华中师大《高等几何》练习题库及答案

《高等几何》练习题库及答案

一、填空题

1．欧几里得的《几何原本》一书共有 卷，其中有 条公理， 条公设。

2．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、 、 、 等四个方面组成的。

3．绝对几何学的公理体系是由四组， ， 条公理构成的。

4．罗巴切夫斯基函数???(x)当平行矩x 时，其对应的平行角?连续递减。 5．罗氏平面上直线的相互位置有三种可能，即 、 、 。 6．斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是 。 7．两个射影点列成透视对应的充要条件是 。 8．欧氏平面上添加了 后，成为仿射平面。

9．共线4点A,B,C,D，若满足 ，则称点对A,B与点对C,D互成调和共轭。 10．平面内两点I(1,i,0),J(1,?i,0)称为平面内的 。

11．希尔伯特提出几何公理系统的三个基本问题是 、 、 。 12．罗巴切夫斯基函数???(x)当平行矩x连续递增时，其对应的平行角? 。 13．球面三角形的三角和常小于 而大于 。球面三角形中两角和减去第三角常小于 。

14．射影变换T是对合的充要条件是 。 15．射影变换的基本不变量是 。

16．共线4点A,B,C,D，若满足(AB,CD)??1，则称点对A,B与点对C,D互成 。 17．平面内两点 、 称为平面内的圆点。 18．几何学公理法从开始到形成，大体经历了 阶段。 19．《几何原本》被认为是用 建立的几何学。

20．欧几里得第五公设叙述为： 21．希尔伯特于1899年发表了著名的著作《 》，这部书被看作是几何基础研究的经典著作。 22．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 。 23．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理叙述为 24．罗氏平面上三角形内角和 二直角。

25．球面三角形的内角和大于 ，小于 。

26．布里安香定理叙述为 。 27．欧氏直线上添加了 后，成为仿射直线。

28．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是 。 29．通过圆点的任意虚直线称为 。 30．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 .

1

31．两共轭虚直线的交点为 ，两共轭虚点的连线为 。 32． 叫做对偶运算。

33．在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形 . 34．笛沙格定理叙述为 35．对偶原理叙述为 36．不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成 个透视对应的积。 37．二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是 .

38．巴斯加定理叙述为 39．《 》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。 40． 是球面上两点间的最短距离。 41. 是仿射不变量， 是射影不变量 42.直线3x?y?0上的无穷远点坐标为 43.过点（1,i,0）的实直线方程为 44.二重元素参数为2与3的对合方程为

?x/?7x?y?145.仿射变换?/的不变点为

?y?4x?2y?446.两点决定一条直线的对偶命题为 47.直线[i ,2,1-i] 上的实点为 48.若交比(AB,CD)?2 则(AD,BC)? 二、计算题

1．求直线(2,i,3?4i)上的实点。

2．求4点（AB，CD）的交比，其中A(2,1,?1), B(1,?1,1),C(1,0,0),D(1,5,?5)。

3．求射影对应式，使直线L上的坐标是1，2，3的三点对应直线L?上的坐标为?1,?2,?3的三点。

4．求由两对对应元素2与2，1与4所决定的对合方程。

5．求点P(1,2,1)关于二阶曲线2X1?4X1X2?6X1X3?X3?0的极线方程。

6．求过点(1,i,0)上的实直线。

7．设直线L1:2x?y?1?0,L2:3x?y?2?0,L3:7x?y?0,L4:5x?1?0， 求交比(L1L2,L3L4)。

8．求重叠一维基本形的射影变换????6?????6?0自对应元素的参数。 9．求由两对对应元素1与

221，0与2所决定的对合方程。 22210．求直线3x1?x2?6x3?0关于二阶曲线X1?X2?2X1X2?2X1X3?6X2X3?0

2

的极点。

11．求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点2u1?3u2?u3?0 的直线的坐标。 12．求点P(5,2,7)关于二阶曲线2X1?3X2?X3?6X1X2?2X1X3?4X1X3?0的极线方程。

13．求直线3X?Y?0上的无穷远点的坐标。 14．求4直线(l1l2,l3l4)的交比，其中l1,l2,l3,l4分别为 x?y?0,2222x?y?0,x?y?0,3x?y?0.

