四年级下数学思维训练教程（尖子生）

四年级下期 第一讲 定义新运算

同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。

例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。 (1)求4△3，3△4。

(2)这种运算有“交换律”吗？ (3)求(17△6)△2，17△(6△2)。 (4)这种运算有“结合律”吗？ (5)如果已知5△b＝1，求b。

解：像这样的题目叫做“定义新运算”。这里，“△”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以：

(1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。

(2)由(1)可知，4△3与3△4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。

(3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。

17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。 (4)由(3)可知，(17△6)△2与17△(6△2) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。 (5)因为5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。 通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。

例2 如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？

解：“＃”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。“*”的意义显然是求a、b的平均数。

因为3*5＝(3＋5)÷2＝4，所以，(3*5)＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。

例3 规定：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中a、b表示自然数。 (1)求1＆100的值； (2)已知x＆10＝75，求x。

解：(1) a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1) ＝1＋(1＋1)＋(1＋2)＋…＋(1＋100－1) ＝1＋2＋3＋…＋100 ＝(1＋100)×100÷2 ＝101×100÷2 ＝5050。

(2) x＋(x＋1)＋(x＋2)＋…＋(x＋10－1)＝75

10x＋(1＋2＋…＋9)＝75 10x＋45＝75 10x＝75－45 10x＝30 x＝30÷10 x＝3

例4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示：

羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。

以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。

小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示： 羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。

这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。

对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果：

羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。 解：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼) ＝羊△羊★羊△狼 ＝羊★羊△狼 ＝羊△狼 ＝狼

练 习 一

1．设a、b都表示数，规定：a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。试计算：

(1)5△6； 6△5。

2．a、b是自然数，规定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。 3．设a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？

4．规定a☆b＝(a＋3)×(b－5)，求5☆(6☆7)的值。 5．设a▽b＝a×b＋a－b，试求5▽8。

6．如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是多少？ 7．设a、b都表示数，规定：a△b＝2×a＋b÷2。求 (1)10△6； (2)7△(4△8)。

8．规定A＠B＝B×B－A，计算(2＠3)＠(4＠5)。

9．如果规定a△b＝4×a＋3×b－1，那么5△7和7△5相等吗？

10．对于两个数x、y，x☉y表示y×A－x×2，并且已知82☉65＝31。计算：

(1)29☉57；(2)38☉(14☉23)。

11．如果3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算2000◇6。 12．如果“＋、－、×、÷、( )”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？

(1)8×7＝8；(2)7×7×7＝6；(3)(7＋8＋3)×9＝39；(4)3×3＝3。

第二讲 图形问题(一)

例1 有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？

解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差16÷4＝4(厘米)，所以图中正方形B的面积是4×4＝16(平方厘米)，又因为阴影部分的面积是(80－16)÷2＝32(平方厘米)，所以原来的小正方形(正方形A)的边长是32÷4＝8(厘米)，面积是8×8＝64(平方厘米)。

A

B 例2 下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。

解法一：图形的总面积是40×40＝1600(平方厘米)。每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是20×20÷2＝200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是1600－200×4＝800(平方厘米)。

解法二：仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部分的面积是40×40÷2＝800(平方厘米)。

例3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

解：图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000÷2＝500(平方厘米)。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240÷2÷4＝30(厘米)。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图

这个新正方形的面积是30×30＝900(平方厘米)，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是(900－500)÷2＝200(平方厘米)。

例4 如图，矩形ABCD被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于1，矩形ABCD的是多少？

A B

D C

解：如果设右下角正方形的边长为a，那么，左下角正方形的边长就是a＋1，左上角正方形的边长就是a＋1＋1，右上角正方形的边长就是a＋1＋1＋1。因为CD＝AB，所以a＋a＋(a＋1)＝(a＋1＋1)＋(a＋1＋1＋1)，即3×a＋1＝2×a＋5，于是a＝4。从而，CD＝a＋a＋(a＋1)＝13，AD＝(a＋1)＋(a＋1＋1)＝11。因此，矩形ABCD的面积是13×11＝143。

练 习 二

1．已知甲是正方形，乙是长方形，图形的周长是多少厘米？

甲

3 乙

15 8

2．把所有周长为22，且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来，和是多少？ 3．一个正方形，如果一组对边各增加10厘米，另一组对边各减少6厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。原来正方形的面积是多少平方厘米？

4．下图中阴影部分A和阴影部分B的面积，哪个大？

A

B

5．一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？

6．四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米？如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少？

7．如图，已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米，并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？

8．有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。 2

2

3 9．如图，一个大长方形被分成了4个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少？

19

57 45

10．将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？

11．在一个正方形水池四周，环绕着一条宽2米的路，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是多少平方米？

12．如图所示，阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形，我们需要用14张边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。现在有一个面积为124平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少张边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？

第三讲 枚举与计数

例1 数列A：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 10, 11，……。把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 1，0, 1，1, 1，2，……。 (1)数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？

(2)数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？这个数字是什么？ (3)到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次？

解：(1)数列A中，1到9共有9个数字；10到99共有180个数字；100有3个数字。所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第9＋180＋3＝192个数。

(2)数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9，100－9＝91，而91＝2×46－1，说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数，这个数是9＋46＝55，它的第一

练 习 五

1．有甲、乙两队少先队员去春游，甲队人数是乙人数的2倍。从甲队调出10人到乙队后，甲队仍比乙队多5人。甲队原来有多少人？

2．在第二届“希望杯”全国数学邀请赛中，有一位同学在第一试答了24道题，其中，答对的题数是答错的题数的2倍；第二试答了20道题，结果，两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。则这位同学在第二试答对了多少道题？

3．菜市场运来6筐萝卜，分别装着24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的萝卜。营业员小王承包了其中3筐，小李承包了另外2筐。已知小王承包的萝卜质量是小李的2倍，剩下的没有被承包的萝卜有多少千克？

4．小光和小明，共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。已知，小光的纪念邮票是小明的5倍，小明的特种邮票是小光的3倍。小光的邮票比小明多多少张？

5．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个。苹果有多少个？小朋友共几组？

6．某校组织学生去春游，晚上住宿时，如果在预订的房间里每间住5个人，还有4个人无法入住；每间安排6个人，最后一间还可以住2个人。那么预定了房间多少间？共有多少个人？

7．有三角形桌子和正方形桌子共13张，共有44条腿(桌子的每个角有一条腿)，则三角形桌子比正方形桌子多多少张？

8．一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得了92分，小华在此次比赛中答错了多少道题？

9．购买5元、8元和10元的公园门票共100张，用去748元，其中5元和8元的张数相同，则10元的门票共多少张？

10．小王、小李两人射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发则扣12分。两人各打10发，共得208分，小王比小李多得64分，小王打中多少发？小李打中多少发？

11．小明问老师今年多少岁，老师说：“我6年前的年龄和你6年后的相同，我3年后的年龄和你3年前的年龄之和是42岁。”老师今年多少岁？小明今年多少岁？

12．将786个桃子分成四堆，第一堆比第二堆多24个，比第三堆多16个，比第四堆多46个，那么第四堆有多少个？

第六讲 解决问题(二)

例1 10名同学的考试成绩按分数从高到低排列名次，前4名平均得92分，后6名的平均分数比10人的平均分数少8分，这10名同学的平均分数是多少分？

解：如果从前4名的总分中拿出6个8分补给后6名同学，那么前4名的平均分数也就和10个同学的平均分数同样多了，所以这10名同学的平均分是(92×4－8×6)÷4＝80(分)。

答：这10名同学的平均分是80分。

例2 一列以相同速度行驶的火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座468米长的铁桥用了35秒，这列火车长多少米？

解：因为火车行驶一个车身的距离要9秒，而通过一座铁桥所行的距离包括桥的长度和车身的长度，所以火车行468米只需35－9＝26(秒)，每秒行驶468÷26＝18(米)，这列火车长18×9＝162(米)。

答：这列火车长162米。

例3 星期天，妈妈从超市买了4支“小梦龙”和3支“可爱多”冰淇淋，用去24元钱。妈妈对小丽说：“上星期天我买3支‘小梦龙’和5支‘可爱多’冰淇淋用去29元钱。”“小梦龙”和“可爱多”冰淇淋每支各多少钱？

