流体力学答案 丁祖荣

流体力学 B 篇题解 B1 题解

BP1.1.1 根据阿佛迦德罗定律，在标准状态下（T = 273°K，p = 1.013×10 Pa）一摩尔 23 空气（28.96ɡ）含有 6.022×10 个分子。在地球表面上 70 km 高空测量得空气密度为 8.75 -5 3 3 3 6 ×10 ㎏/m 。 试估算此处 10 μm 体积的空气中，含多少分子数 n (一般认为 n <10 时， 连续介质假设不再成立) 答： n = 1.82×10 3 提示：计算每个空气分子的质量和 103μm3 体积空气的质量 解： 每个空气分子的质量为 m = 5

28.96g = 4.81× 10 ? 23 g 23 6.022 × 10 设 70 km 处 103μm3 体积空气的质量为 M

M = (8.75 × 10 ?5 kg/m 3 )(103 × 10 ?18 m 3 ) = 8.75 × 10 ?20 g n=

M 8.75 ×10?20 g = = 1.82 ×103 ? 23 m 4.81×10 g

说明在离地面 70 km 高空的稀薄大气中连续介质假设不再成立。 BP1.3.1 两无限大平行平板，保持两板的间距δ= 0.2 mm。板间充满锭子油，粘度为μ= 3 0.01Pa?s，密度为ρ= 800 kg / m 。若下板固定，上板以 u = 0.5 m / s 的速度滑移，设油 内沿板垂直方向 y 的速度 u (y)为线性分布，试求： (1) 锭子油运动的粘度υ； (2) 上下板的粘性切应力η1、η2 。 答： υ= 1.25×10 – 5 m2/s, η1=η2 = 25N/m2。 提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。 解：(1 )

ν=

μ 0.01kg /sm = = 1.25 × 10 -5 m 2 /s 3 ρ 800kg/m （2）沿垂直方向（y 轴）速度梯度保持常数， η1 = η 2 = μ

du = μ u / δ = (0.01Ns / m2)(0.5m/s)/(0.2×10-3m)=25N/m2 dy BP1.3.2 20℃的水在两固定的平行平板间作定常层流流动。设 y 轴垂直板面，原点在下板 上，速度分布 u ( y )为 u=

6Q (by ? y 2 ) 3 b

式中 b 为两板间距，Q 为单位宽度上的流量。若设 b = 4mm， Q = 0.33m 3 /s ? m 。试 求两板上的切应力 η 。w

答： η = 0.124 × 10 ?3 N/m 2 提示：用牛顿粘性定侓求解，两板的切应力相等。 解：由对称性上下板的切应力相等 η =μ du dy = y =0

6Qμ 6Qμ (b ? 2 y ) y =0 = 2 2 b b

查表 μ=1.002×10 – 3Pa·s,两板上切应力相等 η=

6(0.33m3 /sm)(1.002 ×10-3 Ns/m 2 ) = 0.124 ×10?3 N/m 2 ?3 2 (4 ×10 m)

BP1.3.3 为

牛顿液体在重力作用下， 沿斜平壁 (倾斜角θ)作定常层流流动， 速度分布 u (y) u=

式中ν 为液体的运动粘度，h 为液层厚度。试求 (1). 当 θ = 30 0 时的速度分布及斜壁切应力 η w1 ； (2). 当 θ = 90°时的速度分布及斜壁切应力 η w 2 ； (3). 自由液面上的切应力 η 0 。 答： η w1 =

g sin θ ( 2hy ? y 2 ) 2ν

1 ρ gh ； η w2 = ρ gh ； 2 η0 = 0 。

提示：用牛顿粘性定侓求解。 解： （1）θ= 30°时，u = g (2 h y- y 2 ) / 4νη w1 = μ du dy = y =0

1 1 ρ g (h ? y ) = ρ gh 2 2 y =0 (2)θ= 90°时，u = g (2 h y- y 2 ) / 2νη w2 = μ du dy y =0

= ρg ( h - y ) y =0 = ρ gh = ρ g sin θ ( h - y ) y =h = 0 2 (3) η0 = μ du dy y =h

BP1.3.4 一平板重 mg = 9.81N，面积 A = 2 m ，板下涂满油，沿θ= 45°的斜壁滑下，油 膜厚度 h = 0.5 mm 。若下滑速度 U =1m/s, 试求油的粘度 μ。 答： μ = 1.734 × 10 ?3 Pa ? s 提示：油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡，油膜切应力用牛顿粘性定 律求解，速度梯度取平均值。

