四川省成都市高中数学 第二章第10课时 圆锥曲线的综合应用同步测

第10课时 圆锥曲线的综合应用

基础达标(水平一 )

1.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x+=1的离心率是( ).

2

A. B. C.或 D.或

【解析】因为m=±4,当m=4时,离心率为【答案】D

2.下列说法中不正确的是( ).

,当m=-4时,离心率为,故选D.

A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值部分

,则动点P的轨迹为双曲线的一

B.设m,n∈R,常数a>0,定义运算“*”:m*n=(m+n)-(m-n),若x≥0,则动点P(x,

22

)的轨迹是抛

物线的一部分

2222

C.已知圆A:(x+1)+y=1,圆B:(x-1)+y=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆

D.已知点A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线

【解析】A选项中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分;B选项中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分;C选项中符合椭圆定义是正确的;D选项中应为双曲线一支.故选D.

【答案】D

3.已知A是双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是△PF1F2的重心,若

=λ,则双曲线的离心率为( ).

A.2 B.3

C.4 D.与λ的取值有关

【解析】因为=λ,所以∥,所以==,即=,所以

e==3,故选B.

【答案】B

4.已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y=-4x的焦点重合,则此椭圆的方程为( ).

2

A.

+=1 B.+=1

1

C.+y2=1 D.+y2=1

【解析】∵抛物线的焦点为(-1,0),∴c=1.

又椭圆的离心率e=,∴a=2,b=a-c=3,

222

∴椭圆的方程为

【答案】A

+=1,故选A.

5.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y=2bx的焦点分成5∶3两段,则此双曲线的离心率为 .

2

【解析】因为抛物线的焦点坐标为,由题意知=,解得c=2b,所以c=4b=4(c-a),

2222

即4a=3c,所以2a=22

c,故e==.

【答案】

6.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角θ

满足cos θ=-,则E的离心率为 .

【解析】设点M在第一象限,△ABM是等腰三角形,则有AB=BM,由cos θ=-得sin θ=,所

以M点坐标为,即,代入双曲线方程有-=1,b2=2a2,又因为

b2=c2-a2,所以c2-a2=2a2,

【答案】

=3,e==.

7.已知动直线l的倾斜角为45°,若l与抛物线y=2px(p>0)交于A,B两点,且A,B两点纵坐标之和为2. (1)求抛物线方程;

(2)若直线l'与l平行,且l'过原点关于抛物线的准线与x轴的交点的对称点,M为抛物线上一动点,求动点M到直线l'的最小距离.

【解析】(1)设直线l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=y-b代入y2=2px,得y2-2py+2pb=0.

2

2

由题意知y1+y2=2p=2,得p=1.

2

故抛物线方程为y=2x.

(2)抛物线y=2x的准线与x轴的交点为

2

,则l'过点(-1,0),所以l'的方程为y=x+1,

故点M(x,y)到直线l'的距离d=因为点M(x,y)在抛物线y=2x上,

2

.

所以d===.

故当y=1时,d的最小距离为.

拓展提升(水平二)

8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则( ).

·的最大值为

A. B.6 C.8 D.12

·

【解析】设点P(x,y),则=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2,

因为点P在椭圆上,所以+=1,

所以x+x+2

=x2+x+3=(x+2)+2,又-2≤x≤2,

2

所以当x=2时,即

·

(x+2)+2取得最大值为6, 的最大值为6,故选B.

2

【答案】B

9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,虚轴的一个端点与抛物线x=2py(p>0)的焦点重合,直线

2

y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p的值为( ).

A.4 B.3 C.2 D.1

3

【解析】抛物线x=2py的焦点为

2

,所以可得b=,因为2a=4?a=2,所以双曲线

方程为-.

=1,可求得其渐近线方程为y=±x,不妨设y=kx-1与y=x平行,则有

k=联立方程【答案】A

得x-2

x+2p=0,所以Δ=-8p=0,解得p=±4,又p>0,故p=4.

10.已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足

2

+=-,则

++=.

【解析】设A,B,C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).

∵+=-,∴△ABC的重心是F.

又∵抛物线y=2px的焦点F的坐标为

2

,

∴y1+y2+y3=0.

又∵点A,B在抛物线上,∴=2px1,=2px2,两式相减,得-=2p(x1-x2),

∴kAB=,同理kBC=,kCA=,

∴++=++==0.

【答案】0

11.已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C2:-y=1的顶点,直线x+两点,且点A的坐标为(-,1),点P是椭圆C1上异于A,B的任意一点,点Q满足

·

2

y=0与椭圆C1交于A,B=0,

·

=0,且

A,B,Q三点不共线. (1)求椭圆C1的方程; (2)求点Q的轨迹方程;

(3)求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.

【解析】(1)∵双曲线C2:-y2=1的顶点为F1(-,0),F2(

,0).

,0),F2(,0),

∴椭圆C1两焦点分别为F1(-

4

设椭圆C1方程为+=1(a>b>0),

∵椭圆C1过点A(-,1),

∴+=1. ①

∵a2=b2+2, ②

由①②解得a2=4,b2=2.

∴椭圆C1的方程为+=1.

(2)设点Q(x,y),点P(x1,y1), 由点A(-,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(

,-1),

∴=(x+,y-1),=(x1+,y1-1), =(x-,y+1),

=(x1-,y1+1).

由·=0,得(x+)(x1+)+(y-1)(y1-1)=0,

即(x+)(x1+)=-(y-1)(y1-1). ①

同理,由

·

=0,得(x-)(x1-)=-(y+1)(y1+1). ②

①×②得(x2-2)(-2)=(y2-1)(

-1). ③

由于点P在椭圆C1上,则+=1,得=4-2,

代入③式得-2(-1)(

-2)=(y2-1)(

-1).

当-1≠0时,有2x2+y2=5; 当-1=0,则点P(-,-1)或P(

,1),此时点Q对应的坐标分别为(

-,-1),

其坐标也满足方程2x2+y2

=5. 当点P与点A重合时,即点P(-,1),由②得y=x-3,

解方程组

得点Q的坐标为(,-1)或.

,1)或

5

(

同理,当点P与点B重合时,可得点Q的坐标为(-,1)或.

∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5,除去四个点(,-1),,(-,1),.

(3)由于|AB|==2,

故当点Q到直线AB的距离最大时,△ABQ的面积最大. 设与直线AB平行的直线为x+y+m=0,

由消去x,得5y2

+4

my+2m2-5=0,

由Δ=32m2-20(2m2

-5)=0,解得m=±.

若m=,则y=-2,x=-;

若m=-,则y=2,x=.

故当点Q的坐标为或时,△ABQ的面积最大,其最大值为

S=|AB|·=.

6

同理,当点P与点B重合时,可得点Q的坐标为(-,1)或.

∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5,除去四个点(,-1),,(-,1),.

(3)由于|AB|==2,

故当点Q到直线AB的距离最大时,△ABQ的面积最大. 设与直线AB平行的直线为x+y+m=0,

由消去x,得5y2

+4

my+2m2-5=0,

由Δ=32m2-20(2m2

-5)=0,解得m=±.

若m=,则y=-2,x=-;

若m=-,则y=2,x=.

故当点Q的坐标为或时,△ABQ的面积最大,其最大值为

S=|AB|·=.

6

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