解：把已条件整理成算式：

4支小梦龙＋3支可爱多＝24(元) (1) 3支小梦龙＋5支可爱多＝29(元) (2) 为了消去“小梦龙”，让(1)扩大3倍，(2)式扩大4倍，得： 12支小梦龙＋9支可爱多＝72(元) (3)

12支小梦龙＋20支可爱多＝116(元) (4)

(4)式－(3)式得：每支“可爱多”(116－72)÷(20－9)＝4(元)。再由(1)式得：每支“小梦龙”(24－4×3)÷4＝3(元)。

答：“小梦龙”每支3元，“可爱多”每支4元。

例4 要用1000元钱买23元、22元、21元的三种物品，三种物品都要买，而且不能剩钱，则最多可以买多少件？最少可以买多少件？

解：要想买的件数最多，就要尽量多买21元一件的，1000÷21＝47……13，说明可以47件21元的，还余13元，可以用这13元补到几件21元的物品上换成22元和23元的物品，所以最多可以买47件。要想买的件数最少，就要尽量多买23元一件的，1000÷23＝43……11，也就是说如果买44件就少23－11＝12(元)，可以买44件23元的，超出23－11＝12(元)，可以用几件23元的物品换21元和22元的物品，直到把超出的12元抵消，所以最少可以买44件。

答：最多可以买47件，最少可以买44件。

练 习 六

1．有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这样的方法计算了4次，分别得到4个数：26, 32, 40, 46，那么原来四个数的平均数是多少？

2．有6个数排成一行，它们的平均数是27。已知前4个数的平均数是23，后3个数的平均数是34。第4个数是多少？

3．甲筐苹果个数比乙筐多64个，从甲筐取出多少个苹果放入乙筐，可使乙筐苹果比甲筐多12个？

4．期末考试中，小强语文、数学、外语三门课的的平均成绩是92分，语文、外语两门课

的平均成绩比数学低3分，语文比外语高2分。则外语多少分？

5．小光故意把成绩单上的两个分数涂掉了，让爸爸猜。已知数学比思想品德分数高，那么数学得了多少分？

科目 思想品德 语文 数学 体育 科学 艺术 平均 分数 88 81 79 76 87 6．为了支援西部，四一班班长小明和四二班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本，小光要了18本。回校后，小明补给小光28元。小明、小光各带了多少元？每本书多少元？

7．三个工厂拿出相同的资金买煤，结果甲厂比乙厂多要了15吨，丙厂比乙厂多要了15吨，因此甲厂和丙厂各付给乙厂3000元，每吨煤多少元？

8．空间站上的5位宇航员轮流值班和休息，值班岗位有2个。在60小时里，平均每个宇航员休息了几小时？

9．小明沿着长为100米的桥面步行。当他走到桥头时，一辆迎面驶来的火车车头也恰好到达桥头。100秒钟后，小明走到桥尾，火车的车尾恰好也到达桥尾。已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通达这座桥大约用了多少时间？

10．两列相向而行的火车恰好在某站相遇。如果甲列车长225米，每秒行25米，乙列车每秒行20米，甲、乙两列车错车时间是9秒。求：

(1)乙列火车长多少米？

(2)坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？

11．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟可追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟可追上乙。求甲的速度。

12．小明去相距9千米远的同学家，已知他步行的速度是每小时3千米，他每走50分钟要休息10分钟，他想在中午12：00之前赶到同学家，则他最晚要在上午几时几分出发？

第七讲 综合练习(一)

1．如果a△b＝3a－2b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(7*3)△6＝？

2．一个两位数的十位数字比个位数字小6。现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来大多少？

3．有10个盒子和45个乒乓球，能否把这45个乒乓球放入这10个盒子中，使任意两个盒子中的乒乓球数都不相同？

4．10．公园里有一个正方形花坛，在花坛四周有一条2米宽的小路。如果这一圈小路的面积是64平方米，那么花坛(阴影部分)的面积是多少平方米？

5．一个长方形的宽去掉3厘米而长不变，其面积比原来减少30平方厘米；如果长增加6厘米，而宽不变，其面积比原来增加42平方厘米。那么原长方形的面积是多少平方厘米？

6．个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？

7．某次会议有30人参加，如果见面时每两人都要握一次手，那么这些人总共要握手多少次？

8．幼儿园分饼干，如果每人分3块，那么余10块；如果每人分4块，那么还有2个小朋友没分到。一共有多少块饼干？

9．甲、乙、丙三个好朋友都喜欢集邮。如果甲把自己的邮票给乙、丙一些，使他们的邮票各增加一倍；乙再把自己的邮票给甲、丙一些，使他们的邮票各增加一倍；丙再把自己的邮票给甲、乙一些，使他们的邮票各增加一倍。这样一样，三个人的邮票正好都是80枚。原来甲有邮票多少枚？

10．一列以匀速行驶的火车，经过一根电线杆用了10秒，通过一座600米长的铁桥用了40秒，这列火车全长多少米？

11．10名同学的考试成绩(满分为100分)按分数排列名次，前5名平均得90分，后5名的平均分数比10人的平均分数少6分，这10名同学的平均分数是多少分？

12．1999年12月澳门回到了伟大祖国的怀抱。在下面的算式中，“庆”、“澳”、“门”、“归”四个汉字各代表一个数字，那么“庆”是 、“澳”是 、“门”是 、“归”是 。

澳 门

澳 门 归

＋ 庆 澳 门 归 1 9 9 9

第八讲 等差数列

上学期我们已经对等差数列有了一些初步的了解。比如，等差数列 a1，a2，a3，…，an 的和Sn＝(a1＋an)×n÷2；如果公差是d，那么从ap到aq共有(aq－ap)÷d＋1项等。

这一讲我们就来研究一些有关等差数列的比较复杂的问题。

例 1 从1，2，3，…，100这100个数中，每次取两个数，使其和大于100，共有多少种取法？

解：较小数取1时，较大数可以取100，共1种取法； 较小数取2时，较大数可以取99、100，共2种取法； 较小数取3时，较大数可以取98、99、100，共3种取法； ……

较小数取50时，较大数可以取51、52、……、100，共50种取法； 较小数取51时，较大数可以取52、53、……、100，共49种取法； 较小数取52时，较大数可以取53、54、……、100，共48种取法； ……

较小数取99时，较大数可以取100，共1种取法。

总共有(1＋2＋3＋…＋49)×2＋50＝(1＋49)×49÷2×2＋50＝2500(种)取法。 例2 计算：(101＋103＋…＋399)－(91＋93＋…＋389)。

解：第一个等差数列共有(399－101)÷2＋1＝150项，第二个等差数列共有(389－91)÷2＋1＝150项。

方法一：原式＝(101＋399)×150÷2－(91＋389)×150÷2＝1500。

方法二：原式＝(101－91)＋(103－93)＋…＋(399－389)＝10×150＝1500。

例 3 计算：1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋106＋105－104＋103＋102－101。 解法一：观察发现：由于减数“998、995、……、104、101”的存在，使得加数失去了连续性，不能运用等差数列的求和公式。为了解决这个问题，添上所缺的加数“998、995、……、104、101”，同时把原有的减数扩大2倍，因为一共有(1000－101)＋1＝900个加数，(998－101)÷3＋1＝300个减数，于是：

原式＝(1000＋999＋998＋…＋102＋101)－(998＋995＋992＋104＋101)×2＝(1000＋101)×900÷2－(998＋101)×300÷2×2＝165750。

解法二：先对减号两边的进行计算，一共得到300个1，同时，原有的900个加数减少到300个(参看解法一)于是：

原式＝1000＋1＋997＋1＋…＋106＋1＋103＋1＝(1000＋103)×300÷2＋1×300＝165750。

例4 计算 1＋2＋3＋2＋4＋6＋3＋6＋9＋…＋100＋200＋300。

解：原式＝(1＋2＋3)＋(2＋4＋6)＋(3＋6＋9)＋…＋(100＋200＋300) ＝1×(1＋2＋3)＋2×(1＋2＋3)＋3×(1＋2＋3)＋…＋100×(1＋2＋3) ＝(1＋2＋3＋…＋100)×(1＋2＋3) ＝(1＋100)×100÷2×6 ＝30300。

练 习 八

1．计算：(1＋3＋5＋…＋1997)＋(2＋4＋6＋…＋1996)＝？

2．计算：1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70＝？ 3．计算：2＋4＋8＋10＋14＋16＋20＋22＋…＋92＋94＋98＋100＝？

