(精)函数的表示、定义域与值域——复习归纳 第二讲 (教师用)

一、导入：冷笑话《冷血杀手》 二、知识点回顾：

(7)函数f(x)＝x0的定义域为

(8)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约． 7．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 .

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 ；当a<0时，值域为 ． (3)y＝

k

(k≠0)的值域是 ． x

(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 ． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是 . (6)y＝sinx，y＝cosx的值域是 ． (7)y＝tanx的值域是 .

1 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

三、专题训练：

(1)已知f(x－3)＝x2＋1，求f(x)；

11

(2)已知f(x＋)＝x2＋，求f(x＋1)；

xx

(3)

[∴f(x－∴f(x)法二：(＝(x－∴f(x)(2)则(x∴x2∴∴＝x2∴故(3)(∴∴k2x＋kb＋b＝4x＋3，

2

k＝4， k＝2， k＝－2， 故解得或 kb＋b＝3， b＝－3. b＝1，

∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. 1思考：求f x . 若f x 满足2f x ＋f＝3x，

x

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1

解：2f(x)＋f()＝3x， ①

x

1

把①中的x换成

x

13

2f＋f(x)＝ ② xx

3

①×2－②，得3f(x)＝6x

∴f2x＋17

则＝即∴

∴则∴＝∴即x＋2，x≤－1，

2x，－1<x<2，

(1)已知f(x)＝

x2，x≥2，

2

且f(a)＝3，求a的值．

(2)已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－1，求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．

[自主解答] (1)①当a≤－1时，f(a)＝a＋2，

由a＋2＝3，得a＝1，与a≤－1相矛盾，应舍去．

3 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

②当－1<a<2时，f(a)＝2a， 3

由2a＝3，得a＝1<a<2.

2a2

③当a≥2时，f(a)＝

2a2

由3，得a＝6， 2又a

(2)∵∴g[f(x)]

思考

2(a2即a∴a当a∴akm，甲写出y＝由已知得 ，

30k1＋b1＝2

1 k1＝151

解得 ，∴y＝x.

15

b1＝0当x∈(30,40)时，y＝2； 当x∈[40,60]时， 设y＝k2x＋b2，

40k2＋b2＝2由已知得 ，

60k2＋b2＝4

4 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

1 k2＝10

解得 ，

b2＝－2∴y＝

1

－2.

10

1

x x∈[0，30]15

2

由题意得： 4x－x>0

lg 4x－x2 ≠0

，∴ 0<x<4

x≠3

【例4】求下列函数的值域，并指出函数有无最值．

1－x24

(1)y＝；(2)y＝x＋(3)y＝x－1－2x. x1＋x

1－x22[自主解答] (1)法一：y＝1， ＝1＋x1＋x5 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

2

∵1＋x2≥1，∴0<2，

1＋x2

∴－1<－1≤1，即y∈(－1,1]．

1＋x∴函数有最大值为1，无最小值．

2(3)∴y1

∴y∈(－∞，．

2

1

∴函数有最大值，无最小值．

2

1

法二：∵1－2x≥0，∴x，

21

∴定义域为(－∞，]．

2

1

∵函数y＝x，y＝－1－2x在(－∞，上均单调递增，

2

11∴y≤ 1－2，

222

6 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

1

∴y∈(－∞，]．

2

1

∴此函数有最大值为，无最小值

2

思考：若将y＝x＋xy＝x－x；如何求解？

(

44

(1)y解：(2)y∴0<

x－x＋13

1

y<1.

3(3)y＝log3x＋

1

1 log3x

令log3x＝t， 1

则y＝t＋1(t≠0)，

t当x>1时，t>0，y≥2

1

1＝1， t

7 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

1

当且仅当t＝log3x＝1，x＝3时，等号成立，

t当0<x<1时，t<0，

1

y＝－[(－t)＋(－)]－1≤－2－1＝－3.

t

1

1

当且仅当－t＝－即log3x＝－1，x＝时，等号成立．

533

则[－，－2]∪[－] [－2a－2,2a－2]，

222

32a－2≥， 2

5－2a－2≤2

7∴a≥；

4

③若a<0，g(x)＝ax－2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a－2，－2a－2]，

8 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

3－2a－2≥， 2

52a－2≤－，

2

7

∴a≤－.

