材料力学计算题库

第一章 绪论

【例1-1】 钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m-m上的内力。 【解】（1）沿m-m 截面假想地将钻床分成两部分。取m-m 截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。

（2）为保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。 （3）由平衡条件

∴

【例1-2】 图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长=400mm，受力后沿x方向均匀伸长Δ=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。

【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正

应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。

x方向

【例1-3】 图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD杆下移Δb=0.025，试求薄板中a点的剪应变。

【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。

第二章 拉伸、压缩与剪切

【例题2.1】 一等直杆所受外力如图2. 1 (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。

解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2. 1 (b)所示)，假定轴力FN1为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程

?Fx?0，FN1?30?0

得 FN1?30kN

结果为正值，故FN1为拉力。

同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2. 1 (c)所示)为

FN2?30?40?70(kN)

在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2. 1 (d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程

?Fx?0，?FN3?30?20?0

得 FN3??30?20??10(kN)

结果为负值，说明FN3为压力。

同理，可得DE段内任一横截面上的轴力FN4为

FN4?20kN

40kN80kN40kNC40kNAF(a)30kNA(a)30kN80kND80kN20kNC20kN30kNE30kND30kNB20kN

(b)(a)30kN30kN30kN(a)40kN40kN30kN80kN20kNE(a)

30kNB80kN(b)B(b)30kNA30kNBD(a)(c)A(b)30kNA30kN30kNB30kN(b)(c)F(c)A30kN40kN(d)(c)30kN30kN(e)40kN(b)(a)(d)FN2F(b) 40kN80kNDEC30kN40kN(c)FFN340kN30kNC20kNCFN1EDE

20kNFN2E30kN30kNB30kND20kN30kN20kN40kNCFN2FN3(d)FN2FN2F

(c)

30kNFN2FN4FN320kN30kNFN420kN20kN(d)(d)(c)(f)30kN(e)FN370kN30kN20kN20kN70kNFN340kN(e)30kN(e)(e)(d)(f)70kN30kNFN4FN420kN70kN30kN30kNFN320kN10kN(d)

20kNFN420kN 20kN20kN(f)70kN30kN (e) 20kNFN4(f)(f)(e)30kN10kN20kN20kN (f)30kN10kN70kN10kN20kN10kN20kN10kN

(f)

图2. 1 例题2.1图

【例题2.2】 一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知P?40kN。试求荷载引起的最大工作应力。

解：首先作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。

Ι、ΙΙ两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得

FN1?40?103N?1????0.69(MPa)(压应力)

A1(240mm)?(240mm)FN2?120?103N?2????0.88(MPa)(压应力)

A2(370mm)?(370mm)

由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为0.88MPa，是压应力。 【例题2.3】 一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为l，截面面积为A，材料容重为?。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。

解：应用截面法，在距下端距离为x处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b)所示)，设下段杆的重量为G(x)，则有

G(x)?xA? (a)

设横截面上的轴力为FN(x)，则由平衡条件

?F将(a)式值代入(b)式，得

x?0，FN(x)?G(x)?0 (b)

FN(x)?A???x (c)

即FN(x)为x的线性函数。

当x?0时，FN(0)?0

当x?l时，FN(l)?FN,max?A???l

图2.8 例题2.2图 图2.9 例题2.3图

(a) (b) (a) (b) (c)

式中FN,max为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为

?(x)?即应力沿杆长是x的线性函数。

当x?0时，?(0)?0

当x?l时，?(l)??max???l

FN(x)???x (d) A

式中?max为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。

【例题2.4】 气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示，内径D?180mm，壁厚??8mm，气压p?2MPa，活塞杆直径d?10mm，试求汽缸横截面B—B及纵向截面C—C上的 应力。

解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。

(1) 求横截面B—B上的应力。取B—B截面右侧部分为研究对象(如图2.10(c)所示)，由平衡条件

??Fx?0，4(D2?d2)p?FN?0

当D??d时，得B—B截面上的轴力为

FN??2Dp 4B—B截面的面积为

A???(D??)?????(D???2)??D?

那么横截面B—B上的应力为

?2FN4DpDp180?2?x?????11.25(MPa)

A?D?4?4?8?x称为薄壁圆筒的轴向应力。

图2.10 例题2.4图

(2) 求纵截面C—C上的应力。取长为l的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示)，由平衡条件

??D?F?0p??d??l，?y??sin??2FN1?0 ?0?2?得C—C截面上的内力为

2FN1?plD

C—C截面的面积为

A1?2l?

当D≥20?时，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面C—C上的应力为

2FplDpD180?2?y?N1????22.5(MPa)

A12l?2?2?8?y称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果表明：周向应力是轴向应力的两倍。

【例题2.7】 螺纹内径d?15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为F?22kN。若已知

螺栓的许用应力[?]?150MPa，试校核螺栓的强度是否足够。

解：

(1) 确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有

FN?F?22kN

(2) 计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1)，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为

FNF4?22?103?????124.6(MPa)

A?d23.14?1524(3) 应用强度条件进行校核。已知许用应力为

[?]?150(MPa) 螺栓横截面上的实际应力为

??124.6MPa＜[?]?150(MPa)

所以，螺栓的强度是足够的。

【例题2.8】 一钢筋混凝土组合屋架，如图2.25(a)所示，受均布荷载q作用，屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。已知：q?10kN/m，l?8.8m，h?1.6m，钢的许用应力[?]?170MPa，试设计钢拉杆AB的 直径。

解：

(1) 求支反力FA和FB，因屋架及荷载左右对称，所以

11FA?FB?ql??10?8.8?44(kN)

22

图2.25 例题2.8图

(2) 用截面法求拉杆内力FNAB，取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)所示。由

?M得

FNABCll?0，FA?4.4?q???FNAB?1.6?0

24144?4.4??10?8.821??8??FA?4.4?ql2?/1.6??60.5(kN) 81.6??(3) 设计Q235钢拉杆的直径。

由强度条件

FNAB4FNAB?≤[?] A?d2得

4FNAB4?60.5?103d≥??21.29(mm)

?[?]??170【例题2.9】 防水闸门用一排支杆支撑着，如图2.26(a)所示，AB为其中一根支撑杆。

各杆为d?100mm的圆木，其许用应力[?]?10MPa。试求支杆间的最大距离。

解：这是一个实际问题，在设计计算过程中首先需要进行适当地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算。

(1) 计算简图。防水闸门在水压作用下可以稍有转动，下端可近似地视为铰链约束。AB杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两端均允许有转动，故亦可简化为铰链约束。于是AB杆的计算简图如图2.26(b)所示。

图2.26 例题2.9图

(2) 计算AB杆的内力。水压力通过防水闸门传递到AB杆上，如图2.26(a)中阴影部分所示，每根支撑杆所承受的总水压力为

1FP??h2b

2其中?为水的容重，其值为10kN/m3；h为水深，其值为3m；b为两支撑杆中心线之间的距离。于是有

1FP??10?103?32?b?45?103b

2根据如图2.26(c)所示的受力图，由平衡条件

?M其中

C?0，?FP?1?FNAB?CD?0

CD?3?sin??3?43?422?2.4(m)

得

FP45?103bFNAB???18.75?103b

2.42.4(3) 根据AB杆的强度条件确定间距b的值。 由强度条件

FNAB4?18.75?103b???≤[?]