4．计算：(1994＋1992＋1990＋…＋4＋2)－(1＋3＋5＋…＋1991＋1993)＝？

5．计算 (2004－1)＋(2003－2)＋(2002－3)＋…＋(1003－1002)。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)

6．在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？

7．小明从一月一日开始写大字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？

8．袋子里共有415个小球，第一次从袋子里取出1个小球，第二次从袋子里取出3个小球，第三次从袋子里取出5个小球，第四次从袋子里取出7个小球……依次地取球，如果剩下的球已不夠某次取了，则将余下的小球留在袋中。那么，袋子中留下多少个小球？(2004年浙

江省小学数学竞赛试题)

9．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛。问：有多少人参加了选拔赛？

10．有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到第1993个数的和。

11．计算 100×95－95×90＋90×85－85×80＋80×75－75×70＋…＋20×15－15×10＋10×5。

12．观察下面的数阵，第20行所有的数的和是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……

第九讲 速算与巧算(一)

例1 用简便方法计算 134859＋348591＋485913＋859134＋591348＋913485。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)

解：观察发现：各个数位上的数字都是“1、3、4、5、8、9”，所以 134859＋348591＋485913＋859134＋591348＋913485 ＝111111×(1＋3＋4＋5＋8＋9) ＝111111×30＝3333330。

例2 计算：99999×77778＋33333×66666＝？

解：观察发现：66666含有因数3，如果把66666分解成3×22222，再根据乘法结合律，让3与前一个因数33333相乘，得到99999，这样一来，与前面的积就有相同的因数，于是可以用乘法分配律进行简算。

99999×77778＋33333×66666 ＝99999×77778＋33333×（3×22222） ＝99999×77778＋（33333×3）×22222 ＝99999×77778＋99999×22222 ＝99999×(77778＋22222) ＝99999×100000 ＝9999900000。

例3 计算 2004＋2003＋2002－2001－2000－1999＋…＋6＋5＋4－3－2－1。(吉林省

第九届小学数学邀请赛试题)

解：观察发现：

(1)算式中的数是从2004递减到1的连续自然数；

(2)算式是由3个加数、3个减数、3个加数、3个减数……组成。 所以，可以分组计算：

2004＋2003＋2002－2001－2000－1999＋…＋6＋5＋4－3－2－1

＝(2004＋2003＋2002－2001－2000－1999)＋…＋(6＋5＋4－3－2－1) ＝9×(2004÷6) ＝3006。

例4 计算 100×101－99×100＋98×99－97×98＋96×97－95×96 ＋…＋2×3－1×2。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

解：100×101－99×100＋98×99－97×98＋96×97－95×96＋…＋2×3－1×2 ＝(100×101－99×100)＋(98×99－97×98)＋(96×97－95×96)＋…＋(2×3－1×2) ＝(101－99)×100＋(99－97)×98＋(97－95)×96＋…＋(3－1)×2 ＝2×(100＋98＋96＋…＋2) ＝2×[(100＋2)×50÷2] ＝2×2550 ＝5100。

练 习 九

1．计算 56832＋25683＋32568＋83256＋68325。（2004年浙江省小学数学竞赛试题） 2．计算：

(1) 9＋99＋999＋9999＝？

(2) 1999999＋199999＋19999＋1999＋199＋19。（江苏省小学数学竞赛题） 3．计算：379000÷125÷8＝？

4．计算：(38＋99×99＋61)÷(396÷36)＝？ 5．计算：

(1) 12345679×810＝？(2) 8888888×7777777÷1111111÷1111111＝？ 6．计算：

(1) 22222×22222＝？ (2) 33333×33333＝？ 7．计算：

(1) 99999×22222＋33333×33334＝？ (2) 66666×10001＋66666×6666＝？ (3) 111111×999999＋999999×777777＝？

(4) 353353×352－352352×353。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)

8．计算：2375×3987＋9207×6013＋3987×6832＝？ 9．计算：77×13＋255×999＋510＝？

10．计算：2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋2×1＝？ 11. 计算：(1×2×3×4×…×9×10×11)÷(27×25×24×22)。(2002年全国奥赛预赛题)

12．计算 (282＋3102＋31302＋313302＋3133302)÷47。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

第十讲 速算与巧算(二)

例1 计算 181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 解：根据运算性质：一个数连续除以几个数，等于这个数除以那几个除数的积。 181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8 ＝181440÷(3×5×6)÷4÷7÷8 ＝181440÷90÷4÷7÷8 ＝2016÷4÷7÷8 ＝504÷7÷8 ＝72÷8 ＝9。

例2 计算 2323＋3232＋3434＋4343＋4545＋5454＋5656＋6565＋6767＋7676＋7878＋8787＋8989＋9898。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

解：观察发现：有一些加数可以凑成9999，另一些加数比较接近10000，于是： 2323＋3232＋3434＋4343＋4545＋5454＋5656＋6565＋6767＋7676＋7878＋8787＋8989＋9898

＝(2323＋7676)＋(3232＋6767)＋(3434＋6565)＋(4343＋5656)＋(4545＋5454)＋7878＋8787＋8989＋9898

＝9999×5＋40000－(2122＋1213＋1011＋102) ＝49995＋40000－4448 ＝50000＋40000－4453 ＝90000－4452 ＝85547。

例3 计算 2004＋4002＋2005＋5002＋2006＋6002＋2007＋7002＋2008＋8002。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

解：观察发现：如果从2004中取出2移给4002，从2005中取出3移给5002，从2006中取出4移给6002，从2007中取出5移给7002，从2008中取出6移给8002，那么，所有的加数就都含有因数1001，于是：

2004＋4002＋2005＋5002＋2006＋6002＋2007＋7002＋2008＋8002

＝2002＋4004＋2002＋5005＋2002＋6006＋2002＋2007＋2002＋8008 ＝1001×(2＋4＋2＋5＋2＋6＋2＋7＋2＋8) ＝1001×(2×5＋4＋5＋6＋7＋8) ＝1001×40 ＝40040。

例4 计算 19981999×19991998－19981998×19991999＝？

解：观察发现，如果把19981999变成19981998＋1，把19991999变成19991998＋1，就有可能找到两个积的相同部分。于是

19981999×19991998－19981998×19991999

＝(19981998＋1)×19991998－19981998×(19991998＋1) ＝19981998×19991998+19991998-19981998×19991998+19981998

＝19991998－19981998 ＝10000。

练 习 十

1．计算：

(1) 516＋418＋734＋825＋582＋266＋484＋175。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) (2) 7186＋8671＋6718＋1867＋3282＋1329＋8133＋2814。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

2．计算：

(1) 23＋223＋2233＋22233＋222333＋2222333。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) (2) 1＋11＋121＋1221＋12321＋123321＋1234321。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 3．计算：

(1) 161616×5994。(2004年浙江省小学数学竞赛试题 (2) 37037037×594。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

4．计算 87840÷2÷3÷4÷5÷6。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

5．计算 9192－8283＋7273－6364＋5354－4445＋3435－2526＋1516。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

6．计算：

(1) 2008×4＋2007×5＋2006×6＋2005×7＋2004×8。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

(2) 2004×4＋2003×3＋2002×2＋2001＋1999＋1998×2＋1997×3＋1996×4。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

7．计算 (10×12×24×36)÷(12×24×36＋12×36×48＋12×36×72＋24×36×48)。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)

8．计算：

(1) (56789＋67895＋78956＋89567＋95678)÷7。(陈省身小学数学邀请赛试题)

(2) 2003×2001÷111＋2003×73÷37。(陈省身小学数学邀请赛试题) 9．计算：

(1) 1991×199219921992－1992×199119911991＝？

(2) 20022003×20032002－20022002×20032003。(陈省身小学数学邀请赛试题) (3) 20042005×20052004－20042004×20052005。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 10．计算 2003＋2002－2001－2000＋1999＋1998－1997－1996＋…＋3＋2－1。(陈省身小学数学邀请赛试题)

11．计算 2004＋2003＋2002＋2001－2000－1999－1998－1997＋…＋12＋11＋10＋9－8－7－6－5。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)

12．计算 20042－1920×2004＋1924×2000－1928×1996＋1932×1992－…＋2004×1920。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

第十一讲 速算与巧算(三)

