初中学生常见数学错误分析及解决办法

初中学生常见数学错误分析及应对策略

大关县玉碗镇中学杨光平

一、引言：

学生的数学错误一直是数学老师关注的热点问题。大多数初中学数学教师，每天都在和学生的数学错误打交道。他们把很多时间都花费在寻找错误、纠正错误、分析错误上。传统的教育是“永远正确”的教育，是消灭错误、轻视错误的教育。长期以来，这样的教育观念深深地影响着广大教育工作者，在教学的各个过程中，大家所关注的都主要是那些正确的、积极的部分，而对于学习过程中所产生的错误，大家更多地是持一种否定的、排斥的、消极的态度和做法。比如，作业批改“一叉”了事，学生犯错“一骂”了之，使学生对于“错误”产生畏惧心理，在“错误”中不能获得任何有益的启示，不能汲取错误中一些合理成分。其实，我们每一个人都会在数学学习过程中会犯不同程度的错误，这里的每一个人不仅指学生也指教师。因此，学生在数学学习中出现错误是非常自然的现象。问题是学生为什么一而再，再而三地重复同样的错误，纠错为什么这样难?一方面，肯定有学生的原因，如上课没有专心听讲、作业马虎、订正不到位、知识没有及时消化理解等；另一方面，教师选择教法是否恰当、教学设计是否合理、作业的布置是否合适、纠错是否及时等等，这些都是我们需要分析和研究的问题。

对学生数学错误的研究不仅可以帮助学生找出错误产生的原因、提

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出改正的意见，还有助于帮助教师完善自身的知识结构，改进教学观念，提高教师的专业能力。随着国内外学者们对错误的研究领域在不断扩大和深入，人们对错误的理解以及认识也在不断发生变化，学生错误的合理性逐渐得到一些数学教育专家和一线数学教师的认可。英国数学学会会长施瓦茨伯格，在1984年会上的长致词中曾提出这样的观点：错误在数学中和正确答案一样重要，错误帮助了数学的发展；错误帮助我们了解数学的来龙去脉；错误可作为诊断工具，让我们能了解学生心里可能的想法，错误并非漫无目地发生，而是有其理由。数学错误的地位和价值由此可见一斑。目前在许多教育研究中，“错误率”的测量已经被当作是一种研究的重要工具，许多研究者已开始逐渐重视对错误的关注。这些研究大都试图将学生所犯的错误予以特征化，通过分析学生错误的类型与性质，建立起有效的教学策略和方法。研究数学错误对于数学教师来说，可以将学生所犯的数学错误作为检验学生数学知识掌握情况的一种工具，也可以借此了解学生内心的想法，从而使学生的错误得以有效地纠正。而教师对于数学错误的研究，目的不仅仅是诊断与治疗，更应该把错误看作一种有效的教学资源。数学学习过程中的错误一直是教师们关注的热点问题。错误的产生并非偶然，而是反映了学生产生这些错误的各种潜在因素。因此对错误的辨别、归纳、总结、分析与研究，以及在错误中吸取经验和教训，应当成为数学教育过程中一个不可忽视的重要方面。本论文从不同角度阐述了错误在数学学习中的重要作用。根据笔者在教学实践中对初中学生常见错误的收集和分类，归纳总结了初中学生常见的五

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种错误类型：1．概念性错误；2．审题错误；3．运算错误； 4．逻辑型错误；5．思维错误。并根据错误的不同错误的表现，对这些错误的常见类型进行了更加具体的再分类，列举了一些常见的实例，并对产生这些错误的原因进行了分析和研究。在此基础上提出了在教学中可行的策略与方法，即培养学生解题能力和通过课堂纠正学生的数学错误。本论文试图通过系统研究学生在数学学习中产生错误的各种表现，寻找错误的根源，全面解决初中学生在学习数学时常犯错误，有效地推动初中数学的教学与实践。

二、初中学生常见数学错误的类型及错误原因分析 (一)概念性错误

对数学概念的正确理解是掌握数学基础知识的前提，也是数学解题的基础。对数学概念的透彻理解和正确把握十分重要。如果学生对数学概念或基本的数学事实缺乏准确理解，对概念的适用范围把握不住，对一个概念和另一个概念之间的区别和联系模糊不清，那么在运用概念时，错误就会暴露出来。对数学概念似是而非的理解都将造成学生的解题失误，并进一步阻碍学生数学能力的发展，对其学习态度的影响也是消极的。比如，在二次根式的学习中，学生容易出现”16=±4”这样的典型错误。显然，学生是将平方根与算术平方根的概念混淆了，错误地认为16表示的是求16的平方根。这说明学生对二次根式a (a≥0)的意义没有掌握。a (a≥o)的意义是“非负数a的算术平方根”，a本身也是个非负数。如果学生能理解二次根式的这一概念，就不会出现类似“16=+4”的错误了。另外，一些学生会把