15．求射影对应式，使直线L上的坐标是0,1,?3的三点对应直线L?上的坐标为0,2,?6的三点。

16．求点(6,4)关于二阶曲线2x?6y?6x?2y?0的极线方程。

17．求直线x1?x2?4x3?0上无穷远点的齐次坐标。 18．设点A(1,1,1),22B(1,?1,1),C(1,0,1),(AB,CD)?2，求点D的坐标。

22219．求点P(1,?1,0)关于二阶曲线3X1?5X2?X3?7X1X2?4X1X3?5X2X3?0的极线方程。

20．求连接(1?i,2?i,1)与(1?i,2?i,1)的直线方程。

21．求射影对应式，使直线L上的坐标是0,2,?1的三点对应直线L?上的坐标为1,?3,0的三点。

22．求由两对对应元素2与?1，?2与?所决定的对合方程。 23．求点P(2,1,1)关于二阶曲线4X1?3X1X2?X2?0的极线方程。 24.求一仿射变换，它使直线x?2y?1?0上的每个点都不变，且使点（1,-1）

变为（-1，2）

25.经过A(?3,2)和B(6,1)的直线AB与直线x?3y?6?0相交于P，求 (ABP)

三、证明题

1．设P、A、P′与Q、B、Q′分别在不同的两直线上，且点AP×BQ、AQ×BP′、AQ′×BP共线，则PQ′与P′Q的交点在AB上。

3

22

2．求证：u1?3u1u2?u2?0决定的点在相互垂直的两条直线上。

3．已知共面三点形ABC与A?B?C?是透视的，求证六直线AB?,AC?,BC?,BA?,CA?,CB?属于同一个二级曲线。

4．给定直线p上四个不同点A,B,C,D，建立一个射影对应使得

22p(A,B,C,D)?p(C,D,A,B)

5．设四点P1(3,1),P2(7,5),Q1(6,4),Q2(9,7)，求证：(P1P2,Q1Q2)??1。

6．设A,B在二阶曲线c上，C,D不在c上，AC,BD分别交c于P,Q；AD,BC分别交c于U,V。求证：CD,PQ,UV共点。

7．直线AB和CD交于U，AC和BD交于V，U、V分别交AD、BC于F、G，BF交AC于L。求证：LG、CF、AU交于一点。

8．在欧氏平面内，设?ABC的高为AD、BE、CF，又BC与EF交于X，CA与FD交于Y，AB与DE交于Z。证明：三点X、Y、Z共线。

9．设直线OX与三点形ABC三边BC,CA,AB分别交于A?,B?,C?，证明：

O(AB,CX)?(A?B?,C?O)

10．设三点形ABC与A'B'C'是透视的，BC'与B'C，CA'与C'A，AB'与A'B分别交于

L,M,N。证明BC,B'C',MN三线共点。

11．给定直线p上四个不同点A,B,C,D，建立一个射影对应使得

p(A,B,C,D)?p(B,A,D,C)

12.求证:点 A(1,2,?1),B(?1,1,2),C(3,0,5)三点共线，并求t,s

使ci?tai?sbi,(i?1,2,3) 13.已知直线L1,L2,L3,L4的方程

分别为：2x?y?1?0,3x?y?2?0,7x?y?0,5x?1?0 求证四直线共点，并求(L1L2,L3L4)

四、综合题

1．作图证明：(1,2,3,4)?(3,4,1,2)。

4

2．作已知点P关于二阶曲线C的极线。 P

3．作已知直线p关于二阶曲线c的极点。

4．作出下图的对偶图形。

5．作出下图的对偶图形。

C c p

6．作图证明：给定直线p上四个不同点A,B,C,D，建立一个射影对应使得

p(A,B,C,D)?p(C,D,A,B)

7．已知P点在二阶曲线上，求作点P的极线。 8．给定二阶曲线上5点，求作曲线上另外一些点。

《高等几何》练习题库参考答案

一 填空题 1．13，5，5

2．定义叙述，公理列举，定理的叙述和证明 3．4，16

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gj6t.html