A??d2得

[?]???d210?106?3.14?0.12b≤??4.19(m)

4?18.75?1034?18.75?103【例题2.10】 三角架ABC由AC和BC两根杆组成，如图2.34(a)所示。杆AC由两根No.14a的槽钢组成，许用应力[?]?160MPa；杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为[?]?100MPa。求荷载F的许可值[F]。

(a) (b)

图2.34 例题2.10图

解：

(1) 求两杆内力与力F的关系。取节点C为研究对象，其受力如图2.34(b)所示。节点C的平衡方程为

?Fx?0，FNBC?cos?F解得

y???FNAC?cos?0 66???FNAC?sin?F?0 66?0，FNBC?sin FNBC?FNAC?F (a)

(2) 计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆AC和BC的横截面面积分别为 AAC?18.51?10?4?2?37.02?10?4m2，ABC?42?10?4m2。根据强度条件

??得两杆的许可轴力为

FN≤[?] A[FN]AC?(160?106)?(37.02?10?4)?592.32?103(N)?592.32(kN) [FN]BC?(100?106)?(42?10?4)?420?103(N)?420(kN)

(3) 求许可荷载。将[FN]AC和[FN]BC分别代入(a)式，便得到按各杆强度要求所算出的许可荷载为

[F]AC?[FN]AC?592.32kN [F]BC?[FN]BC?420kN

所以该结构的许可荷载应取[F]?420kN。

【例题2.5】 已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量E?200GPa，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：

(1) 作轴力图；(2) 计算杆的总伸长量。

图2.37 例题2.5图

解：

(1) 画轴力图。因为在A、B、C、D处都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。应用截面法得

FNAB?300?100?300??100(kN) FNBC?300?100?200(kN) FNCD?300(kN)

轴力图如图2.37(b)所示。

(2) 求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为

FNABlAB?100?103?300?lAB????0.1(mm) 3EAAB200?10?1500?lBCFNBClBC200?103?300???0.2(mm) EABC200?103?1500FNCDlCD300?103?300???0.45(mm) EACD200?103?1000?lCD杆的总伸长量为

?l???li??0.1?0.2?0.45?0.55(mm)

i?13【例题2.6】 如图2.38(a)所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接，在A点作用有铅垂

向下的力F。已知F?30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，钢的弹性模量E?200GPa。试求A点在铅垂方向的位移。

图2.38 例题2.6图

解：

(1) 利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A点有位移，为求出各杆的伸长，先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。以节点A为研究对象，受力如图2.38(b)所示，由节点A的平衡条件，有

?Fx?0，FNCsin30°?FNBsin45°?0 ?0，FNCcos30°?FNBcos45°?F?0

?F解得各杆的轴力为

yFNB?0.518F?15.53(kN)， FNC?0.73F2?21.9 6kN(2) 计算杆AB和AC的伸长。利用胡克定律，有

FNBlB15.53?103?2?lB???1.399(mm)

?EAB200?109??(0.01)24FNClC21.96?103?0.8?2?lC???1.142(mm)

?EAC92200?10??(0.014)4(3) 利用图解法求A点在铅垂方向的位移。如图2.38(c)所示，分别过AB和AC伸长后的点A1和A2作二杆的垂线，相交于点A??，再过点A??作水平线，与过点A的铅垂线交于点

A?，则AA?便是点A的铅垂位移。由图中的几何关系得

?l?lB?cos(45°??)， C?cos(3°?0? )AA??AA??可得

tan??0.12， ??6.8°7

AA???1.778(mm)

所以点A的铅垂位移为

??AA??cos??1.778cos6.87°?1.765(mm)

从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动，而变形是指

构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。

【例题2.11】 两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力F(如图2.37(a)所示)，杆的拉压刚度为EA，试求两端的支反力。

解：根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下列3个方面来分析。

图2.38 例题2.11图

(1) 静力方面。杆的受力如图2.38(b)所示。可写出一个平衡方程为

?Fy?0，FRA?FRB?F?0 (a)

(2) 几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B为多余约束，暂时将它解除，以未知力FRB来代替此约束对杆AB的作用，则得一静定杆(如图2.38(c)所示)，受已知力F和未知力FRB作用，并引起变形。设杆由力F引起的变形为?lF(如图2.38(d)所示)，由FRB引起的变形为?lB(如图2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移动，由此应有下列几何关系

?lF??lB?0 (b)

(3) 物理方面。由胡克定律，有

?lF?将式(c)代入式(b)即得补充方程

FlFa，?lB??RB (c) EAEA

FaFRBl??0 (d) EAEA最后，联立解方程(a)和(d)得

FbFa，FRB? ll求出反力后，即可用截面法分别求得AC段和BC段的轴力。

FRA?【例题2.12】 有一钢筋混凝土立柱，受轴向压力P作用，如图2.39所示。E1、A1和E2、A2分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为

多少？

解：设钢筋和混凝土的内力分别为FN1和FN2，利用截面法，根据平衡方程

?Fy?0，FN1?FN2?P (a)

这是一次超静定问题，必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。由于立柱受力后缩短?l，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为

?l1??l2 (b)

由物理关系知

?l1?FN1lFl ， ?l2?N2 (c) E1A1E2A2将式(c)代入式(b)得到补充方程为 FN1lFN2l (d) ?E1A1E2A2联立解方程(a)和(d)得

FN1?E1A1P?E1A1?E2A2E2A2P?E1A1?E2A2P E2A21?E1A1P E1A11?E2A2

图2.39 例题2.12图

FN2?可见

FN1E1A1 ?FN2E2A2即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压)刚度之比。

FE1又 ?1?N1?P

A1E1A1?E2A2?2?可见

FN2E2?P A2E1A1?E2A2?1E1? ?2E2即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。

【例题2.14】 如图2.42(a)所示，①、②、③杆用铰相连接，当温度升高?t?20°C时，求各杆的温度应力。已知：杆①与杆②由铜制成，E1?E2?100GPa，??30°，线膨胀 系

数?1??2?16.5?10?6/(°C)，A1?A2?200mm2；杆③由钢制成，其长度l?1m，E3?200GPa，A3?100mm2，?3?12.5?10?6/(°C)。

解：设FN1、FN2、FN3分别代表三杆因温度升高所产生的内力，假设均为拉力，考虑A铰的平衡(如图2.42(b)所示)，则有

图2.42 例题2.14图

?F?F变形几何关系为

x?0，FN1sin??FN2sin??0，得FN1?FN2 (a) ?0，2FN1cos??FN3?0，得FN1??yFN3 (b) 2cos??l1??l3cos? (c)

物理关系(温度变形与内力弹性变形)为

?l1??1?tl?cos?FN1lcos? (d) E1A1?l3??3?tl?FN1l (e) E3A3将(d)、(e)两式代入(c)得

?1?t?FN1lFl?l????3?tl?N3?cos? (f) cos?E1A1cos??E3A3?联立求解(a)、(b)、(f)三式，得各杆轴力 FN3?1492N FN1?FN2??FN3??860N 2cos?杆①与杆②承受的是压力，杆③承受的是拉力，各杆的温度应力为

F860?1??2?N1????4.3(MPa)

A1200F1492?3?N3??14.92(MPa)

A3100【例题2.13】 两铸件用两钢杆1、2连接，其间距为l?200mm(如图41(a)所示)现需将

制造的过长?e?0.11mm的铜杆3(如图2.41(b)所示)装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行

且有间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d?10mm，铜杆横截面为

20mm?30mm的矩形，钢的弹性模量E?210GPa，铜的弹性模量E3?100GPa。铸铁很厚，

其变形可略去不计。

解：本题中三根杆的轴力均为未知，但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。

因铸铁可视为刚体，其变形协调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构对称于杆3，故其变形关系如图2.41(c)所示。从而可得变形几何方程为

?l3??e??l1 (a)

图2.41 例题2.13图

物理关系为

FN1l (b) EAFl ?l3?N3 (c)

E3A3?l1?以上两式中的A和A3分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式(c)中的l在理论上应是杆3的原长l??e，但由于?e与l相比甚小，故用l代替。

将(b)、(c)两式代入式(a)，即得补充方程

FN3lFl??e?N1 (d) E3A3EA在建立平衡方程时，由于上面已判定1、2两杆伸长而杆3缩短，故须相应地假设杆1、

2的轴力为拉力而杆3的轴力为压力。于是，铸铁的受力如图2.41(d)所示。由对称关系可知

FN1?FN2 (e)

另一平衡方程为

?Fx?0，FN3?FN1?FN2?0 (f)

联解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得装配内力为

??eEA?1??l?1?2EA?E3A3???? ???FN1?FN2FN3????eE3A3?1???

