广东省深圳市2017年高三年级第一次调研考试

深圳市2017年高三年级第一次调研考试数学(理科)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则A B =（ ）

A ． {}2,4

B ．{}4,6

C ．{}6,8

D ．{}2,8

2.若复数()12a i a R i +∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． 2 B ． 3 C ．-2 D ．-3

3. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）

A ．

14 B ．12 C ．13 D ． 23

4.等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a b -=+，则a b = （ ） A ．-3 B ． -1 C. 1 D ．3

5.直线():40l kx y k R ++=∈是圆22

:4460C x y x y ++-+=的一条对称轴，过点()0,A k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 （ ）

A ．2

B ．2 C. 6 D ．26

6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个

原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该

几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距

为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）

A ．4π

B ．2h π

C. ()22h π- D ．()

24h π- 7. 函数()21cos 21

x x f x x +=-的图象大致是（ ）

8.已知0,0a b c >><，下列不等关系中正确的是 （ ）

A ．ac bc >

B ．c c a b >

C. ()()log log a b a c b c ->- D ．a b a c b c

>--

9. 执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，

则输出i 的值为（ ）

A ． 335

B ．336 C. 337 D ．338

10.已知F 是双曲线()22

22:10,0x y E a b a b

-=>>的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，线段PF 与E 相交于点Q ，

记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ，若2FP d =，则该双

曲线的离心率是（ ）

A 2

B ．2 C. 3 D ．4

11. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（ ）

A ． 83π

B ．53π C. 43π D ．23

π

12. 已知函数()2

,0,x x f x x e e

=≠为自然对数的底数，关于x 的方程()()

0f x f x λ=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（ ） A ．20,e ?? ??? B ．()22,+∞ C. 2,e e ??++∞ ??? D ．224,2e e ??++∞ ???

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13.已知向量()()1,2,,3p q x ==，若p q ⊥，则p q += ． 14. 51x x ???的二项展开式中，含x 的一次项的系数为 ．（用数字作答） 15.若实数,x y 满足不等式组4023801x y x y x +-≤??--≤??≥?

，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值

为0，则实数k = ．

16.已知数列{}n a 满足()()

2222n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对*n N ?∈恒成立，则实数λ的取值范围为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. ABC ?的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知23sin cos a c A a C =-．

（1）求C ；

（2）若3c =ABC ?的面积S 的最大值．

18. 如图，边长为2的菱形ABCD 中，60DAB ∠=，平行

四边形ACEF 中，3AE =EAD EAB ∠=∠，设BD 与

AC 相交于点G ．

（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；

（2）若AE 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角

B EF D --的余弦值．

19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.

（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求,a b 的值；

（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值

代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，

求Y 的分布列和数学期望．

20. 已成椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右顶点分别为12A A 、，上下顶点分别为21B B 、，左右焦点分别为12F F 、，其中长轴长为4，且圆2212:7

O x y +=为菱形1122A B A B 的内切圆．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）点(),0N n 为x 轴正半轴上一点，过点N 作椭圆C 的切线l ，记右焦点2F 在l 上的射影为H ，若1F HN ?的面积不小于

2316

n ，求n 的取值范围．

21. 已知函数()ln ,f x x x e =为自然对数的底数．

（1）求曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程； （2）关于x 的不等式()()1f x x λ≥-在()0,+∞上恒成立，求实数λ的值；

（3）关于x 的方程()f x a =有两个实根12,x x ，求证：21221x x a e --<++．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中xOy 中，已知曲线E

经过点P ? ??

，

其参数方程为cos x a y αα=???=??（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线E 的极坐标方程；

（2）若直线l 交E 于点A B 、，且OA OB ⊥，求证：2211OA OB

+为定值，并求出这个定值．

23.选修4-5：不等式选讲

已知()(),3f x x a g x x x =+=+-，记关于x 的不等式()()f x g x <的解集为M ．

（1）若3a M -∈，求实数a 的取值范围；

（2）若[]1,1M -?，求实数a 的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5: BCBAC 6-10: DCDCB 11、12：BC

二、填空题 13. 52[)0,+∞

三、解答题

17.解:（1）由已知及正弦定理可得2sin 3sin sin cos A C A A C =-，

在ABC ?中，sin 0A >，∴23cosC C =-， ∴

31cos 122C C -=，从而sin 16C π??-= ??