4

77

综上可得，实数a的取值范围是(－∞∪，＋∞)．

44

实数a解：②若的值域f(x)故12．(1)(2)(3)已知(4)3．函数定义域的求法

第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义． 4．求函数值域的基本方法

(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．

(3)换元法：形如y＝ax＋cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx的函数用三角函数代换求值域．

9 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

cx＋d

(4)分离常数法：形如y＝≠0)的函数也可用此法求值域．

ax＋b

(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．

(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．

12f(3的个数为( )

A．1 B．2 C．3

D．4

解析：法一：若x≤0，则f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，

－4 2＋b· b＝4， －4 ＋c＝c，

∴ 解得 2

－2 ＋b· －2 ＋c＝－2，c＝2.

10 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

2 x＋4x＋2，x≤0，

∴f(x)＝

2， x>0.

当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x， 解得x＝－2，或x＝－1； 当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.

A．C．5.AC且f(∴f6A．C．2

由①②可解得f(x)＝＋x2，由于x2>0，

x2

因此由基本不等式可得f(x)＝＋x2≥x

2x＝2， x当x2＝2时取等号，因此其最小值为2. 二、填空题(共3小题，每小题10分，满分30分)

1

7．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.

f x 解析：由f(x＋2)＝

11f(x＋4)＝f(x)， f x f x＋2

11 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

所以f(5)＝f(1)＝－5， 则f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝8.若函数f(x)＝

11

＝－5f －1＋2

x－4

的定义域为R，则实数m的取值范围是________．

mx＋4mx＋3

x－43

29

＝ 当x当x

10(1)y(2)y即x(2) x＋ 2－ 即x≥－1且x≠2.

故所求函数的定义域为{x|－1≤x<2或x>2}． (3)要使函数有意义，必须满足

2 －x＋4x－3>0， 即1<x<3且x≠2. 2

－x＋4x－3≠1，

故所求函数的定义域为{x|1<x<2或2<x<3}．

11．(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)，不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋6a＝0有

12 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

两个相等的实根，求f(x)的解析式；

(2)设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)．

解：(1)∵不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)，

∴x＝1和x＝3是方程ax2＋(b＋2)x＋c＝0(a<0)的两根， ∴

∴b∴Δ∴∴∴a∴a∴f(2)即f9

A．[－4

99

C．[－，＋∞) D．[－0]∪(2，＋∞)

44

[规范解答] 令x＜g(x)，即x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2.令x≥g(x)，而x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.

x2＋x＋2 x＜－1或x＞2 ， 故函数f(x)＝ 2

x－x－2 －1≤x≤2 .

当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；

199

当－1≤x≤2时，函数f()≤f(x)≤f(－1)，即－≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是[－，0]∪(2，＋∞)． 244

13 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

七、反思总结：

1、

2、函数解析：3、函数A．f(－C．4、解析：先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，

x x≥0

即f[f(x)]＝ ，易知其值域为[0，＋∞)．

0 x<0

5、求下列函数的定义域和值域．

(1)y＝1－x－x； (2)y＝log2(－x2＋2x)； (3)y＝e

1－x≥0，

解：(1)要使函数y＝1－x－x有意义，则

x≥0，

14 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

1

x.

戴氏教育营门口总校 电话：87779328 87779372 高中数学（班型：五人精品班） 第2讲 龚老师

∴0≤x≤1.

即函数的定义域为[0,1]． ∵函数y＝1－xx为减函数， ∴函数的值域为[－1,1]．

(2)要使函数y＝log2(－x2＋2x)有意义，则－x2＋2x>0， ∴0<x<2.

∴函数的定义域为(0,2)．

又∵当x∈(0,2)时，－x2＋2x∈(0,1]， ∴log2(－x2＋2x)≤0.

即函数y＝log2(－x2＋2x)的值域为(－∞，0]． (3)函数的定义域为{x|x≠0}． 函数的值域为{y|0<y<1或y>1}．

15 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

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