2020年湖北省武汉市中考数学试卷和答案解析

2020年湖北省武汉市中考数学试卷

和答案解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）实数﹣2的相反数是（）

A．2B．﹣2C ．D ．﹣

解析：由相反数的定义可知：﹣2的相反数是2．

参考答案：解：实数﹣2的相反数是2，

故选：A．

点拨：本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≤2C．x≥﹣2D．x≥2

解析：根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．

参考答案：解：由题意得：x﹣2≥0，

解得：x≥2，

故选：D．

点拨：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

3．（3分）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）

A．两个小球的标号之和等于1

第1页（共29页）

B．两个小球的标号之和等于6

C．两个小球的标号之和大于1

D．两个小球的标号之和大于6

解析：分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．

参考答案：解：∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，

∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；

两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；

两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；

两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意；

故选：B．

点拨：本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．

4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

解析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

第2页（共29页）

叫做对称轴求解即可．

参考答案：解：A、不是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，符合题意；

D、不是轴对称图形，不合题意；

故选：C．

点拨：此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

5．（3分）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

解析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

参考答案：解：从左边看上下各一个小正方形．

故选：A．

点拨：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

第3页（共29页）

6．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

解析：根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

参考答案：解：根据题意画图如下：

共用12种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，

则恰好选中甲、乙两位选手的概率是＝；

故选：C．

点拨：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

7．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y ＝（k ＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）

A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a ＞1

解析：根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，

第4页（共29页）

y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．

参考答案：解：∵k＜0，

∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，

①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，

∵y1＞y2，

∴a﹣1＞a+1，

此不等式无解；

②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，

∵y1＞y2，

∴a﹣1＜0，a+1＞0，

解得：﹣1＜a＜1，

故选：B．

点拨：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＜0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．

8．（3分）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（）

第5页（共29页）

A．32B．34C．36D．38

解析：根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第16分钟时容器内水量为35L可得出水的速度，进而得出第24分钟时的水量，从而得出a的值．

参考答案：解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），

第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），a＝24+45÷3.75＝36．

故选：C．

点拨：此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法即可解决问题．

9．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D 是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）

A ．B．3C．3D．4

第6页（共29页）

解析：连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF ＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF ＝BC ＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．

参考答案：解：连接OD，交AC于F，

∵D 是的中点，

∴OD⊥AC，AF＝CF，

∴∠DFE＝90°，

∵OA＝OB，AF＝CF，

∴OF ＝BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

在△EFD和△ECB中

∴△EFD≌△ECB（AAS），

∴DF＝BC，

∴OF ＝DF，

∵OD＝3，

∴OF＝1，

∴BC＝2，

在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，

∴AC ＝＝＝4，

第7页（共29页）

故选：D．

点拨：本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．

10．（3分）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．

把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（）

A．160B．128C．80D．48

解析：对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想

第8页（共29页）

来解决这类问题．

参考答案：解：观察图象可知（4）中共有4×5×2＝40个3×2的长方形，

由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，

则n的值是40×4＝160．

故选：A．

点拨：此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）计算的结果是3．

解析：根据二次根式的性质解答．

参考答案：解：＝＝3．

故答案为：3．

点拨：解答此题利用如下性质：＝|a|．

12．（3分）热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是 4.5．

解析：根据中位数的定义求解可得．

参考答案：解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6，

所以这组数据的中位数为＝4.5，

故答案为：4.5．

点拨：本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将

第9页（共29页）

一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

13．（3分）计算﹣的结果是

．

解析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．

参考答案：解：原式＝﹣

＝

＝

＝．

故答案为：．

点拨：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．（3分）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE ＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．

解析：根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据

第10页（共29页）

三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．

参考答案：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，

∵AD＝AE＝BE，

∴BC＝AE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，

∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，

∴∠ACB＝2∠CAB，

∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，

∴∠BAC＝26°，

故答案为：26°．

点拨：本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：

①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；

②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；

③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；

④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．

其中正确的结论是①③（填写序号）．

第11页（共29页）

解析：根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．

参考答案：解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，

∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x ＝＝﹣1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；

对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；

故答案为：①③．

点拨：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

16．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M 处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是．

