÷731321 ()=??? ??-?-÷32327 ??? ??-÷??? ??-÷??? ?

?-211651742 （2）当x= 时，

5

5+x 没有意义。

（1）已知：a,b 互为倒数，c,d 互为相反数，x 的绝对值是2，求()ab d c ab x

d c x 2222+-

++-的值。 （2）当x= 时，33

+-x x 的值为0。

（3）某人到保险公司办理火灾保险，保险金为其房屋价值的3

2，按规定，每元保险金里交付1分5厘（即保险费率为1.5%）已知这人一年应交付保险费184元，问：其房屋的价值是多少元？

1）计算：

??

? ??-+÷??? ??-÷-??? ??-÷-216132********* （2）体育课上，全班男同学进行百米测验，达标成绩为15秒，下面是第一组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒。-0.8.，+1.0，-1.2，-0.7，+0.5，-0.5，+0.1。①这个小组的男生达标率是多少？②这个小组的平均成绩是多少秒？

12．有理数的乘方

（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

=???????a a a a n a

n 个 （2）乘方的结果叫做幂，a

叫做底数，n 叫做指数。

（1）在()4

3-中，指数是 ，底数是 ，幂是 。 在－43中，指数是 ，底数是 ，幂是 。

（2）把下列各式写成幂的形式 （-6）（-6）（-6）（-6）= －

3233233

2=

（1）52- 表示（ ）

A 5个-2相乘

B 5个2相乘的相反数

C 2个-5相乘

D 2个5相乘的相反数 （2）=-322 ，=??? ??-232 ， =??? ??-232

（3）有理数乘方法则：

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。

（1）计算：

()=-=??? ??--=??? ??-=-23

343211324 （2）()

()=-=-+12211n n

（ n 为正整数）

（1）|x+5|+(y-2)2 =0,那么x= ,y= ,=y x

(2)20033的末位数字是 。

（3）一根绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如果剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 。

（4）222120753??的个位数字是 。

（1）若x ，y 为有理数，下列各式成立的是（ ）

()()()()()333344

33x -D y -x B .A x x y C x x x x -=-=-=-=-

(2)拉面师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，在捏合，再拉，反复几次，就把很粗的面条拉成了许多根很细的面条，这样捏合到第 次后拉出128根面条。

13．科学记数法

（1）一般的，10的n 次幂，在1的后面有n 的0。

（2）一个大于0的数就记成n

a 10?的形式。其中,101<≤a n 是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。

10的指数等于原数的整数位数减1。（或等于小数点向右移动的位数。 （1）把下列各数用科学记数法表示

①300000= ②40800000= ③4879.5= ④-369000000=

（2）下面是用科学记数法表示的数，则原来的数是什么？ 545

310000002.5)4(1039.1)3(1009.4)2(101.2)1(

??-??

（1）25.8万用科学记数法表示 。

（2）光的传播速度是300000km/s ，太阳照射到地球上大约需要500s ，则太阳岛地球的距离用科学记数法可表示为 。

14．有理数的混合运算

（

1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。

（3）如果有括号，就先算小括号里的，§再算中括号里的，然后算大括号里的。

计算：①33131)3(???? ??-÷?- ②322143655314??

? ??-+??? ??-?-??? ??-÷-

（1）有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，求20092008a a +的值。

（2）若m,n 互为相反数，则5m+5n-5= 。 3，-5,7，-13这四个数，进行加、减、成、除运算，每个数字用一次，使其结果为24

计算：=++???++++10

111098081807990919089 15．近似数和有效数字

（1）准确数：完全符合实际的数。

（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。

（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。

（1）按要求对下列各题去近似值

①0.005308 （保留三个有效数字） ②0.49996 （精确到0.001）

③120000 （保留2个有效数字） ④41096.92? （保留3个有效数字）

⑤738600000（精确到百万位） ⑥5

10549.13? （精确到百位）

⑦78.98万（精确到万位）

（2）下列各数均为近似数，分别精确到哪一位，有几个有效数字。

①0.0280 ②4.876410? ③550

④0.028 ⑤30万 ⑥48760

(3) 近似数2.30表示的精确度α的范围是（ ）

A 2.295≤α<2.305

B 2.25≤α<2.35

C 2.295<α≤2.305 D2.25<α≤2.35

第三章：实数

本章的知识网络结构：

知识梳理

一．数的开方主要知识点：

【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们

称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此：

当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

2、 ()=2a (0≥a

3、

例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；

（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是

（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？

（6）已知348.754=，若7348.0=x ，则x =

【算术平方根】： ??

???==___

2a

（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，

读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±

。 例2.

（1）下列说法正确的是 （ ）

A ．1的立方根是1±；

B ．24±=；（

C ）、81的平方根是3±； （

D ）、0没有平方根；

（2）下列各式正确的是（ ）

A 、981±=

B 、14.314.3-=-ππ

C 、3927-=-

D 、235=

- （3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A －B 的平方根。

（7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值.

【立方根】

（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读作，3次根号a 。注

意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只

有非负数才能有平方根。

（3）33a = 33)(a =

例3.

（1）64的立方根是

（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）

A. 1000000

B. 1000

C. 10

D. 10000

（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832

±=±。 其中正确的有 （ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

【无理数】

（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理

数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π

（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数（2）

所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3

2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个

A 2

B 3

C 4

D 5

【实数】

（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，

最大的负整数是-1。

（2）实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是

a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=???<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；

正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有

理数的一致。

例5.

（1）下列说法正确的是（ ）；

A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；

B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；

C 、1和2之间的无理数只有2 ；

D 、不带根号的数都是有理数。

（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A 、b a -

B 、ab

C 、b a +

D 、a b -

（3）比较大小(填“>”或“<”).

- 76______67，

215- 21， （4）数 2,3-- 的大小关系是 ( )

A. 32<-<-

B. 32-<<-

C. 23-<-

D. 32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。

（6）若2,3==b a ，且

0

（7）计算： 32278115.041--+ 323811613125.0??

? ??-+-

（8）已知：()()064.01,121732-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。

(9)（提高题）观察下列等式：回答问题：

①2111111112111122=+-+=++

②6111212113121122=+-+=++

③12111313114

131122=+-+=++，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想2251411++

的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式。

课后练习:重点考查题型：

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