例1 计算 666…66×397。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

2004个6

解：观察发现：397很接近400，于是：

原式＝666…66×(400－3)＝666…66×400－666…66×3

2004个6 2004个6 2004个6

＝2666…66400－1999…998＝2666…66400－2000…00＋2

2003个6 2003个9 2003个6 2004个0

＝264666…66402。

2001个6

例2 计算 666…66÷99。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

2004个6

解：试算发现，连续6个6除以99，商6734无余。2004除以6，商334，无余，所以，原式＝673400…6734006734。

333组673400

例3 计算 20042＋20032＋20022＋20012＋20002－19992－19982－19972－19962。(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

解：算式中的加数和减数全都是平方数，解决这个问题，要用到“平方差公式”： a2－b2＝(a＋b)×(a－b)

这个公式很容易验证。比如：52－42＝(5＋4)×(5－4)，302－202＝(30＋20)×(30－20)。于是：

20042＋20032＋20022＋20012＋20002－19992－19982－19972－19962 ＝(20042－19962)＋(20032－19972)＋(20022－19982)＋(20012－19992)＋20002

＝(2004＋1996)×(2004－1996)＋(2003＋1997)×(2003－1997)＋(2002＋1998)×(2002－1998)＋(2001＋1999)×(2001－1999)＋20002

＝4000×8＋4000×6＋4000×4＋4000×2＋4000000 ＝4000×(8＋6＋4＋2)＋4000000 ＝80000＋4000000 ＝4080000。 例4 求99952＝？

解：根据平方差公式a2－b2＝(a＋b)×(a－b)可以推出a2＝(a＋b)×(a－b)＋b2。设a＝9995，b＝5，于是：

99952＝(9995＋5)×(9995－5)＋52

＝10000×9990＋25 ＝99900000＋25 ＝99900025。

请同学们用这种方法，任意求几个个位上是5的数的平方，再认真观察、分析，看看有什么简单的规律可以遵循。

事实上，任意一个个位上是5的数的平方，都等于5前面所有数字组成的数，乘上比这个新组成的数大1的数，然后在得数后面接着写上25。

比如 752→7×8→56→5625；

3052→30×31→930→93025； 8952→89×90→8010→801025；

1999952→19999×20000→399980000→39998000025。

练 习 十 一

1．计算：(2004年浙江省小学数学竞赛试题) (1) 555…55×297。

2004个5

(2) 222…22÷33。

96个6

(3) 999…9×999…9＋1999…9的结果末尾有多少个连续的零？

100个9 100个9 100个9

2．2004×□□□□□＝□6666666□(每个□内只填一个数字)，则五位数□□□□□是多少？(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

3．计算 111111×999999＋999999×777777。

4．计算 1999×1＋1999×2＋1999×3＋…＋1999×1999。 5．计算 10032＋10022＋10012＋10002－9992－9982－9972。

6．将所有的四位数用它的各位数字之和去除，可能得到的最大的商是多少？(2004年浙江省小学数学竞赛试题)

7．两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数等于 415，则被除数是多少？(2002年全国奥赛预赛题)

8．写出七个自然数，使它们的和等于它们的积。

9．小马在计算两个整数相乘时，错把一个因数个位上的 5 看成了8，算出的积是 5632；小虎错把同一个因数十位上的 8 看成了 6，算出的积是 4160。这道题正确的积应该是多少？

10. 小明在计算一道加法式题时, 没有认真审题，把加号当成除号了, 结果，除得的商和余数都是 18。如果这道题的正确得数是 531, 那么这两个加数各是多少?

11．将1949按“先加12，再减9，接着加6，然后减4”的四步运算顺序，依次不断地重复计算。经过多少步计算，结果恰好是1984，经过多少步计算，结果恰好是2001？

12．边计算，边找规律，再按规律计算。 12＝ 112＝ 1112＝ 11112＝ …… 111111112＝ 1111111112＝

第十二讲 解决问题(三)

例 1 有A、B、C、D四个点，从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成6条线段。已知这6条线段的长度分别是13、21、34、35、48、69(单位：毫米)。那么线段BC的长度是多少毫米？(“《小学生数学报》杯”竞赛题)

解：对6条线段的长度进行分析后发现：显然69是最远的两个点的距离，34＝13＋21，48＝13＋35，说明线段13是线段34和48的公有部分，而69＝21＋13＋35，于是可以画出示意图：

69

21 13 35 A B C D

34 48 所以，BC的长度是13。

例 2 青少年科技活动中心工地上，有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场，由两位货车司机小王和小李负责清理、运输。两人同时清理废旧建筑材料需2小时；两人同时清理垃圾需0.5小时；货车将垃圾运送郊区，往返需3小时；货车将废旧建筑材料运送收购站，往返需1小时。小王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时？(垃圾与建筑材料均不超过一车，装车时间不计。)

解：仔细分析各项工作所需的时间后发现，要想节省时间，就要尽量让两人同时工作。可以这样安排：两人先同时清理垃圾，用0.5小时；然后两人同时清理建筑材料1小时；最后，一人运送垃圾用3小时，同时，另一人继续清理废旧建筑材料2小时，再用1小时运送废旧建

筑材料。这样共用0.5＋1＋3＝4.5(小时)。

例3 甲有一些桌子，乙有一些椅子。如果乙用全部椅子跟甲换相同数量的桌子，那么需要给甲320元；如果乙不补钱，就得少换5张桌子。已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元。乙原来有多少把椅子？

解：由题意可知，5张桌子的价钱是320元，所以1张桌子320÷5＝64(元)。再根据3张桌子比5把椅子的价钱少48元，可以求出1把椅子(64×3＋48)÷5＝48(元)。1张桌子比1把椅子贵64－48＝16(元)，乙用全部椅子换回相同数量的桌子，那么需要补给甲320元，说明乙原来有椅子320÷16＝20(把)。

例4 甲、乙两同时上一幢19层的大楼办事，恰遇电梯停开。甲走到第3层时，乙走到第4层，以这样的速度，甲走到第11层时，乙走到第几层？如果乙走到第19层，甲应该走到第几层？

解：甲走到第3层时，走了3－1＝2(层)楼的楼梯，乙走了4－1＝3(层)楼的楼梯，甲走到第11层，走了11－1＝10(层)楼的楼梯，甲走到第11层，走了11－1＝10(层)楼的楼梯，10÷2＝5，所以，这时乙走了3×5＝15(层)楼的楼梯，到了第15＋1＝16(层)。同理，乙走到第19层时，甲走到第2×[(19－1)÷3]＋1＝13(层)。

练 习 十 二

1. 一个粗心的会计，在给货主付款时，把货主开来的发票上应付款多看了一位，使应付款扩大了10倍。几天后，货主将她多汇的75258元如数退回了。应付款是多少元？(“《小学生数学报》杯”竞赛题)

2. 迪斯尼乐园里，冒失的米老鼠和唐老鸭把小火车面对面开上了同一条铁轨，米老鼠的速度是每秒10米，唐老鸭的速度是每秒6米。由于没有及时刹车，结果两列小火车相撞。假如米老鼠和唐老鸭在相撞前多少秒同时紧急刹车，不仅可以避免两车相撞，两车车头还能保持4米的距离？(紧急刹车后米老鼠和唐老鸭的小火车分别向前滑行30米。)

3. 李老师为参加数学爱好者冬令营的同学安排了一些间宿舍。营员到来之后，李老师发现，按照原先的计划，每间宿舍住的营员人数不全是同样多。他一计算，如果增加2间宿舍，每间宿舍恰好住6人；如果减少2间宿舍，每间宿舍恰好住9人。参加冬令营的营员共有多少人？(“《小学生学习报》杯“竞赛题)

4. 广宇建筑工地租用两种货车，将76吨水泥从建材仓库运送到工地。大货车每次可运5吨，每次运费85元；小货车每次可运3吨，每次运费60元。要使运费最节省，应租用大货车、小货车各运多少次？

5．小区便利店销售的矿泉水进货时5元钱4瓶，售出时5元钱3瓶。要获利100元，需售出多少瓶？

6．有黑、白、红三种颜色的珠子共17颗，已知白珠子的数量是黑珠子的5倍，红珠子有多少颗？

7．公园成人票每张10元，儿童票每张5元。20人及20人以上可以买团体票，买团体票

时不分成人和儿童，按每人8元收费。15名成人带25名儿童进公园时，至少要花多少钱？ 8．我国明代的数学名著《算法统宗》中记载有一个“和尚分馒头”的问题：大和尚与小和尚共100名，分配100个馒头，大和尚每人给3个，小和尚每3人给1个。问大、小和尚各有多少人？

