全国各地2008年数学高考真题及答案-(辽宁.文)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（供文科考生使用）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) S =4πR 2

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径

P(A ·B)=P(A) ·P(B) 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V=43πR 3

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

P n (k )=C k

n P k (1-p )n-k (k =0,1,2,…,n )

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)已知集合M =｛x |-3＜x ＜1|,N={x |x ≤-3},则M =?N

(A)? (B) {x|x ≥-3} (C){x|x ≥1}

(D){x |x ＜1|

(2)若函数y=(x +1)(x-a )为偶函数，则a =

(A)-2 (B) -2 (C)1

(D)2 (3)圆x 2+y 2=1与直线y=kx +2没有公共点的充要条件是 (A)2,2(-∈k )

(B) 3,3(-∈k ) (C)k ),2()2,(+∞?--∞∈

(D) k ),3()3,(+∞?--∞∈ (4)已知0＜a ＜1,x =log a 2log a 3,y =

,5log 21a z =loga 3,则 (A)x ＞y ＞z (B)z ＞y ＞x (C)y ＞x ＞z (D)z ＞x ＞y

(5)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1,-2),C (3,1),且2=,则顶点D 的坐标为 (A)(2,27) (B)(2,－21) (C)(3,2) (D)(1,3)

(6)设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为

??

????4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 (A)??????--21,1 (B)[-1,0] (C)[0,1] (D)??

????1,21 (7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 (A)31 (B)21 (C)32 (D)4

3 (8)将函数y=2x +1的图象按向量a 平移得到函数y =2x +1的图象，则

(A)a =(-1,-1) (B)a =(1,-1)

(C)a =(1,1) (D)a=(-1,1)

(9)已知变量x 、y 满足约束条件??

???≥+-≤--≤-+,01,013,01x y x y x y 则z ＝2x+y 的最大值为

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）函数23()x y e x +=-∞+∞ 的反函数是 .

（14

）在体积为的球的表面上有A 、B 、C 三点，AB =1,BC

A 、C 两点的球

面距离为

3π，则球心到平面ABC 的距离为 . （15）3621(1)()x x x ++

展开式中的常数项为 . （16）设(0,)2x π∈，则函数22sin 1sin 2x y x

+=的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在△ABC 中，内角A ，B ,C ，对边的边长分别是a ,b ,c .已知2,3c C π==

. （Ⅰ）若△ABC

a ,

b ;

（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积.

（18）（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求

（i ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;

（ii ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.

（19）（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD -A

′B ′C ′D ′中，AP =BQ =b （0＜b ＜1），截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.

（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直;

（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值;

（Ⅲ）若12

b =，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值. （20）（本小题满分12分）

已知数列{a n },{b n }是各项均为正数的等比数列，设(N*)n n n b c n a =

∈. （Ⅰ）数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论;

（Ⅱ）设数列{tna n },{lnb n }的前n 项和分别为S n ,T n .若12,

,21n n S n a T n ==+求数列{c n }的前n 项和.

(21)（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .

(Ⅰ)写出C 的方程；

(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点.k 为何值时?OB OA ⊥此时||的值是多少？

(22)（本小题满分14分）

设函数f (x )=ax 3+bx 2－3a 2x +1(a 、b ∈R )在x =x 1，x =x2处取得极值，且|x 1－x 2|=2.

(Ⅰ)若a =1，求b 的值，并求f (x )的单调区间；

(Ⅱ)若a ＞0，求b 的取值范围.

2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供文科考生使用）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么

球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+

2

4πS R =

如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B =

球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3

V R =

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()(1)

(012)k k n k

n n P k C P p k n -=-= ，，，，

其中R 表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}31M x x =-<<，{}

3N x x =-≤，则M N = （ D ） A ．? B ．{}

3x x -≥

C ．{}

1x x ≥

D ．{}

1x x <

答案：D

解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题意{}

31,M x x =-<<

{}3N x x =-…，∴{|1}M N x x ?=<.

2．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ C ） A ．2- B ．1-

C ．1

D ．2

答案：C

解析：本小题主要考查函数的奇偶性。(1)2(1),f a =-(1)0(1),f f -== 1.a ∴= 3．圆2

2

1x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ B ）

A ．(k ∈

B ． (k ∈

C ．()k ∈-+

D ．()k ∈-+

答案：B

解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆221x y +=与直线

2y kx =+

没有公共点1d ?=

>?

(k ∈ 4．已知01a <<

，log log a

a x =1log 52a y =

，log log a a z =则（ C ） A ．x y z >>

B ．z y x >>

C ．y x z >>

D ．z x y >> 答案：C

解析：本小题主要考查对数的运算。log a

x =

log a y

=log a z =

由01a <<知其为减函数, y x z ∴>> 5．已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，

，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD = ， 则顶点D 的坐标为（ A ）

A ．722?? ???，

B ．122??- ???，

C ．(32)，

D ．(1

3)， 答案：A 解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。(4,3),BC = (,2),AD x y =-

且2BC AD = ，22472432

x x y y =?=??∴???-==??? 6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线 倾斜角的取值范围为04π??

