华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)

第一章 行列式

行列式是线性代数的基础知识，它在数学的其他分支中有很重要的应用。

§1 行列式的定义

一、引言

我们先看二元一次方程组

a11x1 a12x2 b1

ax ax b 2112222

当a11a22 a12a21 0时的解。由消元法易得

b1a22 b2a12

x 1aa aa 11221221

(1)

x b2a11 b1a21

2 a11a22 a12a21

在中学数学中，定义二阶行列式(1)可写为：

b1

x1

a12

a11

a11a21

a12a22

a11a22 a12a21，则上述方程组的解

b1

b2a22a21b2

，x2 。 (2)

a11a12a11a12a21

a22

a21

a22

可以发现解(2)的形式比解(1)的形式更于记忆。对于三元一次方程组也有类

似的结论。更一般的，可以推广到n元一次方程组

a11x1 a12x2 a1nxn b1 ax ax ax b 2112222nn2

(3)

an1x1 an2x2 annxn bn

的情形，为此我们先做一些准备。

二、排列

定义1：由1,2, ,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。

n级排列通常记为j1j2 jn，易知n级所有不同排列的个数为n!。例如：

45321是一个5级排列，5级排列的总数为5!=120。

定义2：一个排列中，某两个位置上的数前大后小，称这两个数构成一个逆

序。一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数。

排列j1j2 jn的逆序数通常记为 (j1j2 jn)。记 k表示排列j1j2 jn中数字k前面比k大的数的个数，则有 (j1j2 jn) 1 2 n，其中 n 0。例如 (45321) 4 3 2 9， (12 n) 0。

定义3：逆序数为奇（偶）数的排列，称为奇（偶）排列。 例： (45321)= 4+3+2=9，该排列为奇排列； (12 n)=0，该排列为偶排列。 把排列中某两个位置上的数进行交换得到另一排列，这样一个变换称为对换。对于对换，有下面主要定理：

定理1：对换改变排列的奇偶性。 证明：分两种情形来讨论。

1）对换的两个数相邻，设排列为 jk 。当j k时，记

( jk ) j k ，则

( kj ) ( j 1) k 1；

当j k时，同理可得 ( kj ) ( jk ) 1。从而定理成立。

2）对换为一般情形，设排列为： ji1i2 isk 。

先将j依次与i1,i2, ,is对换变为 i1i2 isjk ，经过s次对换，再将k依次与

j,i1,i2, ,is对换变为 ki1i2 isj ，经过了s 1次对换。故排列的对换共经过了

s (s 1) 2s 1次的相邻对换，从而定理成立。

三、行列式定义

定义4：设aij(i,j 1,2, ,n)是n2个数（也称为元素），定义n阶行列式

a11a21 an1

其中

j1j2 jn

a12 a1n

( 1) (j j)aja2j aj jj j

1

n

a22 a2n an2 ann

11

2

nn

。

12n

表示对所有的n级排列求和。

说明：1. n阶行列式是一个数，由n!项的代数和所构成。

2. 除符号外，每项为n个数的乘积，这n个数取自于不同的行和列。 3. 乘积a1j1a2j2 anjn的n个数（元素）（从左到右）行数按自然顺序由小到

大排列，元素的列数构成的排列为j1j2 jn，排列逆序数 (j1j2 jn)的奇偶性决定这一项的符号。 例1：按定义计算

a11a21

a12a22

。

解：

a11a21

a12a22

( 1) (j1j2)a1j1a2j2

j1j2

( 1) (12)a11a22 ( 1) (21)a12a21 a11a22 a12a21。

结果与中学里的直接定义结果一致。三阶行列式亦是如此。

a11

a12a220a13a23 a33

(1j2j3)

j1j2j3

a13a23 。

a33

例2：计算0

a11

a12a220

1j2j3

解：0

( 1)

(j1j2j3)

a1j1a2j2a3j3

( 1)

a11a2j2a3j3 a11a22a33。

类似地，可求得

a11a12

a1n

a11a22 ann。该行列式称为上三角行列式。

0 0

同理

a22 a2n 00

ann

00

a11a21 an1

a22

an2 ann0

00

a11a22 ann。该行列式称为下三角行列式。

a110 0

a22 0

ann

a11a22 ann 。该行列式称为对角线行列式。

行列式中从左上角到右下角这条对角线称为行列式的主对角线。 从定义可知一个n阶行列式共有n!项，计算量很大，但从例2来看，上（下）三角行列式计算比较简单。下面就介绍行列式的一些性质，以便利用这些性质化一般行列式为三角行列式，从而简化行列式的计算。