?， ∵0C π<<，∴5666C πππ-<-<， ∴62C ππ-=， ∴23

C π=； （2）解法：由（1）知23C π=，∴3sin C =，∵12sin 2

S ab C =，∴3S =， ∵222

cos 2a b c C ab

+-=，∴223a b ab +=-， ∵222a b ab +≥，∴1ab ≤（当且仅当1a b ==时等号成立）， ∴3344

S =≤； 解法二：由正弦定理可知2sinA sin sin a b c B C

===， ∵1sin 2S ab C =，∴3sin S A B =，∴3sin 3S A A π??=- ???， ∴332264S A π??=+- ??

? ∵03A π<<， ∴52666

A πππ<+<， ∴当262A ππ+=，即6

A π=时，S 取最大值34. 18.解：（1）证明：连接EG ，

∵四边形ABCD 为菱形，∴,,AD AB BD AC DG GB =⊥=，

在EAD ?和EAB ?中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，

∴EAD EAB ???， ∴ED EB =， ∴BD EG ⊥，

∵AC EG G =， ∴BD ⊥平面ACFE ， ∵BD ?平面ABCD ， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；

（2）解法一：过G 作EF 垂线，垂足为M ，连接,,MB MG MD ，

易得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角， ∴060EAC ∠=，

∵,EF GM EF BD ⊥⊥， ∴EF ⊥平面BDM ，

∴DMB ∠为二面角B EF D --的平面角， 可求得313,2MG DM BM === 在DMB ?中由余弦定理可得：5cos 13BMD ∠=，

∴二面角B EF D --的余弦值为

513

； 解法二：如图，在平面ABCD 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点， 由（1）可知，平面ACFE ⊥平面ABCD ，

∴MG ⊥平面ABCD ，

∴直线,,GM GA GB 两两互相垂直，

分别GA GB GM 、、为,,x y z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，

易得EAC ∠为AE 与平面ABCD 所成的角，∴0

60EAC ∠=， 则()()333330,1,0,0,1,0,E ,2222D B F ????-- ? ? ? ?????

，

()

333323,0,0,,1,,,1,2222FE BE DE ????==-= ? ? ? ?????

，

设平面BEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n FE =且0n BE =， ∴0x =，3302

x y z -+= 取2z =，可得平面BEF 的一个法向量为()0,3,2n =， 同理可求得平面DEF 的一个法向量为()0,3,2m =-， ∴5cos ,13

n m =， ∴二面角B EF D --的余弦值为

513

． 19.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =； 当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =?+?-=-，

当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =?+?+?-=-，

所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤??=-<≤??->?

；

（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，

结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2

b a +?+=??+=?，

∴0.0015,0.0020a b ==；

（3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550.

当50x =时，0.55025y =?=，∴()250.1P y ==，

当150x =时，0.515075y =?=，∴()750.2P y ==，

当250x =时，0.52000.850140y =?+?=，∴()1400.3P y ==，

当350x =时，0.52000.8150220y =?+?=，∴()2200.2P y ==，

当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =?+?+?=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =?+?+?=，∴()4100.05P y ==， 故Y 的概率分布列为：

250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY =?+?+?+?+?+?=

. 20.解：（1）由题意知2

4a =，所以2a =，

所以()()()()12122,0,2,0,0,,0,A A B b B b --，则

直线22A B 的方程为12x y b

+=，即220bx y b +-=， =23b =， 故椭圆C 的方程为22

143

x y +=； （2）由题意，可设直线l 的方程为,0x my n m =+≠，

联立223412

x my n x y =+??+=?消去x 得()()222346340m y mny n +++-=，（*） 由直线l 与椭圆C 相切，得()()()2226433440mn m n ?=-?+-=，

化简得22340m n -+=，

设点(),H mt n t +，由（1）知()()121,0,1,0F F -，则 ()

0111t mt n m -=-+-，解得()211m n t m -=-+， 所以1F HN ?的面积()()()1222111112121F HN

m n m n S n m m ?---=+=++， 代入22340m n -+=消去n

化简得132F HN S m ?=

， 所以

()223333421616m n m ≥=+，解得223m ≤≤，即2449

m ≤≤， 从而244493

n -≤≤，又0n >4n ≤≤， 故n 的取值范围为4????

. 21.解（1）对函数()f x 求导得()1ln ln 1f x x x x x

'=+=+， ∴()22ln 11f e e --'=+=-， 又()2222ln 2f e e e e ----==-，

∴曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程为()()222y e x e ----=--，即2y x e -=--；

（2）记()()()()1ln 1g x f x x x x x λλ=--=--，其中0x >，

由题意知()0g x ≥在()0,+∞上恒成立，下求函数()g x 的最小值，

对()g x 求导得()ln 1g x x λ'=+-， 令

()0g x '=，得1x e

λ-=，

当x 变化时，()(),g x g x '变化情况列表如下：

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