EAl33???1???2EA?所得结果均为正，说明原先假定杆1、2为拉力和杆3为压力是正确的。

各杆的装配应力为

?FN1?eE?1??1??2??Al?1?2EA?E3A3?????????????(0.11?10?3m)?(210?109Pa)?1? ?????0.2m2?(210?109Pa)??(10?10?3m)2??41???9?3?3?(100?10Pa)?(20?10m)?(30?10m)??74.53?10?6Pa?74.53(MPa)????F?eE31?3?N3????19.51(MPa)

E3A3?A3l??1???2EA?【例题3.6】 两块钢板用三个直径相同的铆钉连接，如图2.44(a)所示。已知钢板宽度

b?100mm，厚度t?10mm，铆钉直径d?20mm，铆钉许用切应力[?]?100MPa，许用挤压应力[?bs]?300MPa，钢板许用拉应力[?]?160MPa。试求许可荷载F。

图2.44 例题3.6图

解：

(1) 按剪切强度条件求F。

由于各铆钉的材料和直径均相同，且外力作用线通过铆钉组受剪面的形心，可以假定各铆钉所受剪力相同。因此，铆钉及连接板的受力情况如图2.44(b)所示。每个铆钉所受的剪力为

FS?根据剪切强度条件式(3-17)

F 3??可得

FS≤[?] AS?d23.14?202F≤3[?]?3?100??94200N?94.2kN

44(2) 按挤压强度条件求F。

由上述分析可知，每个铆钉承受的挤压力为

Fbs?根据挤压强度条件式(3-19)

F 3?bs?可得

Fbs≤[?bs] AbsF≤3??bs?Abs?3??bs?dt?3?300?20?10?180000N?180(kN)

(3) 按连接板抗拉强度求F。

由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如图2.44(b)所示的是上板的受力情况及轴力图。1—1截面内力最大而截面面积最小，为危险截面，则有

FF??N1?1?≤[?]

A1?1A1?1由此可得

F≤[?](b?d)t?160?(100?20)?10?128000N?128kN

根据以上计算结果，应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载。故取

[F]?94.2kN

【例题3.7】 两块钢板用铆钉对接，如图2.47(a)所示。已知主板厚度t1?15mm，盖板厚度t2?10mm，主板和盖板的宽度b?150mm，铆钉直径d?25mm。铆钉的许用切应力

????100MPa，试对此铆接进行校核。

解：

(1) 校核铆钉的剪切强度。此结构为对接接头。铆钉和主板、盖板的受力情况如图2.47(b)、图2.47(c)所示。每个铆钉有两个剪切面，每个铆钉的剪切面所承受的剪力为

FS?FF? 2n6

图2.47 例题3.7图

根据剪切强度条件式(3-17)

FSF/6300?103?????101.9(MPa)＞[?]

AS?d26???25244超过许用切应力1.9%，这在工程上是允许的，故安全。

(2) 校核挤压强度。由于每个铆钉有两个剪切面，铆钉有三段受挤压，上、下盖板厚度相同，所受挤压力也相同。而主板厚度为盖板的1.5倍，所受挤压力却为盖板的2倍，故应该校核中段挤压强度。根据挤压强度条件式(3-19)

FbsF/3300?103?bs????266.67(MPa)＜[?bs]

Absdt13?25?15剪切、挤压强度校核结果表明，铆钉安全。

(3) 校核连接板的强度。为了校核连接板的强度，分别画出一块主板和一块盖板的受力图及轴力图，如图2.47(b)和图2.47(c)所示。

主板在1—1截面所受轴力FN1?1?F，为危险截面，即有

FN1?1F300?103?1?1????160(MPa)?[?]

A1?1(b?d)t1(150?25)?15主板在2—2截面所受轴力FN2?2?有

2F，但横截面也较1—1截面为小，所以也应校核，3?2?2FN2?22F/32?300?103????133.33(MPa)＜??? A2?2(b?2d)t13?(150?2?25)?15盖板在3—3截面受轴力FN3?3?F，横截面被两个铆钉孔削弱，应该校核，有 2?3?3FN3?3F/2300?103????150(MPa)＜[?] A3?3(b?2d)t22?(150?2?25)?10结果表明，连接板安全。

第三章 扭转

【例题3.1】 传动轴如图3.9(a)所示，其转速n?200r/min，功率由A 轮输入，B、C两轮输出。若不计轴承摩擦所耗的功率，已知：P1?500kW，P2?150kW，P3?150kW及P4?200kW。试作轴的扭矩图。

图3.9 例题3.1图

解：

(1) 计算外力偶矩。各轮作用于轴上的外力偶矩分别为

500??3 M1??9550??N?m?23.88?10N?m?23.88kN?m

200??150??3 M2?M3??9550??N?m?7.16?10N?m?7.16kN?m

200??200??3 M4??9550??N?m?9.55?10N?m?9.55kN?m

200??(2) 由轴的计算简图(如图3.9(b)所示)，计算各段轴的扭矩。先计算CA段内任一横截面2—2上的扭矩。沿截面2—2将轴截开，并研究左边一段的平衡，由图3.9(c)可知

?Mx?0，T2?M2?M3?0

得 T2??M2?M3?1?4.32kN? m同理，在BC段内 T1??M2??7.16kN?m 在AD段内 T3?M4?9.55kN?m

(3) 根据以上数据，作扭矩图(如图3.1(d)所示)。由扭矩图可知，Tmax发生在CA段内，其值为14.32kN?m。

【例题3.2】 某传动轴，轴内的最大扭矩T?1.5kN?m，若许用切应力[?]=50MPa，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。

(1) 实心圆截面轴的直径d1。

(2) 空心圆截面轴，其内、外径之比为d/D?0.9。 解：

(1) 确定实心圆轴的直径。由强度条件(3-13)式得

T WP≥max

[?]?d13而实心圆轴的扭转截面系数为 WP?

16那么，实心圆轴的直径为

16T316?(1.5?106N?mm)d1≥3??53.5mm

?[?]3.14?50MPa(2) 确定空心圆轴的内、外径。由扭转强度条件以及空心圆轴的扭转截面系数可知，空

心圆轴的外径为

16T16?(1.5?106N?mm)D≥3?3?76.3(mm)

?(1??4)[?]3.14?(1?0.94)?50MPa而其内径为

d?0.9D?0.9?76.3mm?68.7mm

(3) 重量比较。上述空心与实心圆轴的长度与材料均相同，所以，二者的重量之比?等

于其横截面之比，即

?(D2?d2)476.32?68.72???2??0.385

4?d153.52上述数据充分说明，空心轴远比实心轴轻。

【例题3.3】 阶梯形圆轴如图3.18(a)所示，AB段直径d1?100mm，BC段直径d2?80mm。扭转力偶矩MA?14kN?m，MB?22kN?m，MC?8kN?m。已知材料的许用

切应力[?]?85MPa，试校核该轴的强度。

解：

(1) 作扭矩图。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩图如图3.18(b)所示。 (2) 强度校核。由于两段轴的直径不同，因此需分别校核两段轴的强度。 AB段 ?1,maxT114?106N?mm???71.34(MPa)＜[?]