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“不大于”理解为“小于”，把两条直线“不平行”理解为两条直线“相交”，把“点不在圆内”理解为“点一定在圆外”等等。概念性错误的表现主要有： 1．概念、性质含糊不清

学生在接受新概念的过程中，由于概念的抽象性，容易造成学生认识的偏差，另外对概念的条件与结论不能完整把握也会造成理解的支离破碎。这种对概念和性质理解的不深刻性，都极易造成数学错误。 例1：在下列的有理式中，属于分式的是( )

m?na15m2A. B. +c C. D. 8a2?b

?28m错解：显然A式和D式中分母不含有字母，所以它们都是是整式；对于C式虽然是形如分式的形式，但化简后的结果为5m，学生认

5m2为因为5m脚是整式，所以也是整式；而B式中分母含有字母?，

mAB而且可化为分式的形式的形式，即

ABa??c?，故应选B。

分析：学生错误的原因是没有能正确理解分式的概念。一般来说，分式可以表示成的形式，A、B表示两个整式，A既可含字母，也可以不含字母，但分式的分母B中必须含有字母。若B不含有字母，那么式子就是整式。因此判断A、D是整式是正确的，问题是对于B中分母虽然含有字母?，但?通常情况下表示圆周率，是一个常数，所以彦式虽然可以化成

a??cABAB?5m2形式，但仍然是一个整式。c式中的

m是一个分式，虽然可以化成整式5m的形式，但在化简的过程中运用

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5m2的正是分式的基本性质，另外与5m中字母的允许取值范围也是

m不一样的，前者的m≠0，后者的m是一切实数。 正解：选C。

2．忽略公式和重要结构存在的条件

任何时候学习一个新的数学公式或定理时，都要先分清楚它适用的条件是什么，产生的结论又是什么，如何用数学符号或数学式子来表达。对公式或定理中的关键词，要理解正确，不可偏颇。尤其要注意公式或定理成立的条件，任何一个数学公式或定理总是在一定范围内成立的，公式或定理与它成立的条件是不可分割的。单纯地记忆公式或定理，而对其本质缺乏深刻理解，不考虑公式成立的条件，生搬硬套公式或定理就有可能造成数学错误。

例2：试判断函数y =ax2+bx+c的类型，下列说法中正确的是( )． (A)它是二次函数；

(B)当a≠0时，它是二次函数；

(C)当a≠0时，它是二次函数；当a=0时，它是一次函数； (D)以上说法都不正确 错解：选C。

分析：部分学生在做选择题时，有一个不好的习惯，在没有阅读完全部的选项后就匆匆作答。比如此题，一些学生看到y =ax2+bx+c的形式马上就认为它是二次函数，忽视了二次函数成立的条件a≠0。而选择B的学生是因为看到了条件“a≠0”，而忽视了对“a=0”这种情况的讨论。有的学生认为选项C的说法更完整，但却没有考虑到一

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次函数y=bx+c同样要求b≠0。产生这种错误的原因，归根到底是对一次函数、二次函数成立的条件概念不清，是由于函数概念的抽象性和初中学生思维的具体性的矛盾引起的。 正解：选D。 (二)审题错误

审题是解答数学题目的第一步，也是非常重要的一个环节，它是整个解题的基础。学生往往忽视审题的重要性，具体表现为：有的同学在拿到试卷后，匆匆一览便急于下手，以致题目的条件与要求都没有理解，也就无法找到正确的解题思路，解题也就及其容易出现错误。审题错误的表现主要有： 1．审题不仔细

一般来说，初中生对于短小的、直接用数学语言表示的题目阅读得比较准确；相反，对那些冗长的、需要他们自己转化为数学语言的文字题，阅读起来就比较吃力。有些学生做题急于求成，读题马虎，忽视问题的关键词句，经常出现还未理解题意就已经开始答题的现象。

例3：填空：16的算数平方根是_______． 错解：16的算数平方根是4．

分析：正确的解题过程应该包含两次运算，一次是求出16=4；第二次是求出4的算数平方根是2。两次运算放在一起，容易造成学生审题不清，只做了其中的一种运算。 正解：16的算数平方根是_2__.