9．在秋游活动中，四年级的50名同学到公园划船。公园有两种船，一种是大船，每条可坐6人，一种是小船，每船可坐4人。大船每条租金10元，小船每条租金8元。请你设计一种你认为最经济实惠的租船方案。

10．摩托车赛全程共281千米，全程划分为若干路段。路段有两种：一种是由一段3千米的上坡路，一段4千米的平路，一段2千米的下坡路和一段4千米的平路组成；另一种是由一段3千米的上坡路，一段2千米的下坡路和一段4千米的平路组成。已知摩托车跑完全程后，共有15段上坡路。问全程中的两种路段各有几段？

11．有一批砖，每块长比宽长10厘米，这些砖横着铺可以铺2775厘米，如果竖着铺可以铺1675厘米，这批砖有多少块？

12．甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到第4层时，乙恰好跑到第3层。以这样的速度，甲跑到第28层时，乙跑到第几层？

第十三讲 图形问题(二)

例1 数一数，下图中共有多少个长方形？

解：数较复杂的图形，一定要尽量避免重复和遗漏，最基本的方法是分类计数。这个图形被分成了9块。其中：

(1)单个的长方形有7个； (2)由2部分拼成的长方形有8个； (3)由3部分拼成的长方形有5个； (4)由4部分拼成的长方形有2个； (5)由6部分拼成的长方形有3个， (6)由9部分拼成的长方形有1个。 总共7＋8＋5＋2＋3＋1＝26(个)。

例2 用1平方厘米的红色和白色两种小正方形摆大正方形，摆出的大正方形四边都是红色，内部都是白色的。如果所用的白色正方形比红色正方形多，那么摆出的大正方形的至少是多少平方厘米？

解：试算发现，当白色正方形拼成的正方形的边长为5厘米时，有白色正方形5×5＝25(个)，大正方形的每边有5＋2＝7(个)正方形，所以，这时大正方形的面积是7×7＝49(平方厘米)，红色正方形有7×7－25＝24(个)。

例3 四个同样的长方形和一个正方形拼成一个大正方形，大正方形的面积为100平方厘米，小正方形的面积为36平方厘米，则一个长方形的周长是多少厘米？ 解：如图，因为大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为6厘米，

所以长方形的宽是(10－6)÷2＝2(厘米)，长是10－2＝8(厘米)，周长是(8＋2)×2＝20(厘米)。 例4 将如图所示的一块地分给5个种植小组，要求每组分得的土地形状和大小都相同，请画图表示。

解：分法如图。

练 习 十 三

1．AOB是三角形纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少要折几次，就可以得到8个相同的三角形？

A B

O 2．下图是一个正方体木块。M是AB的中点，N是AD的中点。过M、N、G三点将木块锯成两块，截面是平的，这个截面是几边形？

A N D M B C

E H

F G 3．数一数，图中共有多少个正方形？

要么“7”＝1，要么“8”＝0。由(2)得知，“7”≠1，所以“8”＝0。于是“7”＝2，“6”＝8。由(4)得知，“3”＝1。最后由(3)得知，“9”＝5。因此，原来的四个算式是0×2＝2，2×2×2＝8，(2＋0＋1)×5＝15，1×1＝1。

第二讲 图形问题(一)

1．15×2＋8×4＝72(㎝)。

2．符合条件的长方形的长和宽分别是10,1；9,2；8,3；7,4；6,5共五种情况。面积的和是10×1＋9×2＋8×3＋7×4＋6×5＝110。

3．如图，设原来正方形的边长为a厘米， a 10

A 6 B 因为A、B的面积相等，试算发现，只有当a＝15，才有10×(15－6)＝90＝15×6，所以，原来正方形的边长是15厘米，面积是15×15＝225(平方厘米)。 4．同样大。

5．如图，设正方形的边长是a分米，A的面积就是5a平方分米，B的面积就是3a平方分米，C的面积就是5×3＝15(平方分米)，于是5a＋3a＋15＝71,8a＝56，a＝7，所以剩下的正方形的面积是7×7＝49(平方分米)。

A

B C

6．画图显示，四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，有8个边消失了，所以原来每个正方形的边长是40÷8＝5(厘米。拼成长方形后，长方形的四周由原来正方形的10条边组成，所以这个长方形的周长是5×10＝50(厘米)。

7．从大正方形中切下一个同样的小正方形，再把它上面的那块拼在大正方形的右上方如图，右边两个小长方形拼成的大长方形的面积是40平方厘米，长是20厘米，宽是40÷20＝2(厘米)，也这就是说大、小两个正方形边长的差是2厘米，于是，大正方形的边长是(20＋2)÷2＝11(厘米)，大正方形的面积是11×11＝121(平方厘米)。

8．剪拼方法如图：

9．因为57是19的3倍，所以45是阴影部分的3倍，阴影部分的面积是45÷3＝15。

10．每个正方形的面积都是它各边中点连线所成正方形面积的2倍，所以第一个正方形的面积是第四个正方形面积的8倍，是阴影部分面积的16倍。

11．如图，阴影部分的面积是120÷4＝30(平方米)，其中黑色部分的面积是4平方米，灰色部分的面积是30－4＝26(平方米)，所以水池的边长是26÷2＝13(米)，面积是13×13＝169(平方米)。

12．124＝4×31，至少需要(31＋4)×2＋4＝74(张)。

第三讲 枚举与计数

1．后面两个数的积与前面两个数的积的差，等于第三个数与第一个数的差乘第二个数，而第三个数与第一个数的差是2，所以第二个数是114÷2＝57，最小的数即第一个数是57－1＝56。

2．百位数字有4种选择，十位数字也有4种选择，个位数字有3种选择，所以一共能组成4×4×3＝48(个)三位数。百位数是1的有12个，所以第14个数是205。

3．这样的三个数字有：1, 2，7；1, 3，6；1, 4，5；2, 3，5，共4组。每组三个数字可以组成3×2×1＝6(个)三位数，总共可以组成6×4＝24(个)三位数，所以三个数字之和为10的三位数有24个。 4．十位数字比个位数字大5的两位数有：94、83、72、61、50，除了50以外，将十位和个位上的数字对调，所得的两位数依次是49、38、27、16，都比原来的两位数小94－49＝83－38＝72－27＝61－16＝45。

5. (1)一位数有9个，编一位数页码用了1×9＝9(个)数字； (2)两位数有90个，编两位数页码用了2×90＝180(个)数字； (3)三位数的页码编了(870－9－180)÷3＝227(页)； (4)这本书共有9＋90＋227＝326(页)。

6．设实际总人数为abc，统计员提供的数据为bac，于是有(100a＋10b＋c)－(100b＋10a＋c)＝90(a－b)＝180，所以a－b＝2，即实际总人数为97□、86□、75□、64□、53□、42□、31□。因为这个数是36的倍数，经试算得知，实际总人数最多为972人，最小少648人。

7．100以内7的倍数有7, 14, 21，…，98共14个，拍手14次；带7的数有7, 17, 27，…，70, 71，…79, 87, 97共19个，拍手2×19＝38(次)。既是7的倍数又带7的数有7, 70, 77正好分别拍过3次手，所以一共拍了14＋38＝52(次)手。

8. (1)5＋4＝9种；(2)5×4＝20种。 9．共有3×50÷2＝75(条)公路。

10．解法一：用倒推法分析。从A向上走，每一步有2种选择，共有2×2×2×2＝16(条)不同的路线。 解法二：从第2层的5个点往下走，分别有1, 4，6, 4，1条路线，共有1＋4＋6＋4＋1＝16(条)不同的路线。

11. 用标注来路的方法可得共有6种不同走法。

家 1 1

1 2 3

1 3 6学校

12. 呈“一字形”的2种；呈“拐角形”的8种，一共10种。

第四讲 推理与判断

1．由乙的对面是“南”确定乙坐在北边。再由丙坐在乙的左边，确定丙坐在东边。再由丁的对面不是乙，确定丁坐在西边。所以甲坐在南边。

2．由(1)知，乙高于戊；由(2)知，戊高于甲，甲高于丁；由(1)知，乙高于丙。所以乙获得第一名。 3．由甲与农民不同岁，知道甲不是农民。由农民比乙的年龄小，知道乙也不是农民。甲、乙都不是农民，只有丙是农民。由农民比乙的年龄小，和丙(农民)比教师的年龄大，说明乙不是教师是工人，所以甲是教师。