?WP1?(100mm)316T28?106N?mm???79.62(MPa)＜[?]

?WP23?(80mm)16BC段 ?2,max

图3.18 例题3.3图

因此，该轴满足强度要求。

【例题3.4】 一汽车传动轴简图如图3.19(a)所示，转动时输入的力偶矩Me? 轴的内外直径之比??9.56kN?m，

1

。钢的许用切应力[?]?40MPa，切变模量G? 80GPa，2

许可单位长度扭转角[?]?0.3()/m。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。

图3.19 例题3.4图

解：

(1) 求扭矩T。用截面法截取左段为脱离体(如图3.19(b)所示)，根据平衡条件得

T?Me?9.56kN?m

(2) 根据强度条件确定轴的外径。

?D3?D34由 WP?(1??)?1616和

Tmax≤[?] WP??1?4??D315? ?1?????21616??????16T16?(9.56?103N?m)?16?3?109?10?3m?109mm 得 D≥346?(1??)[?]15?(40?10Pa)(3) 根据刚度条件确定轴的外径。

4?D4?D4??1???D4154由 IP?(1??)?? ?1?????3216?23216?????和 得

Tmax180?≤[?] GIP?D≥41801???[?]G?(1??4)32?T

32?(9.56?103N?m)?161801 ?4??(80?109Pa)??15?0.3(°)/m?125.5?10?3m?125.5mm所以，空心圆轴的外径不能小于125.5mm，内径不能小于62.75mm。

第四章 弯曲内力

【例题4.1】试求图4.5(a)所示连续梁的支反力。

解：静定梁的AC段为基本梁或主梁，CB段为副梁。求支反力时，应先取副梁为脱离体求出支反力FB；然后，取整体为研究对象，求出A处的支反力FAx，FAy，MA。

图4.5 例题4.1图

(1) 取CB梁为脱离体，如图4.5(b)所示，由平衡方程 得

FB?29kN (2) 取整体为脱离体，如图4.5(a)所示，由平衡方程 得

FAy?81kN

?MC?0，FB?5?Me?q?3?2.5?0

?Fx?0，FAx?0

?Fy?0，FAy?FB?F?q?3?0

?MA?0，MRA?96.5kN?m

上述求得的约束反力为正值，说明假定的约束反力方向与实际情况一致。为了校核所得支反力是否正确，也可取AC梁为脱离体，验证所求的支反力是否满足平衡条件。

【例题4.2】 梁的计算简图如图4.8(a)所示。已知F1、F2，且F2?F1，以及尺寸a、b、

l、c和d。试求梁在E、F点处横截面上的剪力和弯矩。

解：为求梁横截面上的内力——剪力和弯矩，首先求出支反力FA和FB(如图4.8(a)所示)。由平衡方程

?M和

解得

FA?A?0，FBl?F1a?F2b?0

?MB?0，?FAl?F1(l?a)?F2(l?b)?0

F1(l?a)?F2(l?b)Fa?F2b，FB?1

ll

图4.8 例题4.2图

当计算横截面E上的剪力FSE和弯矩ME时，将梁沿横截面E假想地截开，研究其左段梁，并假定FSE和ME均为正向，如图4.8(b)所示。由梁段的平衡方程

?F可得

y?0，FA?FSE?0

FSE?FA

由 可得

?ME?0，ME?FAc?0

ME?FAc

结果为正，说明假定的剪力和弯矩的指向和转向正确，即均为正值。读者可以从右段梁(如图4.8(c)所示)来计算FSE和ME以验算上述结果。

计算横截面F上的剪力FSF和弯矩MF时，将梁沿横截面F假想地截开，研究其右段梁，并假定FSF和MF均为正向，如图4.8(d)所示。由平衡方程

?F可得

y?0，FSF?FB?0

FSF??FB

由 可得

MF?FBd

?MF?0， ?MF?FBd?0

结果为负，说明与假定的指向相反(FSF)；结果为正(MF)，说明假定的转向正确。将FA和FB代入上述各式即可确定E、F截面的内力值。

【例题4.3】 如图4.9(a)所示为一在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。已知最大荷载集度q0，几何尺寸如图所示。试求C、B两点处横截面上的剪力和弯矩。

图4.9 例题4.3图

解：当求悬臂梁横截面上的内力时，若取包含自由端的截面一侧的梁段来计算，则不必求出支反力。用求内力的简便方法，可直接写出横截面C上的剪力FSC和弯矩MC。

FSC??Fi??i?1nqCa 2MC??qC1qa?a??Ca2 236a有三角形比例关系，可得 qC?q0， 则

lq0a2 FSC??2lq0a3 MC??

6l【例题4.4】 如图4.11(a)所示的悬臂梁，自由端处受一集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解：为计算方便，将坐标原点取在梁的右端。利用求内力的简便方法，考虑任意截面x的右侧梁段，则可写出任意横截面上的剪力和弯矩方程：

FS(x)?F (a)

M(x)??Fx (0≤x≤l) (b)

由(a)式可见，剪力图与x无关，是常值，即为水平直线，只需确定线上一点，例如x?0处，FS?F，即可画出剪力图(如图4.11(b)所示)。

由式(b)可知，弯矩是x的一次函数，弯矩图是一斜直线，因此，只需确定线上两点，如x?0处，M?0，x?l处，M??Fl，即可绘出弯矩图(如图4.11(c)所示)。

图4.11 例题4.4图

【例题4.5】 如图4.12(a)所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解：对于简支梁，须先计算其支反力。由于荷载及支反力均对称于梁跨的中点，因此，两支反力(如图4.12(a)所示)相等。

FA?FB?任意横截面x处的剪力和弯矩方程可写成

ql 2FS(x)?FA?qx?ql?qx (0≤x≤l) 2xqlxqx2 (0≤x≤l) M(x)?FAx?qx???222由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。仿照例题4.4中的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图4.12(b)和图4.12(c)所示)。斜直线确定线上两点，而抛物线需要确定三个点以上。

图4.12 例题4.5图

由内力图可见，梁在梁跨中点横截面上的弯矩值为最大，MmaxFS?0；两支座内侧横截面上的剪力值为最大，FS,max?ql2，而该截面上的?8ql(正值，负值)。 2【例题4.6】 如图4.13(a)所示的简支梁在C点处受集中荷载力F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解：首先由平衡方程?MB?0和?MA?0分别算得支反力(如图4.13(a)所示)为

FbFa，FB?

ll由于梁在C点处有集中荷载力F的作用，显然，在集中荷载两侧的梁段，其剪力和弯

FA?

矩方程均不相同，故需将梁分为AC和CB两段，分别写出其剪力和弯矩方程。

图4.13 例题4.6图

对于AC段梁，其剪力和弯矩方程分别为

FS(x)?FA (0≤x≤a) (a) M(x)?FAx (0≤x≤a) (b)

对于CB段梁，剪力和弯矩方程为

FS(x)?FA?F??F(l?b)Fa (a≤x≤l) (c) ??llFa(l?x) (a≤x≤l) (d) lM(x)?FAx?F(x?a)?由(a)、(c)两式可知，左、右两梁段的剪力图各为一条平行于x轴的直线。由(b)、(d)两式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图如图4.13(b)和图4.13(c)所示。

由图可见，在b>a的情况下，AC段梁任一横截面上的剪力值为最大，FS,max?集中荷载作用处横截面上的弯矩为最大，Mmax?上的剪力值不相等。

【例题4.7】 图4.14(a)所示的简支梁在C点处受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解：由于梁上只有一个外力偶作用，因此与之平衡的约束反力也一定构成一反力偶，即A、B处的约束反力为

MMFA?e，FB?e

ll由于力偶不影响剪力，故全梁可由一个剪力方程表示，即

M FS(x)?FA?e (0≤x?a) (a)

l而弯矩则要分段建立。

MAC段： M(x)?FA?ex (0≤x?a) (b)

lFb；而lFab；在集中荷载作用处左、右两侧截面l

Me(l?x) (a?x≤l) (c) l由式(a)可知，整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。由(b)、(c)两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一条斜直线。根据各方程的适用范围，就可分别绘出梁的剪力图和弯矩图(如图4.14(b)和图4.14(c)所示)。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值

Mb有突变。若b>a，则最大弯矩发生在集中力偶作用处的右侧横截面上，Mmax?e(负值)。

lCB段： M(x)?FAx?Me??