????

，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ） A ．112??--????， B ．[]10-， C ．[]01， D ．112??

????

， 答案：A

解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点P 的横坐标

为0x , 且0'22tan y x α=+=（α为点P 处切线的倾斜角），又∵[0,

]4πα∈， ∴00221x ≤+≤，∴01[1,].2x ∈--

7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张， 则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）

A ．13

B ．12

C ．23

D ．34

答案：C

解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和

为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之 和为奇数的概率11222342.63

C C P C ?=== 8．将函数21x y =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（ A ）

A ．(1

1)=--，a B ．(11)=-，a C ．(11)=，a D ．(11)

=-，a 答案：A 解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数21x y =+

的图象得到函数12x y +=的图象，需将函数21x y =+的图象向左平移1个

单位，向下平移1个单位；故(11).=--

，a 9．已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-??--??-+?

≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ B ）

A ．4

B ．2

C ．1

D ．4-

答案：B

解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为

(01),，(10),，(12),--，验证知在点

(10)，时取得最大值2. 10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中

安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序 只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ B ）

A ．24种

B ．36种

C ．48种

D ．72种

答案：B

解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙

来完成，故完成方案共有2412A =种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由

甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有12A ?2424A =种；∴则不同的安排方案共有

21242436A A A +?=种。

11．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为

15， 则m =（ D ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：D 解析：本小题主要考查双曲线的知识。2221191(0),,3y m x m a b m

-=>?==取 顶点1(0,)3,一条渐近线为30,mx y -

=21|3|1925 4.5m m -?=?+=∴= 12．在正方体1111ABCD A BC D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点， 则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ D ）

A ．不存在

B ．有且只有两条

C ．有且只有三条

D ．有无数条 答案：D

解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生

的空间想象能力。在EF 上任意取一点M,直线11A D 与M

确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N, 当

M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的

交点N,而直线MN 与这3条异面直线都有交点的.如右图：

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．函数21()x y e

x +=-<<+∞∞的反函数是 ． 答案：1(ln 1)(0)2

y x x =-> 解析：本小题主要考查反函数问题。21121ln (ln 1),2x y e

x y x y +=?+=?=- 所以反函数是1(ln 1)(0).2

y x x =-> 14

．在体积为的球的表面上有A 、B ，C 三点，AB =1，BC

A ，C 两点的

，则球心到平面ABC 的距离为_________． 答案：32

解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R ,则

343

V R π==,

∴R 设A 、C 两点对球心张角为θ，则

AC R θ===,∴3πθ=,

∴AC ,∴AC 为ABC 所在平

面的小圆的直径，∴90ABC ∠=

,设ABC 所在平面的小圆圆心为'O ，

则球心到平面ABC 的距离为'd OO =3.2=

== 15．63

21(1)x x x ??++ ???展开式中的常数项为 ． 答案：35 解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查621x x ??+ ??

?的通项公式, 66316621(),r r r r r r T C x C x x

--+==所以展开式中的常数项共有两种来源: ①630,2,r r -=?=2615;C =②633,3,r r -=-?=3620;C =

相加得15+20=35.

16．设02x π??∈ ???

，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．

解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。22sin 12cos 2,sin 2sin 2x x y k x x

+-=== 取(0,2),A 22(sin 2,cos2)1B x x x y -∈+=的左半圆,作图(略)易知

m i n t a n 60 3.

k ==

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=

．

（Ⅰ）若ABC △a b ，；

（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．

本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，224a b ab +-=，

又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ························ 4分

联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，，

解得2a =，2b =． ·············································· 6分 （Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ························································· 8分

联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?，，

解得a =

b = 所以ABC △

的面积1sin 2S ab C =

= ····················································· 12分

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果 如下表所示：

周销售量

2 3 4 频数 20 50 30 （Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求

（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；

（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．

本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ······················ 4分 （Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，

故所求的概率为

（ⅰ）4110.70.7599P =-=．

··································································· 8分 （ⅱ）33424

0.50.30.30.0621P C =??+=． ··············································· 12分

19．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．

（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值， 并求出这个值； （Ⅲ）若12b =

，求D E '与平面PQEF 所成角的正弦值． 本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，

考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．

A B

C D E F P Q H A ' B ' C ' D ' G

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥，

又由已知可得PF A D '∥，PH AD '∥，PQ AB ∥，

所以PH PF ⊥，PH PQ ⊥，所以PH ⊥平面PQEF ．

所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直． ························································· 4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

PF PH '=，，又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形，且PQ =1，所以截面

PQEF 和截面PQGH 面积之和是

)PQ '?= ···························································· 8分 （Ⅲ）解：设AD '交PF 于点N ，连结EN ， 因为AD '⊥平面PQEF ，