4．假设甲会开车，甲、乙说的就都是真话，与题意矛盾；假设乙会开车，就只有甲说的是真话，与题意相符；假设丙会开车，乙、丙说的就都是真话，与题意矛盾。所以会开车的是乙。

5．由上式和中式得知，1个○等于2个□；先把下式的1个○换成2个□，再把4个□换成3个△，得4个△等于800，所以△＝200。进而推知□＝150，○＝300。

6．观察发现，前两组图形中圆中的数等于两个三角形中的数的积加上正方形中的数，所以“？”处应填5×5＋4＝29。

7．得第三名的运动员说“1号不是第四名。”那么1号只能是前两名，因为3号在1号前面，所以3号是第一名，1号是第二名。又因为号码与名次都不相同，所以4号是第三名，2号是第四名。

8．因为小盒子所装棋子数的个位数只能是0或5，所以大盒子所装棋子数的个位数只能是4，即大盒子数是2或7。如果大盒子数是7,小盒子数就是(99－12×7)÷5＝3,盒子总数等于10，不合题意，所以有2只大盒子，(99－12×2)÷5＝15(只)小盒子。

9．画图显示，当两端各有一个空位，而任意两人之间都有两个空位时，就可以满足条件。这时就座的有5个人。

10．初始分60是偶数，答了第1题后，加或减一个奇数，得分变成奇数。答了第2题后，加或减一个奇数，得分变成偶数。……因为总题数20是偶数，得分总共变偶数次，所以最后得分还是偶数。

11．显然“希” ＝1，进而“望”＝8，“杯”＝0，“赛”＝7。

12．因为积的个位数是9，“赛”可能是3或7。如果是3，“杯”无论是几都不合理，所以“赛”只能是7。进而推知“杯”是5，“望”是8，“希”是2，“学”是4，“小”是1。六位数是142857。

第五讲 解决问题(一)

1．甲队原来比乙队多10＋10＋5＝25(人)，因为甲队的人数是乙队的2倍，所以多的这25人也就是乙队的人数，因此甲队原来有25×2＝50(人)。

2．这位同学在第一试答对的题有24÷(1＋2)×2＝16(道)，在第二试答对的题有(24＋20)÷(1＋3)×3－16＝17(道)。

3．全部6筐萝卜的总量是24＋33＋35＋37＋38＋41＝208(千克)，因为208除以3余1，说明质量是除以3余1的那筐萝卜没有被承包，6筐萝卜中只有37满足条件，所以没有被承包的那筐萝卜重37千克。

4．小明有48÷(5＋1)＝8(张)纪念邮票，小光有48－8＝40(张)纪念邮票。小光有20÷(3＋1)＝5(张)特种邮票，小明有20－5＝15(张)特种邮票。小光的邮票比小明多(40＋5)－(8＋15)＝22(张)。

5．小朋友共(3＋4)÷(7－6)＝7(组)，苹果有7×7－3＝46(个)。

6．预订了(4＋2)÷(6－5)＝6(间)房间，共有5×6＋4＝34(人)。

7．三角形桌子有(4×13－44)÷(4－3)＝8(张)，正方形桌子有13－8＝5(张)，三角形桌子比正方形桌子多8－5＝3(张)。

8．如果18道都答对了，应该得8×18＝144(分)，少得了144－92＝52(分)，因为答错一道题少得8＋5＝13(分)，所以小华在此次比赛中答错了52÷13＝4(道)题。

9．如果100张都是10元的，应该是10×100＝1000(元)，实际少用了1000－748＝252(元)，买1张5元和1张8元的少用(10－5)＋(10－8)＝7(元)，所以买了5元1张的和8元1张的各252÷7＝36(张)，买了10元1张的100－36×2＝28(张)。

10．如果两人全部打中，应得20×20＝400(分)，所以共有(400－208)÷(20＋12)＝6(发)未打中，共打中20－6＝14(发)，小王比小李多打中64÷(20＋12)＝2(发)，小王打中(14＋2)÷2＝8(发)，小李打中(14－2)÷2＝6(发)。

11．根据老师6年前的年龄和小明6年后的相同可知，老师比小明大6＋6＝12(岁)。根据老师3年后的年龄和小明3年前的年龄之和是42岁可知，今年老师和小明年龄之和是42＋3－3＝42(岁)。依照和差问题的解法，所以今年老师的年龄是(42＋12)÷2＝27(岁)，小明的年龄是(42－12)÷2＝15(岁)。

12．第一堆有(786＋24＋16＋46)÷4＝218(个)，第四堆有218－46＝172(个)。

第六讲 解决问题(二)

1．在4次计算中，每个数的

1各算了3次，每个数又各算了1次，所以4次计算所得的总和26＋323＋40＋46＝144中含有四个数的总和的2倍，四个数的总和是144÷2＝72，四个数的平均数是72÷4＝18。

2．23×4＋34×3－27×6＝32。

3．从甲筐取出64÷2＝32(个)放入乙筐后，两筐的苹果个数相等，再从甲筐取出12÷2＝6(个)放入乙筐，可使乙筐的苹果个数比甲筐多12个，所以从甲筐取出32＋6＝38(个)苹果放入乙筐，可使乙筐的苹果个数比甲筐多12个。

4．如果给语文、外语两门课各添3分，三门课的总分就是92×3＋3×2＝282(分)，相当于数学成绩的3倍，所以数学282÷3＝94(分)。实际语文、外语的成绩和是(94－3)×2＝182(分)，而语文比外语高2分，所以外语(182－2)÷2＝90(分)。

5．思想品德和数学两科的总分是87×6－(88＋81＋79＋76)＝198(分)，因为数学比思想品德分数高，所以数学100分，思想品德98分。

6．小明应补给小光26－44÷2＝4(本)书的钱，每本书28÷4＝7(元)，小光、小明各带了7×44÷2＝154(元)。

7．虽然甲厂和丙厂一共比乙厂多拿了15×2＝30(吨)煤，但是这30吨煤平均每个工厂本来应得30÷3＝10(吨)，实际上甲厂所给乙厂的3000元只是15－10＝5(吨)煤的钱，所以每吨煤3000÷5＝600(元)。

8．因为总有5－2＝3(位)宇航员在休息，所以5位宇航员总的休息时间是60×3＝180(小时)，平均每位宇航员休息了180÷5＝36(小时)。

9．小明的速度是每秒1米，火车的速度是每秒3米。从小明见到车头到见到车尾的100秒内，有小明走的100米，还有火车走的300米，所以火车的车身长100＋300＝400(米)，火车要通过这座桥，除了要走过桥的长度，还要走过一个与车身同样长的长度，要用(100＋400)÷3≈167(秒)。

10．两列车长度的和是(25＋20)×9＝405(米)，乙列车长405－225＝180(米)。坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了180÷(25＋20)＝4(秒)。

11．甲5秒钟比乙多跑10米，每秒比乙多跑10÷5＝2(米)。换一种方式，甲4秒内比乙多跑2×4＝8(米)，而这8米是乙先跑2秒的结果，乙每秒跑8÷2＝4(米)，所以甲的速度是每秒4＋2＝6(米)。

12．他走50分钟要休息10分钟，也就是说在1小时内要休息一次。如果他不休息，只需9÷3＝3(小时)，因为在3小时内他休息了3次，共30分钟，实际需要3小时30分钟，所以他最晚上午8时30分就要出发。

第七讲 综合练习(一)

1．因为7*3＝(7＋3)÷2＝5，所以，原式＝5△6＝3×5－2×6＝3。

2．因为十位数字比个位数字小6，所以将十位和个位上的数字对调后，所得的两位数比原来大9×6＝54。

3．能，因为0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(个)。

4．解法一：因为小路的面积是64平方米，大正方形的边长至少是9米。如果是9米，花坛的边长就是5米，小路的面积就是9×9―5×5＝56≠64(平方米)，不合题意；如果是10米，花坛的边长就是6米，小路的面积就是10×10―6×6＝36(平方米)，正合题意，所以，花坛的面积是6×6＝36(平方米)。

解法二：[(64－2×4)÷4÷2]＝36(平方米)。

5．长方形的长是30÷3＝10(厘米)，宽是42÷6＝7(厘米)，面积是10×7＝70(平方厘米)。 6．当十位数字是9时，满足题意的两位数有9个； 当十位数字是8时，满足题意的两位数有8个；…… 当十位数字是1时，满足题意的两位数有1个； 共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(个)。