§2 行列式的性质

性质1：行列互换，行列式不变，即

a11a21 an1

a12 a1n

a11a12 a1n

a21 an1a22 an2 a2n ann

。

a22 a2n an2 ann

注：左边行列式称为右边行列式的转置行列式。

证明从略。

性质1表明行列式中行与列的地位是对称的，因此后面有关行的性质，对列也能成立。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。即

as1as2 asn at1

at2 atn

at1as1

at2 atn as1 as1

证明：记右边行列式i行j列的元素为bij，则

左边

j1j2 jn

( 1) (j1j2 jn) asjs atjt。

( 1) ( js jt ) bsjs btjt

右边

j1j2 jn

j1j2 jn

( 1) ( js jt ) atjs asjt

j1j2 jn

( 1) ( jt js ) asjt atjs ＝左边。

推论1：两行（列）元素相同，行列式等于0。

as1

as2 asn

，交换元素相同的两行，行列式不变；另由at2 atn

证明：记D

at1

性质2行列式变号，从而D D，即D 0。

性质3：某行（列）的各元素如有公因数k，则可把k提出行列式符号外，即

kai1

证明：左边

12

n

1j1

kai2 kain kai1

ai2 ain。

( 1) (jj j)a jj j

12

n

(kaiji) anjn

k

jj j

12

( 1) (j1j2 jn)a1j1 aiji anjn ＝右边。

n

推论2：某行（列）元素全为0，则行列式为0。

推论3：两行（列）元素成比例，则行列式为0。 性质4：（“加法”规则）

a11a12 a1n

an1a11 bi1

an1

a12bi2

an2 a1n

an2 ann

a11 an1

12

n

bi1 ci1bi2 ci2 bin cin

anna12ci2

a1n cin an2 ann

1j1

bin ci1

证明：左边

( 1) (jj j)a jj j

12

n

(aij bij) anjn

i

i

jj j

12

( 1) (j1j2 jn)[a1j1 aji anjn a1j1 biji anjn]＝右边。

n

性质5：某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应元素上，行列式不

ai1

ai2

ain

ai1

ai2

ain

变。即

aj1 kai1

aj2 kai2 ajn kainaj1aj2 ajn

证明：由性质4和性质3的推论立即得证。

在计算行列式时，可利用性质2和性质5把行列式化为上（下）三角行列式。通常用记号ri rj(ci cj)表示互换行列式的第i行（列）和第j行（列）；用

rj kri表示第i行元素的k倍加到第j行对应的元素上。类似地，cj kci表示列

的相应运算（建议初学者计算时使用这些记号，便于检查）。

1234234134124123

例3：计算 。

解：

1

2 1 2 7

3 2 8 10

4 7 10 13

1

200

3 44

4 7436

r4 r3

1 00

200

3 40

4440 160。

原式

r2 2r1

r 3r

000

31

r4 4r1

r 7r

4

r3 2r2

2

000

1 20 1 2 7

ab

babbba

bbabbabbba b0 0

bbab

bb

bbb 。 a

例4：计算n阶行列式 b

b

a (n 1)b

c1 1 c2

c1 1 c3 c1 1 cn

a (n 1)b

a (n 1)b

11

解：原式

a (n 1)bb

b

b（即：其余各列都加到第一列上）

a

b00

b b a b b0 0

[a (n 1)b]1

11

r2 r1

r3 r1

0 0

rn r1

[a (n 1)b]0

a b

a b

1

b]a( nb) [a (n 1)。

例5：当n为奇数时，证明：

0D

a12 a1n

a120

a1n a2n

0 0 。

a2n

证明：D ( 1)n

a12 a1n0 a2n

a2n

0

D

a12 a1n

D 0。

这个结果也常说成：奇数阶反对称行列式等于零。

§3 按行（列）展开定理

先介绍余子式和代数余子式的概念。

定义5：划去行列式中元素aij所在行和列，剩下的(n 1)2个元素按原来的排列构成的n 1级行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij。称Aij ( 1)i jMij为aij的代数余子式。

123

例如行列式 201，M23 ，A31 ( 1)

52

512

12

3 1

2301

＝2。

a11

定理2（按行列展开定理）：设D

a12 a1n

，则有

a21 an1

a22 a2n an2 ann

D i j

(i,j 1,2, ,n) 1）ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn

0 i j D i j

(i,j 1,2, ,n) 2）a1iA1j a2iA2j aniAnj

0 i j

证明：仅证1），由性质1，2）式亦得证。 先看i j的情形，不妨设i j 1。

a11

由性质4可得D

0 0

0a21

a12

0

0a21

a1n

a21 an1

a22 a2n an2 ann

a22 a2n

a22 a2n

an1an2 annan1an2 ann

a a11A11 a1An。1 212 n1A

再看i j的情形，考察行列式

ai1

D1

aj1

ai2

ain

ai1ai1

ai2 ainai2 ain

与 D2 0 。 aj2 ajn

D2是将D1的第j行元素换成第i行的元素，其他行的元素不变，这样D1与D2的

第j行的代数余子式完全相同，D2按第j行展开有：

D2 ai1Aj1 ainAjn 0 。

该定理理论上有重要的价值，后面有些地方会用到。另外，它也可以结合前面的性质简化行列式的计算。

5

372

10235

200

10

例6：计算

0 2

23

160（按第4列展开） 解：原式=( 1)2 40 23 10

25

025

5 31

00

00 000 0

02000300

2000

1000

例7：计算行列式 0n00

n 1

解：原式=( 1)1 n0n

(n 4)(n 1)