解：平板受力如图 BP1.3.4 所示，油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡

mg sin θ = ηA = μ U A h

hmg sin θ (0.5 ×10?3 m)(9.81N)sin45ο = = 1.734 ×10?3 Pa ? s μ= 2 UA (1m/s)(2m )

BP1.3.5 一根直径 d =10 mm，长度 l =3 cm 的圆柱形轴芯, 装在固定的轴套内，间隙为 δ= 0.1mm,间隙内充满粘度μ= 1.5 Pa?s 的润滑油,为使轴芯运动速度分别为 V= 5cm/s, 5 m/s,50 m/s 轴向推动力 F 分别应为多大。 答：F1= 0.705N, F2 = 70.5N, F3= 705N 。 提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。 解：F =ηA， η = μ

V δ

，A=πd l

μVπ dl (1.5Ns/m 2 )π (0.01m)(0.03m) F= = V = 14.1V(Ns/m) 0.1× 10 -3 m δ

当 V1= 5×10 –2 m/s 时，F1= 0.705 N F2=70.5N V2=5 m/s 时， V3=50m/s 时， F3=705N BP1.3.6 一圆柱形机轴在固定的轴承中匀速转动。轴径 d = 20 cm, 轴承宽 b = 20cm,润滑 mm,0.08mm,0.008mm 油粘度μ=0.2Pa·s,轴承转速为 n=150r/min。设间隙分别为δ=0.8 ? 时,求所需转动功率 W 。

? ? ? 答: W1 = 77.4 W , W2 = 774 W , W3 = 7740 W 。 ? 提示：轴承面上的切应力用牛顿粘性定侓求解，所需功率为 W = Mω , M 为轴承面

上粘性力对轴心的合力矩，ω 为角速度。 解:轴承面上的切应力为 η =μ

du ωd =μ dr 2δ

式中 ω = 2πn / 60 = 2π (150r/min) /(60s/min) = 15.7rad/s 轴承面上的合力矩为 所需要的功率为 M = ηA

μωπ bd 3 d d 1 = ηπdb = ηπbd 2 = 2 2 2 4δ

μω 2πbd 3 (0.2Pa ? s)(15.7rad/s) 2 π(0.2m)(0.2m)3 1 ? W = Mω = = ? 4δ 4 δ 2 1 N?m = 0.062 ( ) δ s

BP2.2.3 已知圆管定常流动中截面上的速度分布为 u = u m (1 ? r / R ) n (n ≠-1,-2)

式中 um 为圆管轴线上的最大速度，R 为圆管半径。 （1）试验证截面上的平均速度 为 V = 2um /[(n + 1)(n + 2)] ； （2）取 n= 1/7，求 V。 答：V = 0.8167 um 解： （1） V = 由积分公式

R ? R r n R R r n +1 R ? r n +1 r (1 ? ) rdr = ? rd(1 ? ) = ? ? ∫ (1 ? ) n +1 dr ? ?r (1 ? ) 0 R n + 1 ∫0 R n +1 ? R R ? 0 ? ?

Q 1 u r 2um r = 2 ∫ udA = m2 ∫ (1 ? ) n 2πrdr = 2 ∫ (1 ? ) n rdr πR 0 A πR R R 0 R R R （a） ∫ R 0

R R r n+1 r ? R2 r =? ∫0 (1 ? R ) d(1 ? R ) = (n + 1)(n + 2) (1 ? R ) n +1 0 = R2 (n + 1)(n + 2) R

代入(a)式 V=

当 n＝1/7 时

2um R2 2um ? = 2 R (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) 2u m = 0.8167u m 1 1 ( + 1)( + 2) 7 7 V=