图4.14 例题4.7图

【例题4.9】 图4.19(a)所示为一悬臂刚架，受力如图所示。试作刚架的内力图。

解：计算内力时，一般应先求支反力。但对于悬臂梁或悬臂刚架，可以取包含自由端部分为研究对象，这样就可以不求支反力。下面分别列出各段杆的内力方程为

FN(x)?0??FS(x)?qx??BC段： ? (0≤x≤l)

2qx?M(x)??2?????FS(x1)?F? BA段： ? (0≤x1≤l)2?qlM(x)??Fx1?2??FN(x1)??ql在BA段中假定截面弯矩使外侧受拉为正。

根据各段的内力方程，即可绘出轴力、剪力和弯矩图。如图4.19(b)、图4.19(c)和图4.19(d)所示。

qqlBxCqlqlAll (a) (a) (b) (b)xqlFN 图FS 图

(c)图4.19 例题4.9图

ql22qlxM图FN 图FS 图l

(b)(c)322ql

(c) (d) (d)

图4.19 (续)

【例题4.10】 一端固定的四分之一圆环在其轴线平面内受集中荷载F作用，如图4.20(a)所示。试作曲杆的弯矩图。

解：对于环状曲杆，应用极坐标表示其横截面位置。取环的中心O为极点，以OB为极轴，并用?表示横截面的位置(如图4.20(a)所示)。对于曲杆，弯矩图仍画在受拉侧。曲杆的弯矩方程为

?) 2在上式所适用的范围内，对?取不同的值，算出各相应横截面上的弯矩，连接这些点，

M(?)?Fx?FRsin? (0≤?≤即为曲杆的弯矩图(如图4.20(b)所示)，由图4.20可见，曲杆的最大弯矩在固定端处的A截面上，其值为FR。

xFBmφM图RACFRm

(a) (b) (a) (b)图4.20 例题 4.10 图

第五章 弯曲应力

【例题5.1】 受均布荷载作用的工字形截面等直外伸梁如图5.2(a)所示。试求当最大正应力?max为最小时的支座位置。

解：首先作梁的弯矩图(如图5.2(b)所示)，可见，支座位置a直接影响支座A或B处截面及跨度中央截面C上的弯矩值。由于工字形截面的中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应

M力相等，因此当截面的最大正、负弯矩相等时，梁的最大弯矩的绝对值为最小，即?max?maxWz为最小。建立 Mmax??Mmax

?

图5.2 例题5.1图

ql2qlaqa2 ??822得 a?(?1?2)l2 由于a应为正值，所以上式中根号应取正号，从而解得

a?0.207l

【例题5.2】 跨长l?2m的铸铁梁受力如图5.3(a)所示。已知材料的拉、压许用应力分别为[?t]?30MPa和[?c]?90MPa。试根据截面最为合适的要求，确定T型截面梁横截面的尺寸?(如图5.3(b)所示)，并校核梁的强度。

图5.3 例题5.2图

解：要使截面最为合理，应使梁的同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力(如 图

My15.3(c)所示)之比?t,max?c,ma与相应的许用应力之比和 [?t]/[?c]相等。由于?t,max?xIz

?c,max?[?]301My2，并已知t??，所以

[?c]903Iz

?t,maxy11?? (a) ?c,maxy23式(a)就是确定中性轴即形心轴位置y(如图5.3(b)所示)的条件。考虑到y1?y2?280mm(如图5.3(b)所示)，即得

y?y2?210mm (b)

显然，y值与横截面尺寸有关，根据形心坐标公式(见附录A)及如图5.3(b)中所示尺寸，并利用式(b)可列出

60??280?60??(280?60)?????60?220?280????22???? y?(280?60)???60?220 ?210mm

由此求得 ??24mm (c) 确定?后进行强度校核。为此，由平行移轴公式(见附录A)计算截面对中性轴的惯性矩Iz为

24?2203 Iz??24?220?(210?110)2?

12220?60360???220?60??280?210?? 122??2 ?99.2?106(mm)4?99.2?10?6(m)4 梁中最大弯矩在梁中点处，即

Fl80?103?2Mmax???40?103(N?m)?40(kN?m)

44于是，由式(5-7a)、式(5-7b)即得梁的最大压应力，并据此校核强度：

Mmaxy140?103?70?10?3?t,max??

Iz99.2?10?6 ?28.2?106Pa?28.2MPa?[?t]

?c,maxMmaxy240?103?210?10?3??

Iz99.2?10?6 ?84.7?106Pa?84.7MPa?[?C]

可见，梁满足强度条件。

【例题5.3】 试利用附录C的型钢表为如图5.4所示的悬臂梁选择一工字形截面。已知F?40kN，l?6m，[?]?150MPa。

图5.4 例题5.3图

解：首先作悬臂梁的弯矩图，悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，其值为

Mmax?Fl?40?103?6?240(kN?m)

应用式(5-7b)，计算梁所需的抗弯截面系数

Mmax240?103Wz≥??1.60?10?3(m3)?1600(cm3) 6[?]150?10由附录C型钢表中查得，45c号工字钢，其Wz??1570cm3与算得的Wz??1600cm3最为接近，相差不到5%，这在工程设计中是允许的，故选45c号工字钢。

【例题5.4】 一外伸铸铁梁受力如图5.5(a)所示。材料的许用拉应力为[?t]?40MPa，许用压应力为[?c]?100MPa，试按正应力强度条件校核梁的强度。

解：(1) 作梁的弯矩图。

由图5.5(c)可知，最大负弯矩在截面B上，其值为MB?20kN?m，最大正弯矩在截面E上，其值为ME?10kN?m。

图5.5 例题5.4图

(2) 确定中性轴的位置和计算截面对中性轴的惯性矩Iz。横截面形心C位于对称轴y上，C点到截面下边缘距离为

yC?Szy1CA1?y2CA2200?30?185?30?170?85??AA1?A2200?30?30?170

?139(mm)故中性轴距离底边139mm(如图5.5(b)所示)。

截面对中性轴z的惯性矩，可以利用附录A中平行移轴公式计算。

200?30330?17032Iz??200?30?46??30?170?5421212 ?40.3?10?6(m4)(3) 校核梁的强度。由于梁的截面对中性轴不对称，且正、负弯矩的数值较大，故截面

E与B都可能是危险截面，须分别算出这两个截面上的最大拉、压应力，然后校核强度。

截面B上的弯矩MB为负弯矩，故截面B上的最大拉、压应力分别发生在上、下边缘(如图5.5(d)所示)，其大小为

?t,max,BMBy220?103?61?10?3???30.3(MPa)Iz40.3?10?6

?c,max,BMBy120?103?139?10?3???69(MPa)Iz40.3?10?6截面E上的弯矩ME为正弯矩，故截面E上的最大压、拉应力分别发生在上、下边缘(如图5.5(d)所示)，其大小为