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2．题意理解不清

数学题意的理解包括语法的理解和数学知识的理解。当题中有复杂长句时，有些学生弄不清楚主、谓、宾结构，不能把复杂的语句转化为简单的语句，造成对题意理解的不准确。比如：“顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的是什么四边形?”有的学生搞不清连接的究竟是对角线各边，还是各边中点。对于数学知识的理解，则体现学生在对数学概念的把握和将问题转化为数学语言与符号的能力上。另外，还有些同学没有对题目所给出的条件，以及条件与结论之间的联系进行思考和分析，最后造成无法确定解决问题的方向。 例4：一个数增加5倍与7的差等于10，求这个数。 错解：设所求的数为x，依据题意得：5x-7=10 所以，x=3.4 答：这个数为3.4

分析：“增加5倍”与”增加到原来的5倍”是截然不同的两个量，显然学生对这部分数学知识的理解上产生了混淆。“增加5倍”指增加的量是5倍，加上本身的量，得到的量是原来量的6倍。“增加到原来的5倍”指增加后的量就是原来量的5倍。 正解：设所求的数为x，依据题意得：6x-7=10 所以，x=

17 617 6答：这个数是

3．忽视题目中的隐含条件

许多数学题目中的条件，有些是明确给出的，我们称之为显性条

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件；另一些则是隐含在习题的其它条件、结论中的，我们称之为隐性条件。正所谓明枪易躲，暗箭难防。学生在解题过程中，往往容易忽视或不能发现题中的隐含条件而导致错误的产生。其实，数学问题的难易程度标志之一就是隐含条件的深度与广度。一般来说，隐含条件通常隐藏在定义、公式或定理中。如果学生在解题中挖掘条件不够深入，那么就会造成解题错误。一般认为，造成错误的原因主要有以下三个方面，一是未能正确理解题意，分析条件不够仔细缜密，对关键条件缺乏深入了解，未能发掘条件背后的隐藏信息；二是解题过程不够规范完整；三是对解得的结果不作检验。

x2?4例5：当x为何值时，分式2的值为零。

x?5x?14x2?4错解：当x—4=0，即x=±2，分式2的值为零。

x?5x?142

分析：学生错误的原因是忽视了分式的分母不能等于0这个隐含条件。当x=2时，分母x2+5x一14=0，此时原分式就无意义，所以应该把X=2这一解舍去。

x2?4正解：要使分式2的值为零，只要分子x2—4=0，且分母x2+5x

x?5x?14一14≠0，即x=-2。

x2?4所以当x=-2时，分式2的值为零．

x?5x?144．随意添加条件(潜在假设)

在解题过程中，有的学生往往不自觉地将某些并不存在的条件作为已知条件，或者轻易把从一些特殊情况下得出的结论作为解题的依

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据或结论，甚至根据解题的需要，人为地制造出一些“为我所用”的条件。这种现象的产生，从心理上分析，是由于主体在缺乏对事物完整全面、深入细致了解的情况下，基于一些不正常心理态势的诱导，而做出了直觉性判定。这种判定存在于主体的潜意识中，一旦被某些因素激活，就会被主体用以作为解题的依据，且主体对依据的真实性深信不疑。例如，有些学生在一说起直角三角形，马上得到较小的直角边是斜边一半的结论(误认为有一个锐角是30度)。在心理学上，我们把这种现象称为“潜在假设”。引潜在假设作为一种曲解题意的错误表现，其中有一定的心理性因素，它不是深思熟虑或不加考察的结果，而是对某些事物尚未建立清晰概念而在置身于新环境的人，当他们对新事物尚未认识清楚时，过去的经验很可能促成一种“潜在假设”而影响他的正确思维。 例6：求a2的值。 错解：a2=a 分析：学生在解题过程中，受到一些类似9等具体值运算的影响，对于字母的二次根式运算，没有对字母的取值范围进行讨论，因为“潜在假设”而添加了条件a≥0，造成解题错误。正解：

???a?a?0???a2=a=??

?a?0????a，?

(三)运算错误

运算能力是中学数学的基本能力之一。但在数学学习中，许多学生往往比较重视思维能力的发展，忽视对运算能力的培养和训练，从

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而造成基本运算技能不过关，解题时容易产生错误。运算能力的薄弱是许多初中学生的突出问题，如公式记忆不准确、运算法则混乱、运算过程繁琐复杂等。造成运算错误的主要原因有： 1．分母为零，任意约分

对于分式中的分母不能为零这一概念，很多同学都非常熟悉。在等式两边同时除以一个代数式(等式两边公因式)的过程中，其实就是一个分式分母不能为零的问题(也可以用等式的基本性质2来解释)，所以要分情况讨论，以免造成漏解的现象，当然也可以移项、分解因式后再解。 例7：解方程：x2=x