BP2.2.4 在习题 BP2.2.3 的速度分布式中取 n = 1 / 10， 计算动能修正系数α， 并与例 B2.2.2 中 n = 1/7 的结果作比较。 答： α =1.031 2 um 2 × 10 × 10 解：由 BP2.2.3 V = = um = 0.8658 u m 1 1 11 × 21 ( + 1)( + 2) 10 10 或 um / V= 1.155。由例 B2.2.2 动能修正系数定义为 α= = = 2 R2 ∫ R 0

u 2 ( ) 3 r dr = 2 V R ∫ R 0

r 1/10 ? ? um ? V (1 ? R ) ? rdr ? ? 3

2 × 1.153

R 2 3 ∫ ( R 0 (1 ? 2 × 1.15

r 3 /10 ) dr R R2 3 10 + 2) R2 3 10 + 1)(

= 1.031 13 × 23 计算表明，与 1/7 指数分布相比，1/10 指数分布的速度廓线更加饱满，动能修 =

1.1553 × 2 × 10 × 10

正系数更接近于 1。 ， ， BP2.3.1 设平面流动的速度分布为 u = x2, v = -2 xy, 试求分别通过点（2, 0.5）（2, 2.5）（2, 5）的流线，并画出第一象限的流线图。 答： x y = C 2

解：流线方程为

dx dy , = 2 ? 2 xy x 积分可得

dy dx = ?2 y x

y = C x –2 或 x 2 y = C 流线为 x y = 2 2

ln y = - 2 ln x + ln C1,

通过（2，0.5）时 C = 2 (2，2.5 ) (2，5） C= 10 C= 20 x 2 y = 10 x 2 y = 20

BP2.3.2 设平面不定常流动的速度分布为 u = x + t，v = - y + t，在 t = 0 时刻流体质点 A 位 于点(1,1)。试求（1）质点 A 的迹线方程， （2）t=0 时刻过点（1, 1）的流线方程并 与迹线作比较。 答： (1) x = 2et ? t ? 1，y = 2e ? t + t ? 1; ( 2) xy = 1 解： （1）由 由

dx = x + t, dt

x = C1e t ? t ? 1, t = 0 时 x = 1, C 1 = 2 y = e ?t ( ∫ te t dt + c2 ) = e ?t (te t ? e t + C2 ) = C2 e ?t + t ? 1 y = 2 e t+ t – 1 －

dy = ? y + t, dt

t = 0 时 y = 1, C2 = 2, 迹线方程为 x = 2et - t – 1, (2 ) 由 dx dy = ， + t）(- y + t ) = C , t = 0 时 x = y = 1，C = - 1, （x x+t ? y+t

v= 1, 在 t = 1 时刻流体质点 A 位于(2,2)。

此时的流线方程为 x y = 1 BP2.3.3 设平面不定常流动的速度分布为 u = xt, 作示意图说明。 答： (1) y = (2 ln 解： （1）由 试求(1)质点 A 的迹线方程； (2)在 t=1、2、3 时刻通过点（2, 2）与流线方程, 并

x 1 + 1)1/ 2 + 1, (2) y = ln x ? C 2 t

dx 1 = u = xt ， dx = xtdt ，解得 ln x = t 2 + C1 dt 2 1 因 t = 1 时，x = 2, 可得 C1 = ln 2 ? 。代入上式得 2 ln x ? ln 2 + 1 1 2 = t , 2 2 2 ln

x +1 = t 2 2

x t = (2 ln + 1)1/ 2 2 由 （a）

dy = v = 1 解得 dt （b） y = t + C2

y = ( 2 ln dx dy = xt 1 积分得

因 t = 1 时，y = 2 可得 C2 = 1 由(a), (b) 式可得质点 A 的迹线方程为

Ain

(v ? n)dA = ? ∫ Aout (v ? n)dA

本题中 v 和 n 不是方向相反（入口）就是方向相同（出口） ，因此可积分得 2bhU = ∫ h 0

x2 y2 x3 b y u m (1 ? 2 )(1 ? 2 )dxdy = u m ( x ? 2 ) -b ( y - 2 ) ∫-b b h 3b 3h 0 b h

b b h 8 = u m (b ? + b ? )(h ? ) = bhu m 3 3 3 9 9 um = U 4 BP4.2.6 某系统中不可压缩非牛顿流体以线性速度分布 u = u0 (1 ? 2 | y | / b) 流入二维平行 平板水槽内，式中 u0 为 x 轴上最大速度，b 为槽高度（图 BP4.2.6） 。在图示坐标系 中设在槽下游某截面上流体速度分布改变为 u = um cos (πy/b)，试求 u m 与 u 0 的关 系式。 提示：用不可压缩流体定常流积分形式的连续性方程（厚度为 1）求解： ∫ Aout

( v ? n ) dA + ∫ ( v ? n ) dA = 0

Ain

答： um = πum / 4 解： 由不可压缩流体积分形式的连续性方程（取宽度为 1） ∫ Ain

( v ? n ) dA + ∫ Aout

(v ? n)dA = 0 b

2y y2 2 b b b (v ? n)dA = ?2 ∫ u0 (1 ? )dy = ?2u0 ( y ? ) = ?2u0 ( ? ) = ? u0 ∫Ain b b 0 2 4 2 b 2 0 ∫ Aout

(v ? n)dA = ∫ um cos( b 2 b 2 πb y )dy = bum π

sin(

πb

y)

b 2 ? b 2 = 2b π

um 由?