7．29×30÷2＝435(次)。

8．有小朋友(10＋4×2)÷(4－3)＝18(人)，有糖果3×18＋10＝64(块)。 9：用例推法：

第三次调整后：甲有8枚，乙有8枚，丙有8枚；

第二次调整后：甲有80÷2＝40(枚)，乙有80÷2＝40(枚)，丙有80＋40＋40＝160(枚)； 第一次调整后：甲有40÷2＝20(枚)，丙有160÷2＝80(枚)，乙有40＋20＋80＝140(枚)； 原来：乙有140÷2＝70(枚)，丙有80÷2＝40(枚)，甲有20＋70＋40＝130(枚)。

10．因为火车行驶一个车身的距离要10秒，而通过一座铁桥所行的距离包括桥的长度和车身的长度，所以火车行600米只需40－10＝30(秒)，每秒行驶600÷30＝20(米)，这列火车全长20×10＝200(米)。

11．如果从前5名的总分中拿出5个6分补给后5名同学，那么前5名的平均分数也就和10个同学的平均分数同样多了，所以这10名同学的平均分是(90×5－6×5)÷5＝84(分)。

12．“庆”＝1，“澳”＝4，“门”＝7，“归”＝6。

第八讲 等差数列

1．原式＝1＋2＋3＋…＋1997＝(1＋1997)×1997÷2＝1995003。

2．原式＝(1＋4＋7＋…＋67＋70)＋(3＋6＋9＋…66＋69)＝(1＋70)×24÷2＋(3＋69)×23÷2＝1680。

2

2

3．(2＋8＋14＋…＋92＋98)＋(4＋10＋16＋…＋94＋100)＝(2＋98)×17÷2＋(4＋100)×17÷2＝1734。

4．第一个括号里有1994÷2＝997项，第二个括号里有(1993＋1)÷2＝997项。 方法一：原式＝(1994＋2)×997÷2－(1＋1993)×997÷2＝997。

方法二：原式＝(1994－1993)＋(1992－1991)＋…＋(4－3)＋(2－1)＝1×997＝997。

5．原式＝(2004＋2003＋2002＋…＋1003)－(1＋2＋3＋…＋1002)＝(2004＋1003)×1002÷2－(1＋1002)×1002÷2＝1004004。

6．1007＋1017＋1027＋…＋1997＝(1007＋1997)×100÷2＝150200。

7．设最后一天写了x个。(4＋x)×31÷2＝589，x＝589×2÷31－4＝34，所以每天比前一天多写(34－4)÷30＝1(个)大字。

8．计算发现从1开始的连续20个奇数的和是400，最接近415，所以最后袋子中留下415－400＝15(个)小球。

9．设有x人参加了选拔赛，第一个人要赛x－1场，第二个人要赛x－2场，依此类推，总比赛场数就是数列1，2，3，…，x－1的和。试算发现，1＋2＋3＋…＋12＝78，所以x－1＝12，x＝13。

10．观察发现，这个数列每3个数一节，每节的第一个数是1，如果去掉每节的1，剩下的数是连续递减的自然数。1993＝664×3＋1，所以共有665个1，而连续递减的自然数从1993开始，共有664×2＝1328个数，最后一个数是1993－1328＋1＝666，所以这1993个数的和是1×665＋(1993＋666)×1328÷2＝1766241。

11．原式＝(100×95－95×90)＋(90×85－85×80)＋(80×75－75×70)＋…＋(20×15－15×10)＋10×5＝950＋850＋750＋…＋50＝(950＋50)×10÷2＝5000。

12．第20行最后一个数是20＝400，共有20×2－1＝39个数，第一个数是400－39＝361，所有的数的和是(361＋400)×39÷2＝14859。

第九讲 速算与巧算(一)

1．原式＝(2＋3＋5＋6＋8)×11111＝24×11111＝266664。

2．(1)原式＝11110－4＝11106。 (2)原式＝2222220－6＝2222214。 3．原式＝379000÷(125×8)＝379。

4．原式＝(99×99＋99)÷11＝9900÷11＝900。

5．(1)原式＝12345679×9×90＝111111111×90＝9999999990。 (2)原式＝(8888888÷1111111) ×(7777777÷1111111)＝8×7＝56。 6．(1)原式＝2×2×(11111×11111)＝4×123454321＝493817284。

(2)原式＝33333×3×11111＝99999×11111＝(100000－1)×11111＝1111100000－11111＝1111088889。

7．(1)原式＝33333×(66666＋33334)＝3333300000。

(2)原式＝11111×6×(10001＋6666)＝11111×6×16667＝11111×100002＝1111122222。

2

(3)原式＝(111111＋777777)×(1000000－1)＝888888×1000000－888888＝888887111112。 (4)原式＝1001×353×352－1001×352×353＝0。

8．原式＝3987×(2375＋6832)＋9207×6013＝3987×9207＋9207×6013＝9207×(3987＋6013)＝9207×10000＝72070000。

9．原式＝1001＋255×999＋255×2＝1001＋255×(999＋2)＝1001×(1＋255)＝1001×256＝256256。 10．原式＝1999×(2000－1998)＋1997×(1998－1996)＋…＋3×(4－2)＋2×1＝(1999＋1997＋…＋3＋1)×2＝(1999＋1)×1000÷2×2＝2000000。 11. 根据商不变性质进行简算。原式＝112。 12．原式＝6＋66＋666＋6666＋66666＝74070。

第十讲 速算与巧算(二)

1．(1)原式＝(516＋484)＋(418＋582)＋(734＋266)＋(825＋175)＝4000。

(2)原式＝(7186＋2814)＋(8671＋1329)＋(6718＋3282)＋(1867＋8133)＝10000×4＝40000。

2．(1)原式＝2469378。 (2)原式＝1371317。

3．(1)原式＝161616×6000－161616×6＝969696000－969696＝968726304。

(2)原式＝(37037037×3)×(594÷3)＝111111111×198＝111111111×(200－2)＝22222222200－222222222＝22000000000－22＝21999999978。

4．原式＝87840÷720＝122。

5．原式＝(9192－8283)＋(7273－6364)＋(5354－4445)＋(3435－2526)＋1516＝909×4＋1516＝3636＋1516＝5152。

6．(1)原式＝8032＋10035＋12036＋14035＋16032＝(8000＋12000＋10000＋14000＋16000)＋32×2＋35×2＋36＝60000＋64＋70＋36＝60170。

(2)原式＝(2004＋1996)×4＋(2003＋1997)×3＋(2002＋1998)×2＋(2001＋1999)＝4000×(4＋3＋2＋1)＝4000×10＝40000。

7．被除数、除数同时除以12×24×36。原式＝10÷(1＋2＋3＋4)＝1。 8．(1)原式＝11111×(5＋6＋7＋8＋9)÷7＝11111×35÷7＝11111×5＝55555。

(2)原式＝2003×(2001÷111＋73÷37)＝2003×(667÷37＋73÷37)＝2003×(667＋73)÷37＝2003×740÷37＝2003×20＝40060。

9．(1)原式＝1991×1992×(100010001－100010001)＝1991×1992×0＝0。

(2)原式＝(20022002＋1)×20032002－20022002×(20032002＋1)＝20022002×20032002＋20032002－20022002×20032002－20022002＝20032002－20022002＝10000。

(3)原式＝(20042004＋1)×20052004－20042004×(20052004＋1)＝20042004×20052004＋20052004－20042004×20052004－20042004＝20052004－20042004＝10000。

10．原式＝(2003＋2002－2001－2000)＋(1999＋1998－1997－1996)＋…＋(3＋2－1－0)＝4×(2004÷4)＝2004。

11．原式＝(2004＋2003＋2002＋2001－2000－1999－1998－1997)＋…＋(12＋11＋10＋9－8－7－6－5)＝16×(2000÷8)＝16×250＝4000。

12．观察发现，除了首项以外，其余各项相互抵消，原式＝2004＝4016016。

第十一讲 速算与巧算(三)

2

1．(1)原式＝555…55×300－555…55×3＝1666…66500－1666…665 2004个5 2004个5 2003个6 2003个6 ＝164999…99835。 2001个9

(2)试算发现，连续6个2除以33，商6734无余。96除以6，商16，无余，所以，原式＝673400…6734006734。 15组673400 (3)原式＝(1000…0－1)×999…9＋1999…9 100个0 100个9 100个9