错解：在等式两边同时除以x，得：x=1 所以，方程的解是：x=1

分析：学生在解题过程中的思考是不全面的，方程x2=z与x=1并不等价。或者说，在方程两边同时除以x的前提条件是x≠0，而x=0恰好是方程的一个解，所以这种错误属于不等价变形最后造成漏解。 正解：x2=x x2-x=0

因式分解得：x(x-1)=0

所以，方程的解是：x1=0；x2=1 2．运算法则、顺序混乱

一些学生由于对实数运算的一些概念、性质、运算顺序不熟悉，因而造成计算上的错误。另一些学生在练习过程中片面追求答案，没

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有养成良好解题习惯，解答时随心所欲，从而导致解题过程的不完整，证明过程的条理不清，表现为解题结果的漏洞百出。

mn?34的分子、分母中的各项系数都例8：不改变分式的值，把分式

mn?23化为整数。

分析：根据分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。而本题错误的原因是将分子、分母同时乘以两个完全不同的数，虽然这样可以将各项系数都化为了整数，但实际上却改变了分式的值。显然，在这个解题中，学生没有真正掌握分式的基本性质，造成了在化简过程中的错误。

分析：在运算中，哪些运算在前，哪些运算在后，应该牢记在心，运算中不能违反相关的运算顺序。错解的原因是看到后两项的分式中含

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有因式(a-2)可约分，就违背应有的运算顺序，约去了这两个因式，以致错解。

3．符号错误

去括号法则和添括号法则是整式变形中常见的两个法则，掌握得如何，直接关系到学生以后的学习。尽管这两个法则都十分明确，但学生应用起来还是经常出现差错。

分析：符号错误是学生运算中比较常见的错误，比如此题，根据分式的基本性质应该同时改变分式的分子与分母的符号，分式的值不变；而错解只改变了分子与分母第一项的符号，改变了分式的值。显然学生没有正确掌握去括号的法则和添括号的法则，造成运算混乱。

4．忽视条件的取值范围

任何一个数学命题都是由条件和结论两个部分组成的。所以在解题前，要仔细审题，弄清楚题中给定的条件和需要的结果。对条件存在的范围既不能扩大，也不能缩小。 例11：在实数范围内分解因式：x4-4

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错解：x4-4=(x2—2)(x2+2)

分析：初看此题的错误原因是因式分解不够彻底，但是仔细分析题目后，真正造成错误的原因是，因式分解的形式在不同数集的范围内是不同的，学生的解答是在有理数范围内的分解，说明学生缺乏对条件中的取值范围的概念，造成因式分解的不够彻底。

分析：学生解题时利用换元法，令x2+y2=a，解得a=-2或a=4然后直接填上答案，忽视了字母a允许的取值范围是非负数这个条件。 正解：x2+y2=4

5．混淆“或”、 “和”与“且”。“或”表示选择的关系，“甲或乙”表示甲、乙二者必居其一。如果用“和”则表示甲乙两部分连起来才是正确的。“且”表示并且、而且，有同时满足的意思。在使用时三者不能混淆。

分析：”且”与”或”在数学上是表示不同意义的，”且’’与”和”

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相同，表示相连的关系，而”或”表示选择关系，两者不能混淆。上题中的错解就是混淆了”“或”与“且”之间的关系，当a=-3时，分母等于零；当a=-1时，分母也等于零。所以要使分式中的分母不等于0，a既不能等于-3也不能等于-1，两者是一个并列的关系，所以应该用“且”。

6．乱套公式定理、误用法则性质

有些数学题目在形式上相似，在解法上也雷同。也有些题目在形式上虽然类似，但在解法上却大相径庭。还有些题目在形式和解法上大致相同，但在一些细节处却有本质的区别。比如不等式与解方程的求解。学生也常因知识相近而机械地套用某些公式与定理，结果张冠李戴，发生错误。

分析：部分学生违背运算顺序，误认为除法也有类似乘法的分配率，导致错误发生。说明学生运算法则模糊，乱套公式定理、误用法则。

7．不等价转化

不等价转换是学生在已知条件进行转化的过程中，对已知条件没有做等价的变化，导致了条件的扩大或缩小。一般来说，用已知条

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件的充分条件代替已知条件，就有可能造成失解；而用已知条件的必要条件代替己知条件，就有可能出现增解。所以我们在转化已知条件时，转化的一定要是已知条件的充要条件，这样就可以避免失解、增解的现象出现。