?t,max,EMEy110?103?139?10?3???34.5(MPa)Iz40.3?10?6

?c,max,EMEy210?103?61?10?3???15.1(MPa)Iz40.3?10?6比较以上计算结果，可知，该梁的最大拉应力?t,max发生在截面E下边缘各点，而最大压应力?c,max发生在截面B下边缘各点，作强度校核如下。

?t,max??t,max,E?34.5MPa?[?t]?40MPa ?c,max??c,max,B?69MPa?[?c]?90MPa所以，该梁的抗拉和抗压强度都是足够的。

【例题5.5】 如图5.12所示两端铰支的矩形截面木梁，受均布荷载作用，荷载集度q?10kN/m。已知木材的许用应力[?]?12MPa，顺纹许用应力[?]?1.5MPa，设

h3?。试b2选择木材的截面尺寸，并进行切应力的强度校核。

图5.12 例题5.5图

解：

(1) 作梁的剪力图和弯矩图。木梁的剪力图和弯矩图如图5.12(b)和图5.12(c)所示。由图可知，最大弯矩和最大的剪力分别发生在跨中截面上和支座A，B处，其值分别为

Mmax?11.25kN?m，FS,max?15kN (2) 按正应力强度条件选择截面。由弯曲正应力强度条件得 Wz≥Mmax???11.25?103??0.00094(m3) 612?10又因h?3b，则有 2bh23b2 Wz? ?68故可求得

38Wz8?0.00094??0.135(mm) b?333 h?0.2m?200mm

(3) 校核梁的切应力强度。最大切应力发生在中性层，由矩形截面梁最大切应力公 式(5-9)得

3FS,max3?15?103??? max2A 2?0.135?0.2?0.56(MPa)?[?]?1.5(M Pa)故所选木梁尺寸满足切应力强度要求。

第六章 弯曲变形

【例题6.1】 如图6.4所示一弯曲刚度为EI的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角?max。

解：由对称关系可知梁的两支反力为

FA?FB?梁的弯矩方程为

M(x)?将式(a)中的M(x)代入式(6-1b)

ql 2ql1qx?qx2?(lx?x2) (a) 222qEIw????M(x)??(xl?x2)

2

图6.4 例题6.1图

再通过两次积分，可得

q?lx2x3????C (b) EIw????2?23?q?lx3x4????Cx?D (c) EIw???2?612?在简支梁中，边界条件是左、右两铰支座处的挠度均等于零，即 在x?0处，w?0 在x?l处，w?0 将边界条件代入式(c)，可得

D?0 和

q?l4l4? EIw|x?l??????Cl?0

2?612?从而解出

ql3 C?

24于是，得梁的转角方程和挠曲线方程分别为

??w??和

q(l3?6lx2?4x3) (d) 24EIqx3(l?2lx2?x3) (e) 24EI由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点是对称的，因此梁的挠曲线也应是对称的。由图6.4可见，两支座处的转角绝对值相等，且均为最大值。分别以x?0及x?l代入 式(d)，可得最大转角值为

w? ?max?ql3??A ????24EI???B

又因挠曲线为一光滑曲线，故在对称的挠曲线中，最大挠度必在梁跨中点x?l2处。所以其最大挠度值为

wmax?wl2x?ql2?3l2l3?5ql4? ?l?2l????24EI?48?384EI【例题6.2】 如图6.5所示一弯曲刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中荷载F作用。

试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。

解：梁的两个支反力为

baFA?F，FB?F? (a)

ll对于Ⅱ和Ⅱ两段梁，其弯矩方程分别为

bM1?FAx?Fx (0≤x≤a) (b?)

lbM2?Fx?F(x?a) (a≤x≤l) (b??)

l分别求得梁段Ⅰ和Ⅱ的挠曲线微分方程及其积分，见表6.1。

表6.1 梁段Ⅰ和Ⅱ的挠曲线微分方程及其积分

梁段Ⅰ(0≤x≤a) 挠曲线微分方程： 梁段Ⅱ (a≤x≤l) 挠曲线微分方程： b????M2??Fx?F(x?a)EIw2l(c??) 积分一次： 积分一次： EIw???Fb?x?F(x?a)?C22l22(d??) 再积分一次： bx3F(x?a)3?C2x?D2 EIw2??F??l66(e??) 22????M1??FEIw1b (c?) xl

bx2?EIw1??F??C1l2(d?) 再积分一次： bx3EIw1??F??C1x?D1l6(e?)

图6.5 例题6.2图

在对梁段Ⅱ进行积分运算时，对含有(x?a)的弯矩项不要展开，而以(x?a)作为自变量进行积分，这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。

利用D点处的连续条件：

??w2?，w1?w2 在x?a处，w1将式，(d?)、(d??)和(e?)、(e??)代入上边界条件可得 C1?C2，D1?D2

如前所述，积分常数C1和D1分别等于EI?0和EIw0，因此有 C1?C2?EI?0，D1?D2?EIw0

由于图中简支梁在坐标原点处是铰支座，因此，w0?0，故D1?D2?0。另一积分常数C1?C2?EI?0，则可利用右支座处的约束条件，即在x?l处，w2?0来确定。根据这一边界条件，由梁段Ⅱ的式(e??)可得

EIw2即可求得

x?lbl3F(l?a)3??F???C2l?0

l66Fb2(l?b2) 6l将积分常数代入(d?)、(d??)、(e?)、(e??)四式，即得两段梁的转角方程和挠曲线方程，见表6.2。

表6.2 梁段Ⅰ和梁段Ⅱ的转角方程和挠曲线方程 C1?C2?EI?0?梁段Ⅰ?0≤x≤a? 转角方程： Fb???1?w12lEI?1222??3(l?b)?x???梁段Ⅱ(a≤x≤l) 转角方程： Fb?? ?2?w22lEI12?l22(x?a)?x?(l?b2)??b?3?

(f?) 挠曲线方程： Fbx2w1?[l?b2?x2] (g?) 6lEI 将x?0和x?l分别代入(f?)和(f??)两式，即得左、右两支座处截面的转角分别为

(f??) 挠曲线方程： Fb?l?w2?(x?a)3?x3?(l2?b2)x? (g??) ?6lEI?b?Fb(l2?b2)Fab(l?b) ?A??1x?0??0? ?6lEI6lEIFab(l?a) ?B??2x?l=?

6lEI当a?b时，右支座处截面的转角绝对值为最大，其值为

?max??B??Fab(l?a)

6lEI??0，由现确定梁的最大挠度。简支梁的最大挠度应在w??0处。先研究梁段Ⅰ，令w1式(f?)解得

l2?b2a(a?2b)? x1? (h) 33当a?b时，由式(h)可见x1值将小于a。由此可知，最大挠度确在梁段Ⅰ中。将x1值代入式(g?)，经简化后即得最大挠度为

wmax?wx1?x1?Fb93lEI(l2?b2)3 (i)

由式(h)可见，b值越小，则x1值越大。即荷载越靠近右支座，梁的最大挠度点离中点就越远，而且梁的最大挠度与梁跨中点挠度的差值也随之增加。在极端情况下，当b值甚小，以致b2与l2项相比可略去不计时，则从式(i)可得

Fbl2Fbl2 wmax? (j) ?0.0642?EI93EI而梁跨中点C处截面的挠度为

Fbl2Fbl2 wC? ?0.0625?16EIEI在这一极端情况下，两者相差也不超过梁跨中点挠度的3%。由此可知，在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点，其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精确度能满足工程计算的要求。

l当集中荷载F作用在简支梁的中点处，即a?b?时，则

2 ?maxFl2 ??16EIFl3 wmax?wC?