所以D EN '∠为D E '与平面PQEF 所成的角． 因为1

2

b =

，所以P Q E F ，，，分别为 AA '，BB '，BC ，AD 的中点．

可知D N '=

，32D E '=．

所以4sin 322

D EN '==∠． ···································································· 12分

解法二：

以D 为原点，射线DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图的空间 直角坐标系D －xyz ．由已知得1DF b =-，故

(100)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，

(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，， (100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

(010)(0)PQ PF b b ==--

，，，，，， (101)PH b b =--

，，，

(101)(101)AD A D ''=-=-- ，，，，，．

A B C

D

E F

P Q H

A '

B '

C '

D '

G N

因为00AD PQ AD PF ''== ，，所以AD ' 是平面PQEF 的法向量．

因为00A D PQ A D PH ''== ，，所以A D ' 是平面PQGH 的法向量．

因为0AD A D ''= ，所以A D AD ''⊥ ，所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直．…4分

（Ⅱ）证明：因为(010)EF =- ，，，所以EF PQ EF PQ ∥，

=，又PF PQ ⊥ ， 所以PQEF 为矩形，同理PQGH 为矩形．

在所建立的坐标系中可求得)PH b =-

，PF =

，

所以PH PF += ，又1PQ =

，

所以截面PQEF 和截面PQGH

························ 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知(101)AD '=- ，，是平面PQEF 的法向量．

由P 为AA '中点可知，Q E F ，，分别为BB '，BC ，AD 的中点． 所以1102E ?? ???

，，，1112D E ??'=- ??? ，，，因此D E '与平面PQEF 所成角的正弦值等于

|cos |AD D E ''<>= ， ············································································· 12分

20．（本小题满分12分）

在数列{}n a ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，设()n n n b c n a =

∈*N ． （Ⅰ）数列{}n c 是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列{}ln n a ，{}ln n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若12a =，

21n n S n T n =+， 求数列{}n c 的前n 项和．

本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，

考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）n c 是等比数列． ·············································································· 2分

证明：设n a 的公比为11(0)q q >，n b 的公比为22(0)q q >，则

1112111

0n n n n n n n n n n c b a b a q c a b b a q +++++===≠ ，故n c 为等比数列．······························ 5分 （Ⅱ）数列ln n a 和ln n b 分别是公差为1ln q 和2ln q 的等差数列． 由条件得1112(1)ln ln 22(1)21ln ln 2n n n a q n n n n b q -+

=-++，即 11122ln (1)ln 2ln (1)ln 21

a n q n

b n q n +-=+-+． ································································· 7分 故对1n =，2，…，

212111211(2ln ln )(4ln ln 2ln ln )(2ln ln )0q q n a q b q n a q -+--++-=．于是 121112112ln ln 04ln ln 2ln ln 02ln ln 0.q q a q b q a q -=??--+=??-=?

，，

将12a =代入得14q =，216q =，18b =． ······················································ 10分 从而有1

1

816424n n n n c --== ．所以数列n c 的前n 项和为 24444(41)3

n n +++=-…． ········································································· 12分

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，点P

到两点(0

，(0的距离之和等于4， 设点P 的轨迹为C ．

（Ⅰ）写出C 的方程；

（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？ 此时AB 的值是多少？

本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识， 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C

是以(0(0，为焦点，

长半轴为2

的椭圆．它的短半轴1b =

=， 故曲线C 的方程为2

214

y x +=． ······························································ 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足

2

214 1.y x y kx ?+=???=+?

，消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344

k x x x x k k +=-

=-++，． ····························································· 6分 OA OB ⊥ ，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++， 于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12

k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥ ． ················································ 8分 当12k =±时，12417x x += ，121217x x =-．

AB ==

而22

212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717??=+?=，

所以17

AB = ． ····················································································· 12分

22．（本小题满分14分）

设函数322()31()f x ax bx a x a b =+-+∈R ，在1x x =，2x x =处取得极值， 且122x x -=．

（Ⅰ）若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若0a >，求b 的取值范围．

本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，

考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分

解：22()323f x ax bx a '=+-．① ····································································· 2分 （Ⅰ）当1a =时，2()323f x x bx '=+-；

由题意知12x x ，为方程2

3230x bx +-=的两根，所以12x x -= 由122x x -=，得0b =． ··············································································· 4分 从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．

当(11)

x ∈-，时，()0f x '<；当(1)(1)x ∈--+ ∞，，∞时，()0f x '>． 故()f x 在(11)-，单调递减，在(1)--∞，，(1)+，∞单调递增． ······························· 6分

（Ⅱ）由①式及题意知12x x ，为方程22

3230x bx a +-=的两根，

所以12x x -=．从而221229(1)x x b a a -=?=-， 由上式及题设知01a <≤． ············································································· 8分 考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ?

?'=-=-- ???

． ····························· 10分 故()g a 在203?

? ???，单调递增，在213?? ???

，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ??= ???． 又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433

g ??= ???为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为

(1)0g =．所以2

403b ??∈????，，即b 的取值范围为????． 14分

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