分析：一切实数，故在变化后需要验根。如果缺少这个过程，那么分式方程化为整式方程的变化就不等价，会产生增根，所以解分式方程一定要注意验根。

8．结论错误

在数学解题过程中，学生往往比较重视问题的求解，但却忽视了对所得结论的检验。解题的结论错误一般有三种表现形式：忽视检验，取舍不当；结论表达不清或不完整；结论与实际情况不符。

分析：学生往往解到此了事，认为答案已求出。实际上应该检验一下，答案是否符合题意。当x=-1时，则3x-1=x-3=-4，这时5m-4与7m-4

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不是整式，就不能有同类项的定义。由此可见，在求得答案后对其结论进行检验是必不可少的。 正解：x无解

例17：已知五个三角形的三边长分别为：(1) 3、4、5；(2) 5、6、6；(3) 6、7、12；(4) 6、6、6；(5) 5、12、13。问这些三角形可以分成哪几类?(结论表达不清或不完整)

分析：上述分类没有按照统一标准进行。三角形可分别按边和角来分类。按边来分，可以分成两类：即(1)、(3)、(5)是不等边三角形；(2)、(4)是等腰三角形；按照角来分，也可以分成两类，即(1)、(5)是直角三角形；(2)、(3)、(4)是斜三角形。 正解：见分析。

例18：已知：一个等腰三角形的一条边长为1厘米，另一条边长为3厘米，求这个等腰三角形的周长。(结论与实际情况不符)

错解：(1)当腰长为1厘米，底边长为3厘米时，其周长为2×1+3=5厘米；(2)当腰长为3厘米，底边长为l厘米时，其周长为2×3+1=7厘米。

分析：(1)中的三角形是不存在的，因为三角形的基本性质是“三角形任意两边之和大于第三边”，而三角形的两条腰长都为1厘米，其

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和是2厘米，小于底边长3厘米，不能构成三角形，应当舍去。同样，也要对(2)中的情况进行检验，有些同学在解题中喜欢运用排除法，认为剩下的结果就是一定是正确的结果，这也是非常不可取的。 正解：依据题意可知，3厘米长的边为等腰三角形的腰，l厘米长的边必为等腰三角形的底边长 答：其周长为2×3+1=7厘米。 (四)逻辑性错误

严谨性是数学学科的主要特征之一，表现在证明过程中都要遵守逻辑推理的规则。数学证明是根据确定了真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题，来论证其他数学命题真实性的推理过程。数学证明过程表现为一系列的逻辑推理，它关系到学生推理论证能力与逻辑思维能力的培养。在证明过程中，学生容易犯的逻辑性错误主要表现为： 1．偷换论题

一些同学在解题过程中，因为某些原因人为地增加或者减少论题中的条件，导致论题改变，造成错误发生。

例22：叙述命题“若a、b均为偶数，则a+b也为偶数”的逆否命题。 错解：逆否命题为：若a+b为奇数，则a、b均为奇数。

分析：原命题与逆否命题是等价命题。若原命题为真，则逆命题亦真。但上述逆否命题不真。其实“a、b均为偶数”的否定应包括两种情况：(1)a、b均为奇数；(2)a、b为一奇、一偶。而(1)、(2)的统称应为“a、b不全为偶数”或“a、b至少有一个奇数”。“a、b均为奇数”

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偷换了论题，造成了命题错误。

正解：逆否命题为”若a+b为奇数，则a、b不全为偶数”。 2．论据不足

在推理论证的过程中，逻辑规则必须正确，推理论证所依据的原理、原则必须充分和恰当。由于数学推理过程的复杂性和形式演变的多样性，极易产生由于论据不足而导致的“推不出”的错误。

分析：以上证明方法似乎没错，但是仔细一想，为什AB+BE=AE呢?这实质是默认A，B，E三点共线，这是毫无根据的，所以这个论证是错误的。正证：设AB不平行于CD，联结BD，取BD的中点E，

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再连ME、NE， 如图3-3所示。

3．循环论证

我们知道，每一个证明都是由论题、论证和论据这三个部分所构成的，在论证过程中，论据的真实性不能依赖于论题的真实性，否则就产生了循环论证。

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骤不能受前一种解法的影响；对于实际问题，可以根据解题的结果是否符合实际情况来检验；对于有些问题，可以一题多解的方法来检验；对于一些几何证明的问题，可以尝试用倒推法来检验证明的正确性等等。