48EI【例题6.3】 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图6.6(a)所示。试按叠加原理求跨中点的挠度和支座处截面的转角?A和?B。

图6.6 例题6.3图

解：梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图6.6(b)和图6.6(c)所示。由附录D可以查出两者分别作用时梁的相应位移值，然后按叠加原理，即得所求的位移值。

中点最大挠度为

wmaxMel25ql4?? 384EIz16EI?A??Aq??AM?B??Bq??BMMlql3??e 24EIz6EIMlql3???e

24EIz3EI【例题6.4】 一弯曲刚度为EI的外伸梁受荷载如图6.7(a)所示，试按叠加原理求C截面的挠度wC。

图6.7 例题6.4图

解：在附录D中给出的是简支梁或悬臂梁的挠度和转角，为此，将这外伸梁沿截面截开，看成是一简支梁和悬臂梁(如图6.7(b)和图6.7(c)所示)。其中，MB?Fl/2，F作用在B支座不会使梁产生弯曲变形；由附录D可分别查出由力偶矩MB和集中荷载2F引起的?B(如图6.7(d)和图6.7(e)所示)，得

Fl2 ?B1??8EIMl?B2?B

3EI由叠加原理得

?B??B1??B2Fl2MBl ???8EI3EI原外伸梁BC的C端挠度wC也可按叠加原理求得。由图6.7(a)、图6.7(b)和图 6.7(c)可见，由于截面B的转动，带动BC段作刚性转动，从而使C端产生挠度wC2，而由AB段本身弯曲变形引起的挠度，即为悬臂梁(如图6.7(b)所示)挠度wC1，因此，C端的总挠度为

wC?wC1?wC2Fl3l???B 24EI2将前面?B的结果代入上式，得

?Fl2MBl?lFl3Fl3wC????? ??24EIz?8EI3EI?216EI【例题6.5】 一弯曲刚度为EI的悬臂梁受荷载如图6.8(a)所示，试按叠加原理求C截面的挠度和转角wC，?C。

解：求C截面的挠度和转角，可以将力F向C点简化，简化结果是作用在C处的一个

l力F和一个力矩MC(如图6.8(b)所示)，MC?F?。C截面的挠度和转角可以按叠加法求

2得(如图6.8(c)、图6.8(d)所示)，由附录D查得

?C1Fl2 ?8EIFl3 WC1?24EI?C2WC2则C截面的挠度转角分别为

Fl2 ?2EIFl3 ?8EI5Fl2 ?8EIFl3 ?6EI?C??C1??C2WC?WC1?WC2

图6.8 例题6.5图

【例题6.6】 如图6.9所示电动葫芦的轨道拟用一根工字型钢制作，荷载F?30kN，[?]?100MPa，E?2.1?105MPa；梁的许用挠度可沿全梁移动，已知材料[?]?170MPa，[w]?15mm，不计梁的自重，试确定工字钢的型号。

解：

(1) 画内力图。当荷载F移动到梁跨中点时，产生最大弯矩Mmax；当移动到支座附近，产生最大剪力FS,max。这两种最不利位置的M图、FS图如图6.9(b)和图6.9(c)所示。

Mmax?FS,maxFl30?6??45kN?m 44?F?30kN

图6.9 例题6.6图

(2) 由正应力强度条件选择截面。梁跨中点截面的上、下边缘各点是危险点。由

M?max?max≤[?]

WzMmax45?103??265?10?6(m3)?265(cm3) 得 Wz≥6[?]170?10查型钢表，选22a工字钢有

Wz?309c3m，Iz?3400cm4，Iz:S*z,max?18.9，d?7.5mm (3) 切应力强度校核。支座内侧截面的中性轴上各点处切应力最大。

?max?

FS,max.S*z,maxIzd30?1031??7.5?10?318.9?10?2?21.2?106Pa?21.2MPa?[?]

满足切应力强度要求。

(4) 刚度校核。最大挠度发生在梁跨中点，由附录D可得

Fl3 wmax?

48EIz即

30?103?63wmax??18.9?10?3(m)?18.9(mm)?[w] 11?548?2.1?10?3.4?10可见，刚度条件不满足要求，应加大工字钢截面以减小变形。 如改用25a号工字钢号，Iz?5020cm4，则有

30?103?63wmax??12.8?10?3(m)?12.8(mm)?[w] 11?848?2.1?10?5020?10刚度条件也满足，故可选用工字钢25a号。

【例题6.7】 试求如图6.12所示一端固定一端简支的梁在均布荷载作用下的约束反力。 解：该梁的约束反力共有四个，而独立的平衡方程只有三个，有一个多余约束，因此是一次超静定问题。首先，假设B支座为多余约束，相应的多余未知力是FB(方向可以假设)。拆除多余约束，由相应的约束反力FB代替，则原结构变成悬臂梁(如图6.12(b)所示)。 将如图6.12(b)所示的结构叫做原超静定梁(如图6.12(a)所示)的基本静定系。基本静定系与原来的超静定梁是等效的，即受力是等效的，变形也是等效的。因此，按叠加原理，在基本静定系上，B点的挠度等于均布荷载与FB单独作用引起挠度的代数和。B点的变形应与原结构B点的变形相等，而原结构B点的挠度为零。于是可得变形几何方程

wB?0 或

wBq+wBFB=0 (a)

由附录D可得力与变形间的物理关系

wBqql4 (b) ?8EIFBl3 (c) ??3EI wBFB

图6.12 简单超静定梁(例题6.7图)

将式(b)、(c)代入式(a)，即得补充方程

ql4FBl3-=0 (d)

8EI3EI由此解得多余反力FB为

FB?3ql 8FB为正号，表明原来假设的指向是正确的。

求得FB后，即可在基本静定系上(如图6.12(b)所示)由静力平衡方程求出固定端处的支反力

15ql，MA?ql2 88以上是将支座B作为多余约束来求解的，其基本静定系是悬臂梁。同样，也可取支座A

FA?处的转动约束作为“多余”约束，即将解除转动约束并用相应的反力偶MA来代替，基本静定系是一个简支梁，如图6.12(c)所示。变形几何方程为

?B?0 或

?AMA??Aq?0 (e)

由附录D可知

?AMA?? ?Aq代入式(e)得

MAl 3EIql3? 24EIMAlql3 ?+=0

3EI24EI

求得MA为

1 MA?ql2

8

第七章 应力和应变分析 强度理论

【例题7.1】 试用解析法求如图7.5(a)所示平面应力状态的主应力和主平面方位。 解法1： (1) 求主应力

? max?min??x??y???x??y2???????x 22???2280?80? ?????(?30)2 2?2? ?90?10??MPa ?所以，?1??max?90MPa，?2?0，?3??min??10MPa。

(a) (b)

图7.5 例题7.1图

(2) 求主平面方位 tan2?0??2?x?2?(?30)??0.75

?x??y80因为tan2?0是正的，说明2?0在第一象限，故 2?0?36.87°，?0?18.4°

?0即为?1所在截面的方位角。?1和?3的方向如图7.5(b)所示。

解法2：先确定主平面方位 tan2???2?x?2?(?30MPa)??0.75

?x??y80MPa

??在?范围内有两个解

2?? ?0??0? 2???71.6° 即 ?0?18.4°，?0下面确定哪个是?1、哪个是?3。 由?1的判定规则可知，?1一定发生在0～

??中，?0满足这一的截面上，因此在?0和?04条件，故?1??0，那么?3所在方位角?3??0。

将?0?18.4°代入斜截面应力公式(7-1)，得 ?1? ??x??y2??x??y2cos2????xsin2??