2

( 1)1 n ( 1)1 (n 1) ( 1)1 2n!

n 1

=( 1)n!

事实上，此题还可以利用定义及性质2来求解，读者自行练习。

1

24058323023

例8：设D

1674

求：1）A13 2A23 A33 3A43；

2）3A13 7A23 5A33 5A43。

解：1）代数余子式是第3列的，它们的系数是第1列的，从而，

A13 2A23 A33 3A43 0

2）因为 3A13 7A23 5A33 5A43

＝(1 2)A13 (2 5)A23 ( 1 6)A33 (3 2)A43 =(1A13 2A23 1A33 3A43) (2A13 5A23 6A33 2A43) =0+0=0

22 31 10253 10 3 ( 1) 120 3A13 7A23 5A33 5A43 10A33＝

32

320

120

1

例9：计算x1

x121

解：原式 x1

c3 c1

x12

c2 c1

1x22x21x3 2x30x2 x12x2 x12

11

x3 x1 (x2 x1)(x3 x1)

x2 x1x x12

x3 x12

＝(x2 x1)(x3 x1)(x3 x2)。 利用递推或数学归纳法可以得到：

11

x1x2

n 1

x1n 1x2 1 xn

(xj xi) 。

1 i j n

n 1

xn

上述行列式称为范德蒙（Vandermonde，735-1796，法）行列式，这个结果以后可以直接利用。

有了按行（列）展开定理，下面介绍介绍n元一次方程组（3）解的结论。 定理3：（克莱姆(Cramer，1704－1752，瑞士)法则）方程组（3）的系数行

a11

列式D

a12 a1n

0，则（3）有唯一解xj Dj/D j 1,2, ,n，其中

a21 an1

a22 a2n an2 ann

Dj是将D中第j列换成常数列后得到的行列式。

证明：将方程组（3）中的n个方程依次两边乘以A11,A21, ,An1，再把它们

相加可得：

(a11A11 a21A21 an1An1)x1 (a12A11 a22A22 an2An1)x2 (a1nA11 a2nA21 annAn1)xn b1A11 b2A21 bnAn1

由定理2，即有Dx1 D1 从而 x1 D1/D。

同理以A1j,A2j, ,Anj依次乘方程组（3）的n个方程两边并相加起来，再应用定

理2，可得 xj Dj/D (j 2, ,n)。

易验证 xj Dj/D (j 1,2, ,n)是（3）的解。

关于解的唯一性在第三章再给予说明。事实上用克莱姆法则求解方程组比较麻烦，也不具有一般性，第三章再作进一步讨论。

习题一

1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n级排列 n(n 1) 2。1 2.选择i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列； 2）1i25k4897为偶排列。 3.由定义计算行列式

a11aa21a

a31a

1222324252

000aa

4353

000aa

4454

。 a

4555

a41aa51a

a

4.计算行列式：

42

0 2

1； 2）2 4

1111

1 111

11 11

111 1

； 3）

410

124202117

；

1） 13

520

4）

432

64278

1694

；5）

a2b2c

2

(a 1)2(b 1)2(c 1)

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)

2

(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

。

5 12525

5.计算n阶行列式：

d2(d 1)2(d 2)2(d 3)2

x0

1）

yx000

0yx00

000x0

000yx

； 2）

11000

2 1200

30

n 1

00

n00 0

；

00y

2 00

2 n

n 11 n

a1

3）

1 1

11

12

； 4）2

2222

2232

222 。 n

1 1

1 a2

1 an

2

提高题

1.已知n级排列j1j2 jn 1jn的逆序数为k，求排列jnjn 1 j2j1的逆序数。 2.由行列式定义计算

2x

f(x)

xx

11xx2 xn 1a12 a1n 1

2n 1

，其中ai互不相同。 a2 a2

13111

1 2x11xa1a2an

中x4与x3的系数，并说明理由。

3.设P(x) 1

1

2n 1

an an

1）说明P(x)是一个n 1次多项式； 2）求P(x) 0的根。

4.证明：

11

1

11 x1 1

11 1

11

)xx( 1)x ( 2) x( n 1 ( 1n

1)

2 x

1

n x

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gj7e.html