第12页（共29页）

解析：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，由勾股定理得出（2﹣x）2+t2＝x2，证得∠ADM＝∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．

参考答案：解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，

设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，

∵AE2+AM2＝EM2，

∴（2﹣x）2+t2＝x2，

解得x ＝+1，

∴DE ＝+1，

∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，

∴EF⊥DM，

∠ADM+∠DEF＝90°，

∵EG⊥AD，

∴∠DEF+∠FEG＝90°，

∴∠ADM＝∠FEG，

第13页（共29页）

∴tan∠ADM ＝，

∴FG ＝，

∵CG＝DE ＝+1，

∴CF ＝+1，

∴S四边形CDEF ＝（CF+DE）×1＝t+1．

故答案为：t+1．

点拨：本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）计算：[a3?a5+（3a4）2]÷a2．

解析：原式中括号中利用同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方运算法则计算，合并后利用单项式除以单项式法则计算即可求出值．参考答案：解：原式＝（a8+9a8）÷a2

＝10a8÷a2

＝10a6．

点拨：此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（8分）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．

第14页（共29页）

解析：根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB＝∠EFC，进而得出AB∥CD．

参考答案：证明：∵EM∥FN，

∴∠FEM＝∠EFN，

又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，

∴∠FEB＝∠EFC，

∴AB∥CD．

点拨：本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的性质．

19．（8分）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A 表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取了60名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是6°；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？

第15页（共29页）

解析：（1）由C类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以样本中D类别人数占被调查人数的比例即可得出答案；（2）根据A、B、C、D四个类别人数之和等于被调查的总人数求出A的人数，从而补全图形；

（3）用总人数乘以样本中B类别人数所占比例可得答案．

参考答案：解：（1）这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°×＝6°，故答案为：60，6°；

（2）A类别人数为60﹣（36+9+1）＝14（名），

补全条形图如下：

（3）估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×＝1200（名）．

点拨：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形

第16页（共29页）

统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．（8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．

解析：（1）利用网格特点和旋转的性质画出B点的对称点D即可；（2）作出BC为边的正方形，找到以C点为一个顶点的对角线与AB的交点E即为所求；

（3）利用网格特点，作出E点关于直线AC的对称点F即可．参考答案：解：（1）如图所示：线段CD即为所求；

（2）如图所示：∠BCE即为所求；

（3）连接（5，0），（0，5），可得与AC的交点F，点F即为所求，如图所示：

第17页（共29页）

点拨：本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O 交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；

（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．

解析：（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥DE，则可判断OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；

（2）连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠2＝∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1＝，sin∠3＝，则AD ＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，证明△CDB∽△CBA，利用相似比

第18页（共29页）

得到x：y＝y：（x+y），然后求出x、y的关系可得到sin∠BAC的值．

参考答案：（1）证明：连接OD，如图，

∵DE为切线，

∴OD⊥DE，

∵DE⊥AE，

∴OD∥AE，

∴∠1＝∠ODA，

∵OA＝OD，

∴∠2＝∠ODA，

∴∠1＝∠2，

∴AD平分∠BAE；

（2）解：连接BD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，

∴∠2＝∠3，

∵sin∠1＝，sin∠3＝，

而DE＝DC，

∴AD＝BC，

设CD＝x，BC＝AD＝y，

∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，

第19页（共29页）

∴△CDB∽△CBA，

∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：（x+y），

整理得x2+xy+y2＝0，解得x ＝y或x ＝y（舍去），

∴sin∠3＝＝，

即sin∠BAC 的值为．

点拨：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

22．（10分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B 城生产产品的每件成本为70万元．

（1）求a，b的值；

（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B 两城各生产多少件？

（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，

第20页（共29页）

直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．解析：（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；

（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；

（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．

参考答案：解：（1）由题意得：，

解得：．

∴a＝1，b＝30；

（2）由（1）得：y＝x2+30x，

设A，B两城生产这批产品的总成本为w，

则w＝x2+30x+70（100﹣x）

＝x2﹣40x+7000，

＝（x﹣20）2+6600，

由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．

答：A城生产20件，B城生产80件；

第21页（共29页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gjce.html