7．学会一题多解，提炼最优解法

将一个复杂的问题简单化，是数学解题中的基本思想方法。但是在实际应用中，学生往往会把一个简单的问题复杂化，这就背离了解题的思想方法。所以在解题中，教师不能只关注学生是否获得正确答案，更应该关注学生使用的方法是否化繁为简，反映问题的本质。最优解法不一定就是最巧妙的，但一定是那些最具普遍意义、反映问题本质的方法。对学生开展一题多解的教学，在一题多解中提炼最优的解法，有利于开拓学生的思路，有利于学生掌握数学问题的本质，有利于提高学生的思维能力。 8．养成题后反思的习惯

反思是解题之后的重要环节。一些同学没有养成题后反思的习惯，一种错误错了又错，形成了一种习惯性错误。实践证明，通过题后反思能够减少重复出错的几率。反思可以使人对自己的错误观念进行深刻的理性认识，在剖析错误产生的前因后果以后，产生正确的认识，从而实现认识上的“知其然，又知其所以然”。某些不正确的观念形成以后往往根深蒂固，只有经过深刻反思，从错误中得出深刻教训后，才能得到真正纠正。 10．整理一本数学错误集

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学生在学习数学的过程中，出现数学错误是在所难免的，问题是怎样看待这些错误、利用好这些错误。大多数学生对于错误，往往采取一种回避和轻视的态度。有些学生对于错误的订正不重视，需要老师反复的叮嘱和督促；有些同学对于订正草草了事，不是直接抄袭答案就是问这问那，不能独立思考完成；甚至有些同学宁愿再多做几道新题，也不愿订正一道错题。结果造成很多错题，老师反复讲，但是学生还是反复错，纠正错误的效率非常低。事实上错误是宝贵的教学资源，它暴露了学生在数学学习中的种种问题。而造成这些问题的原因有很多，有知识理解不到位、有心理紧张、有思维不够灵活、有选择错误的策略方法等等。因此，在平时的教学中，教师应该帮助学生树立起纠错追因的意识，让学生意识到错误的重要价值，引导学生及时分析错误，改正错误，反思错误。学生也应该正确对待错误，养成搜集错误的好习惯，学会在错误中学习。所以让学生自己整理一本错误集，把平时在考试、作业、课堂上所犯的典型错误记录在这本错误集中，是一条很好的培养学生反思纠错能力的途径。作为教师，我们也应该教会学生如何整理一本数学错误集。具体说来，主要有以下几个步骤：(1)对错误进行分类整理。具体的分类方法可以按照知识结构不完善、审题错误、运算错误、心理因素、逻辑错误、思维错误、方法和策略错误等来细分。对记录的错误还可以注明相关的章节和考点，这样不仅可以根据错误的原因来查找，也可以根据章节、考点来检索，给今后的复习带来便捷。另外，记录的错误应该具有典型性，不用每个错误都要记录。(2)记录错误的内容和方法。记录的内容包

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括错题，错误的解答，解题时的思维过程，正确的思维过程，正确的解答和学生的反思归纳。在记录过程中，要认真分析错误产生的原因及其根源，剖析正确与错误的思维过程，逐渐形成实事求是、严谨治学的学习态度。(3)利用错误，巩固知识，改编错题，举一反三。我们不仅要记录数学错误，更要针对自己的每一个错误，查找课本和学习资料中的相关知识点。在巩固知识的前提下，找一些类似的题型进行解答，做到对此类题型的胸有成竹。在对错题进行比较深入的研究后，学生也可以进行一些变式练习。也就是对原有的题目进行改编，举一反三，加深对薄弱环节的应用能力，有助于学生在变式中认清事物的本质。(4)反思总结，定期交流。当收集的数学错误形成一定量后，学生应该根据自身情况对错误进行反思总结。这种总结可以是针对一个章节学习的，也可以是针对某种错误类型的，也可以是针对考点的。通过反思总结，学生对掌握知识的情况能做出正确的判断，进而及时调整学习状态。因为每一个学生对数学错误的总结是不尽相同的，而其他同学总结的优点是可以借鉴的，所以同学之间也应该加强交流，并可以请做得较好的同学进行示范。也可以通过分成若干个学习小组，用小组合作的形式，让不同层次的学生相互交流，以好带差，达到共同进步的目的。学生在刚开始整理和收集数学错误时，可能会有一些困难。教师要加强督促和指导，当学生养成一定的习惯后，教师可以逐渐放手。学生整理总结得多了，自然就有一些经验和方法，渐渐认清思维的种种障碍和错误的原因。学生积累错误集的过程，不仅是一个纠错的过程，也是一个知识复习和巩固的过程。多年的教学

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实践充分证明，在教学中合理使用数学错误集，不仅有助于提高学生的学习效率和学习成绩，而且增强了学生学习的自信心，收到了很好的教学效果。