＝999…9000…0－999…9＋1999…9＝1000…0

100个9 100个0 100个9 100个9 200个0

2．因为2004的最高位上是2，所以□6666666□的最高位上只能是1试算发现，166666668÷2004＝83167，所以□□□□□是83167。

3．原式＝999999×(111111＋777777)＝(1000000－1)×888888＝888888000000－888888＝888887111112。

4．原式＝1999×(1＋2＋3＋…＋1999)＝1999×(1＋1999)×1999÷2＝1999×1000＝3996001000。

5．原式＝(1003－997)＋(1002－998)＋(1001－999)＋1000＝(1003＋997)×(1003－997)＋(1002＋998)×(1002－998)＋(1001＋999)×(1001－999)＋1000＝2000×6＋2000×4＋2000×2＋1000000＝2000×(6＋4＋2)＋1000000＝24000＋1000000＝1024000。

6．四位数1000除以它的数字和1，得1000，2000÷2，3000÷3，……，9000÷9，商都是1000，其它的四位数除以它的数字和，商都不可能是四位数，所以，可能得到的最大的商是1000。

7. 除数＝(415－4－8－8)÷(4＋1)＝79，被除数＝79×4＋8＝324。 8．(1)1、1、1、1、1、2、7； (2)1、1、1、1、1、3、4。

9．对于同一个因数，小虎比小马少算了(80－60)＋(8－5)＝23，因此积少算了 5632－4160＝1472，说明那个正确的因数是 1472÷23＝64。所以小马把另一个因数错当成 5632÷64＝88，可见另一个因数是 85，这道题正确的积应该是 64×85＝5440。

10. 因为这两个数的和是 531，在小明的错误中，531 也就是被除数与除数的和。所以除数是 (531－18)÷(18＋1)＝27，被除数是 531－27＝504，也就是说，这两个加数分别是27和504。

11．四步运算的结果等于加5。1984－1949＝35，35÷5＝7，4×7＝28，所以经过28步计算，结果是1984；2001－1949＝52，52不能被5整除，试算发现，如果把四步运算进行8次，接着再加一次12，就可以得到52，所以一共需要进行4×8＋1＝33步计算。

12．边计算，边找规律，再按规律计算。

1＝1，11＝121，111＝12321，1111＝1234321，……，111111111＝12345678987654321。

第十二讲 解决问题(三)

1. 75258÷(10－1)＝8362(元)。 2. (30＋30＋4)÷(10＋6)＝4(秒)。

3. 原来安排宿舍(6×2＋9×2)÷(9－6)＝10(间)，共有营员6×(10＋2)＝72(人)。 4. 应尽量用大货车。5×14＋3×2＝76，用大货车14次，小货车2次。

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5．每售出3瓶可以获利1瓶的钱，即5÷4元，要获利100元需售出100÷(5÷4)个3瓶，即3×［100÷(5÷4)］＝3×100÷5×4＝240(瓶)。

6．试算发现，黑珠子有1颗时，白珠子有5颗，红珠子有11颗；黑珠子有2颗时，白珠子有10颗，红珠子有5颗。所以，红珠子有11颗或5颗。

7．可以让15名成人和5名儿童买团体票用160元，其余20名儿童买儿童票用100元，至少要花260元。

8．如果这100个馒头全部分给小和尚，可以分给3×100＝300(人)，比实际多300－100＝200(人)，然后用大和尚来换小和尚，因为1个大和尚相当于9个小和尚，每换1个大和尚可以减少小和尚9－1＝8(人)，一共要换大和尚200÷8＝25(人)，所以有大和尚有25人，小和尚有100－25＝75(人)。

9．小船每人8÷2＝4(元)，大船每人10÷6＜2元，所以应该尽量多租大船。试算发现，租8条大船1条小船最经济实惠，只需10×8＋8＝88(元)。

10．一种路段长3＋4＋2＋4＝13(千米)，另一种路段长3＋2＋4＝9(千米)，因为两种路段都只有一段上坡路，所以全程共分为25个路段。如果这25个路段都是较长的路段，全程应该是13×25＝325(千米)，多出来325－281＝44(千米)，说明有44÷(13－9)＝11(段)较短的路段，有25－11＝14(段)较长的路段。 11．(2775－1675)÷10＝110(块)。

12．(3－1)×[(28－1)÷(4－1)]＋1＝19(层)。

第十三讲 图形问题(二)

1．4次。 2．五边形。

3．最小的正方形有4个；再大一些的有17个；再大一些的有9个；再大一些的有4个；最大的有1个。共4＋17＋9＋4＋1＝35(个)。

4．大长方形长边上有3＋2＋1＝6 (条)线段，宽边上有4＋3＋2＋1＝10 (条)线段，一共可以形成10×6＝60(个)长方形。

5．在外围画一个三角形，如图： 或

6．长方形的宽是10×4÷2－12＝8(分米)，面积减少10×10－12×8＝4(平方分米)。

7．长从32厘米变成2厘米，经试算需裁8次。 8．有下面5种：

9．因为120＝1×120＝2×60＝3×40＝4×30＝5×24＝6×20＝8×15＝10×12，所以能摆出8种。 10．分法如下：

11．火柴棍有3种方向，N＝1时，1×3＝3(根)；N＝2时，(1＋2)×3＝9(根)；N＝3时，(1＋2＋3)×3＝18(根)；N＝4时，(1＋2＋3＋4)×3＝30(根)；N＝5时，(1＋2＋3＋4＋5)×3＝45(根)。

12．(2)。

第十四讲 图形问题(三)

1．能回到原地，它爬行的路线是一个正五边形。 2．90°。

3．∠B＋∠C＝180°－80°＝100°,∠2＋∠4＝(∠B＋∠C)÷2＝50°,∠5＝180°－(∠2＋∠4)＝180°－50°＝130°。

4．∠A＋∠B＝∠ACD，∠F＋∠E＝∠PDE，∠G＋∠N＝∠CPN，而且∠ACD、∠PDE、∠CPN分别加上三角形CDP的相应的内角，等于180°×3＝540°，所以∠A＋∠B＋∠F＋∠E＋∠G＋∠N＝540°－180°＝360°。 5．(1) (2)

6． 7． 8． 9．

10．试算发现1＋2＋3＋…＋20＝(1＋20)×20÷2＝210，所以最上层有20枝铅笔。 11．(1＋10)×10÷2＝55(个)。

12．小三角形共6行，红色小三角形有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(个)，蓝色小三角形有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，红三角形比蓝三角形多21－15＝6(个)。

第十五讲 综合练习(二)

1．原式＝(765×213＋765×327)÷27＝765×(213＋327)÷27＝765×540÷27＝765×(540÷27)＝765×20＝15300。

2．原式＝456×7＝3192。

3．原式＝(9898＋1)×9998－9898×(9998＋1)＝9898×9998＋9998－9898×9998＋9898＝9998－9898＝100。

4．(15＋85)＋(16＋84)＋(17＋83)＋(18＋82)＋N＝500,400＋N＝500，N＝100。 5．第二天行军80＋50＝130(千米)，第三天行军(130＋50)÷2＝90(千米)。

6．14个。 7．[(282－6－(3＋6))÷3＝89(分)。

8．电动车有(38－6)÷(3－1)＝16(辆)，自行车有16＋38＝54(辆)。 9．54÷6＋1＝10(盆)。

10．20－(5×20－60)÷(5＋3)＝15(道)。 11．38个。

12．长方形的长是(10＋2)÷2＝6(厘米)，宽是(10－2)÷2＝4(厘米)，面积是6×4＝24(平方厘米)。

4．(15＋85)＋(16＋84)＋(17＋83)＋(18＋82)＋N＝500,400＋N＝500，N＝100。 5．第二天行军80＋50＝130(千米)，第三天行军(130＋50)÷2＝90(千米)。

6．14个。 7．[(282－6－(3＋6))÷3＝89(分)。

8．电动车有(38－6)÷(3－1)＝16(辆)，自行车有16＋38＝54(辆)。 9．54÷6＋1＝10(盆)。

10．20－(5×20－60)÷(5＋3)＝15(道)。 11．38个。

12．长方形的长是(10＋2)÷2＝6(厘米)，宽是(10－2)÷2＝4(厘米)，面积是6×4＝24(平方厘米)。

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