8080?cos(2?18.4°)?(?30)sin(2?18.4°) 22 ?90MPa

???71.6°代入斜截面应力公式(7-1)，可得?3??10MPa。 将?0【例题7.2】 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图7.9(a)和图7.9(b)所示，梁的横截

面尺寸如图7.9(c)所示。试分别绘出截面C(如图7.9(a)所示)上a和b两点处(如图7.9(c)所示)的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。

图7.9 例题7.2图

图7.9 (续)

解：计算支反力，并作出梁的剪力图和弯矩图如图7.9(d)和图7.9(e)所示。然后根据截面C的弯矩MC=80kN·m及截面C左侧的剪力值FSC=200kN，计算横截面上a，b两点处的

*应力。为此，先计算横截面(如图7.9(c)所示)的惯性矩Iz和求a点处切应力时需用的静矩Sza等。

120?3003111?2703 Iz???88?106(mm4)

1212*?120?15?(150?7.5)?256000(mm3) Sza ya?135mm

由以上各数据可算得横截面C上a点处的应力为 MC80?103ya??0.135?122.7?106(Pa)?122.7(MPa) ?a??6Iz88?10*FSCSza200?103?256?10?6??64.6?106(Pa)?64.6(MPa) ????6?3Izd88?10?9?10据此，可绘出a点处单元体的x、y两平面上的应力，如图7.9(f)所示。在绘出坐标轴及

选定适当的比例尺后，根据单元体上的应力值即可绘出相应的应力圆(如图7.9(g)所示)。由此图可见，应力圆与?轴的两交点A1、A2的横坐标分别代表a点处的两个主应力?1和?3，可按选定的比例尺量得，或由应力圆的几何关系求得

???2 ?1?OA1?OC?CA1???x???x?150.4(MPa)

22??

?x2和

???2 ?3?OA2?OC?CA2???x???x??27.7(MPa)(压应力)

22?? 2?0??arctan?x264.6??46.4° 61.35故由x平面至?1所在的截面的夹角?0应为?23.2?。显然，?3所在的截面应垂直于?1所在的截面(如图7.9(f)所示)。由此确定了a点处的主应力为?1=150.4MPa，?2=0，

?3??27.7MPa。

对于横截面C上b点处的应力，由yb?150mm可得

M80?1036 ?b?yb??0.15?136.4?10(Pa)?136.4(MPa)

Iz88?10?6b点处的切应力为零。

据此，可绘出b点处所取单元体各面上的应力如图7.9(h)所示，其相应的应力圆如图7.9(i)所示。由此图可见，b点处的三个主应力分别为?1??x?136.4MPa，?2??3?0。?1所在的截面就是x平面，亦即梁的横截面C。

【例题7.3】 在受力物体上得某点处夹角为?的两截面上的应力如图7.10(a)所示。试用应力圆法求：(1)夹角?的值；(2)该点处的主应力和主平面方位。

解：

(1) 作应力圆。选比例尺，建?-?坐标系。由y截面上的应力绘点Dy(20,?40)，由n截面上的应力绘点Dn(45,55)。连接点Dy和Dn，作DyDn的垂直平分线EC交?轴于C，以点

C为圆心，CDy为半径，作应力圆交?轴于A1、A2两点(如图7.10(b)所示)。

(2) 求夹角?的值。在图7.10(b)中量取?DnCDy?118°，则

???DnCDy2?59°

(a) (b)

图7.10 例题7.3图

(3) 求主应力和主平面方位。量取?1?OA1?120MPa，其方向由斜截面法向n顺时针转

?DnCA1?52.5°；?2?OA2?3.8MPa，其方向与?1方向垂直；?3?0。 2【例题7.4】 单元体各面上的应力如图7.14(a)所示。试作应力圆，并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。

??

图7.14 例题7.4图

解：该单元体有一个已知的主应力?z?20MPa。因此，与该主平面正交的各截面上的应力与主应力?z无关，于是，可依据x截面和y截面上的应力，画出应力圆(如 图7.14(b)所示)。由应力圆上可得两个主应力值为46MPa和-26MPa。将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为

?1?46MPa，?2?20MPa，?3??26MPa

依据三个主应力值，便可作出三个应力圆(如图7.14(b)所示)。在其中最大的应力圆上，B点的纵坐标(该圆的半径)即为该单元体的最大切应力，其值为

?max?BC?36MPa

且2?0?34?，据此便可确定?1主平面方位及其余各主平面的位置。其中最大切应力所在截面与?2平行，与?1和?3所在的主平面各成45?夹角，如图7.14(c)所示。

【例题7.5】 已知构件自由表面上某点处的两个主应变值为?1?240?10?6，

?3??160?10?6。构件材料为Q235钢，其弹性模量E=210GPa，泊松比?=0.3。试求该点处

的主应力数值，并求该点处另一主应变?2的数值和方向。

解：由于主应力?1、?2、?3与主应变?1、?2、?3相对应，故根据题意可知该点处?2?0，而处于平面应力状态。因此，由平面应力状态下的广义胡克定律得

?1?11(?1???3)，?3?(?3???1) EE联立上列两式，即可解得

E210?109?1?(?1???3)??(240?0.3?160)?10?6?44.3?106(Pa)?44.3(MPa) 221??1?0.3E210?109?3?(?3???1)??(?160?0.3?240)?10?6??20.3?106(Pa)??20.3(MPa) 221??1?0.3主应变?2的数值可由(7-12a)求得

??2??(?1??3)??E0.3(44.3?106?20.3?106)??34.3?10?6 9210?10由此可见，主应变?2是缩短，其方向必与?1及?3垂直，即沿构件表面的法线方向。 【例题7.6】 边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可略去不计的钢凹槽中。如图7.15(a)所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比?=0.34。当受到F=300kN的均匀压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。

解：铜块的横截面上的压应力为

F300?103 ?y??????30?106(Pa)??30(MPa) 2A0.1铜块受到的轴向压缩将产生膨胀，但受到刚性凹槽壁的阻碍，使铜块在x和z方向的线应变等于零。于是，在铜块与槽壁接触面间将产生均匀的压应力?x和?z，如图7.15(b)所示。按照广义胡克定律公式(7-8a)可得

?x? ?z?1[?x??(?y??z)]?0 (a) E1[?z??(?y??x)]?0 (b) E

图7.15 题7.6图

联立求解(a)、(b)两式，可得

?(1??)0.34(1?0.34)?x??z???(?30?10?6)??15.5?106(Pa)??15.5(MPa) y221??1?0.34按主应力的代数值顺序排列，得铜块的主应力为

?1??2??15.5MPa，?3??30MPa

将以上数据带入计算体积应变公式(7.14b)，可得铜块的体积应变为

1?2?1?2?0.34(?1??2??3)?(?15.5?106?15.5?106?30?106)??1.95?10?4 9E100?10将有关的主应力值代入式(7-7)，可得

??1122【例题7.7】 某铸铁构件危险点处的应力如图7.17所示，若许用应力[?]?30MPa，试

?max?(?1??3)?[?15.5?106?(?30?106)]?7.25?106(Pa)?7.25(MPa)

校核其强度。

图7.17 例题7.7图

解：由图7.17可知，x和y截面的应力为

?x??10MPa，?x??15MPa，?y?20MPa 代入式(7-4)，得

2?max??10?20??10?20? ???(?15)2 ????min?22???26.2MPa ??

?16.2MPa?即主应力为

?1?26.2MPa，?2?0，?3??16.2MPa

上式表明，主应力?3虽为压应力，但其绝对值小于主应力?1，所以，宜采用最大拉应力理论，即利用式(7-18)校核强度，显然

?1?[?]

说明构件强度无问题。

【例题7.8】 试分别根据第三与第四强度理论，确定塑性材料在纯剪切时的许用 应力。

解：纯剪切应力状态下的主应力为?1???3??，?2?0。于是，将主应力值代入 式(7-20)与式(7-21)，分别得

2?≤[?] 3?≤[?]

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