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5．推理过程错误

推理过程所选择的论证进程依据的原理、原则是否恰当，在局部推理上所引用的论据是否充分等都应严格审查。

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分析：在上证中，为什么呢?显然这是由于图的几何直观

所造成的。学习平面几何借助几何直观是有很大的益处的，但是只靠几何直观没有严密的逻辑推理，有时会导致解题或证明的错误。几何直观并不能代替逻辑证明，严格的论证如下：

6．混淆问题的“特殊性”和“一般性”

数学问题的过程和结论都具有一般性，在这种一般性中包含着特殊性，所以一般性成立了，特殊性当然也能成立。但因为问题的特殊性代表了问题的本质基础，所以在数学解题过程中，往往把特殊作为研究问题的起点，由特殊性来研究它的一般性。但是一些数学问题的特殊性并不包含在一般性之中，这往往是思考中容易疏漏的地方，而忽视这种特殊性，就有可能造成数学错误，所以我们要处理好数学问题的“一般性”和“特殊性”之间的关系。

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7．混淆条件的“充分性”与“必要性”

若由A可以推出B，即A ?B，则称A是B的充分条件，若由B可以推出A，即B ?A，则称B是A的必要条件。学生在进行逻辑推理时，容易混淆充分性与必要性之间的关系，以致思维导向失当，造成数学错误。 例28：解方程2x2+x-6=1 错解：原方程化为(2x-3)(x +2)=1 则：2x-3=1；x+2=1 解得：x1=2，x2=一1

分析：ab=1 ?a、b互为倒数，若a=1且b=1 ? ab=1，但ab=1不能推出a=1且b=1。上述解法由于混淆了条件的充分性和必要性，而导致了错误。

正解：原方程可化为2x2+x-7=0

(五)思维因素

思维品质有着很高的要求，其表现的形式也更为多样。通常我们以“深刻性”、“灵活性”、“严谨性”、“批判性”等方面来评价学生的思维品质。 1．思考不够深入

缺乏思维深度的学生，往往不能深入地钻研与思考问题，不善于从复杂的情况中把握住事物的本质，而是被一些表面现象所迷惑，

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把问题绝对化，或者犯了不求甚解的毛病。比如在概念学习中，弄不清一些容易混淆的概念，如正数和非负数、倒数和相反数、有理数和无理数等等；在公式、定理、法则的学习中，也不能完全地掌握它们，包括条件、结论和适用的范围等；具体表现为思维的表面化、绝对化、形式主义、一知半解等。

分析：当x+y+z≠0时，等式2(x+y+z)=k(x+y+z)的两边才可以同时除 以x+y+z；当x+y+z=0时，则应当另行讨论。

综上所述：k=2或一1。 2．思维不够灵活

缺乏思维灵活性的学生不能对具体问题作具体分析，不善于根据

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实际情况的变化而及时调整原有的思维过程与方法，不能灵活地运用相关的知识和方法来解决问题，并且局限于固有的思维模式，不具有较强的应变能力。

3．思维不严谨(考虑不周，主观臆断)

思维不严谨具体表现在思维进程中的各种不全面、不完整、不严密。由思维的不严谨所产生的错误在学生中非常常见。比如需要分类讨论的题目往往是学生学习的难点问题。而分类讨论也是初中数学常见的，体现学生思维严谨性的数学思想方法，要求学生掌握和应用。分类讨论是根据研究对象性质的差异，分别对各种情况予以考查，这也是学生容易犯错的地方。究其主要原因是对所讨论变量的取值范围分类不明确；分类不按同一标准进行；分类有遗漏；分类不互斥，有重复等。

例31某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，乘

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船共需要4个小时。已知船在静水中的速度为每小时7．5千米，水流速度为每小时2．5千米。如果A、C两地相距10千米，试求A、B两地的距离。

错解：设A、B两地的距离为x公里，根据题意得：

解得x=20(千米)

答：A、B两地的距离为20千米。

分析：学生是在默认C地在A、B两地之间的条件下来解题的，遗漏了符合题意的另一情形，即C地位于A地的上游。所以还应该考虑当C地在A地上游时的情况：

答：综上所述，A、B两地间的距离为20千米或正解：过程见分析，? 4．思维定势的影响

思维定势是一种思维惯性，即：总是按照某种习惯的思路去思考问题。在解题时，有些学生常常先对问题进行模式辨认，当在解决相似的新问题时，具有试图把新的问题纳入到已建立的模式中加以解决的心理倾向，如此就造成了“先入为主”的思维惰性。此外，学生对已经接受的知识、解题方法等内容，往往在心目中有比较深刻的印象，这些固然对新知识的建构是很好的经验，但也会限制学生对问题作出更加深入细致的探讨，从而产生思维定势。

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20千米。 3

例32：如果直角三角形的两边长分别为6和8，那么第三条边等于___。 错解：因为在直角三角形中，所以利用勾股定理可得第三条边长为10。

分析：在解此题过程中，部分学生产生了思维定势(6，8，10为学生非常熟悉的一组勾股数)，默认第三条边一定是斜边，造成漏解。 正解：当6和8为直角边时，第三边长为10。当8为斜边时，第三边长为27。

三、 克服初中学生数学错误的教学策略和方法

学生数学错误的出现，一方面与学生在学习过程中对数学知识的理解与掌握、逻辑能力、思维能力、学习数学的方法和策略密切相关。另一方面也与教师在教学过程中的教学有着重要的关系。在教学中怎样避免和利用数学错误，是教师应该认真研究和分析的。对于数学错误的有效减少和预防，笔者提出以下一些措施。 (一)培养学生解题能力 1．加强对数学概念的理解

对数学的概念理解是学习数学的基础，许多学生由于对概念理解的程度不够导致了解题时的错误，所以加强概念的教学尤其重要。由于概念有较强的抽象性和概括性，所以我们在平时的教学中必须要重视概念的形成过程。在数学概念的教学中，教师要注重学生概念的形成过程。教师可以从大量生活中的实际例子出发，对相似的概念和容易混淆的概念要进行比较与分类，找出这些概念之间的区别和联系，进而提炼出这一类事物的本质属性，然后再通过一些具体的例子对所

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发现的属性进行检验与修正，概括总结后再让学生用定义的形式表达出来。从这个形成过程中，学生可以得到概念的来龙去脉，能够有效地帮助他们理解概念。 2．提高审题能力

有一位数学家曾经说，“善于解题的人，用一半的时间来理解问题，而用另一半时间完成解题”，可见审题在解题中的地位和重要性。对于一些简单的题目，只要认真审题，完成解题并不困难。但对于一些条件比较复杂、隐蔽的题目，则需要认真阅读，仔细推敲，准确把握问题的条件和结论。在审题时，可以引入一些图形、表格、符号等来帮助理解题意。对于条件既不能遗漏，也不能随意添加。同时也要兼顾条件和结论，因为结论往往暗示了对条件进行转化的途径与方向。审题一定要注意抓关键词，想办法挖掘题目的内涵和外延。认真审题，提高审题能力可以帮助学生从题目中获取尽可能多的信息，是提高学生数学解题能力的重要途径。 3．提高计算能力

计算能力是初中数学重要内容之一，作为教师应当在平时的教学中重视学生计算能力的训练与培养。掌握合理的算理和算法是计算的基础，在计算过程中要准确无误地运用概念、公式、法则，有根有据地一步一步运算，不能跳步骤，只有做到这些，才能保证最终的运算结果准确无误。另外提高学生简便运算也是提高运算能力的关键，学会简便运算的学生不仅算得快，而且准确率也高。因为运算的步骤越繁琐，难度就越大，出错的可能性也就更大。

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4．提高思维能力

在数学教学中培养学生的思维能力是减少学生的解题错误的重要途径之一。在教学中，我们发现：数学学习成绩好的同学，往往具有思维敏捷、逻辑清晰的特点，并且比一般的同学更加具有探索创新的精神。反观一些数学学习比较困难的学生，他们的思维具有局限性的特点，所学的内容也停留在教科书和教师讲过的内容上，一旦遇到新的问题往往束手无策，没有解决问题的好办法。 5．规范的解题格式

规范的解题格式，不仅反映学生的数学知识技能水平，而且也反映学生的学习态度与学习习惯。因此，教师应该对学生的解题格式有严格要求：顺序从左到右，由上到下，排列要均匀；数字、符号正确，字迹工整、清晰；计算题步步为营，不能跳步骤；证明题由因导果，言必有据等。这些解题的格式问题一定要在平时的作业中常抓不懈，如果发现不按格式书写或出现错误，都要求学生有错必纠，及时修改订正。实践证明，通过训练能使学生养成耐心、细致、严肃、认真的书写习惯，形成规范的解题格式，减少不必要的错误。 6．养成解题检验的习惯

在平时的教学中，笔者发现许多学生题目做完就了事，不重视对题目的检验。其实解题检验也是解题的重要组成部分，只是很多学生缺乏这种意识而已。教师在培养学生检验意识的同时，也可以介绍一些基本的检验方法。比如，对于一些计算的结果，可以通过估算来检验；对于没有把握的题目，可以重新再解一遍，当然解题的思路和步

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