π b 2b u0 + u m = 0 ，可得 u m = u0 2 π 4

BP4.3.1 在大气中一股空气射流以速度 V 吹到一与之垂直的壁面上（见图 BP4.3.1 示） ，壁 面上的测压孔与 U 形管水银计相通。设测压计读数Δh = 3.5 mmHg，空气密度ρ =1.293 kg / m3，试求空气射流的速度 V。 提示：U 形管测到的是射流总压强。 答：V =26.9 m/s 解：U 形管测压计测到的是总压强，按伯努利方程有 p0 = p + 1 ρV 2 2

水银液位差Δh 相应于流体动压强 p0 ? p =

1 ρ V 2 = ρ m g? h 2 V =( 2ρm

ρ

g? h)1/2 = [

2(13.6 ×103 kg/m3 ) (9.81m/s2 )(3.5 ×10-3 )]1/2 = 26.9m/s 1.293kg/m3

BP4.3.2 一梯形薄壁堰如图 BP4.3.2 所示， 底宽为 b， 两侧边倾斜角均为θ， 水面高恒为 h， 试求水流的体积流量 Q。 提示：本题与三角堰流量计属同一类型，设法利用三角堰的结果可简化计算 答： Q = 2 4 2 gh3 / 2 (b + h tan θ ) 3 5 Q1 = 8 2 g (tan θ ) h 5 / 2 15 2 2 gz bdz = 2 g b z 3 / 2 3 h 0

解：左右两块三角形正好拼成孔口角为 2θ的三角堰，按例 B4.3.1B 矩形部分流量为 Q2 = ∫ 总流量为 h 0 =

2 2 g bh 3 / 2 3 Q = Q1 + Q2 =

8 2 2 4 2 g (tan θ ) h 5 / 2 + 2 g bh 3 / 2 = 2 g h 3 / 2 (b + h tan θ ) 15 3 3 5

BP4.3.3 为测量水管中的流速， 在管壁和轴线上安装 U 形管测压计如图所示。 水管直径 d = 50 cm，U 形管内液体的密度为ρ1= 800 kg/m3，液位差为Δh =30 cm，试求轴线上 的速度 V。 提示：本题是另一种形式的毕托测速管装置，U 形管内的工作液体比水轻。 答：V =1.08 m/s 解：沿轴线列伯努利方程，O 点为驻点 p0 = p +

1 ρ V 2 ， V = [2( p 0 ? p )/ρ ]1/2 2 (a)

设 U 形管中左、右液面为 2、3，左液面离管壁距离为 b，由静力学关系轴心压 强为

p = p 2 + ρ g (b + d / 2) = p 3 + ρ 1 g?h + ρ g (b + d / 2) p 0 = p3 + ρ g (?h + b + d / 2) p 0 ? p = ( ρ ? ρ 1) g?h 代入（a）式可得

? ? ρ V = ?(1 ? 1 )2 g?h ? ρ ? ? 1/ 2

800 ? ? = ?(1 ? )2(9.81 m/s 2 )(0.3m)? 1000 ? ? 1/2

= 1.08 m/s

BP4.3.4 集流器通过离心式风机从大气中吸取空气，在 d = 200 mm 的流通管壁上接单管测 压计到一水槽内，如图所示。若水面上升高度为 h = 250 mm ，试求集流器中的 空气流量 Q，空气密度为ρ=1.29 kg/m3。

提示：取无穷远处为一参考点；集流器壁测压管口的压强为负压强。 答：Q =1.94 m /s 解：取无穷远处为参考点列伯努利方程，且对静止大气 V∞= 0, p∞= 0 3

V∞2 p ∞ V2 p + = + = 0, V = ? 2 p / ρ 2g ρ g 2g ρ g 设水的密度为ρ1，单管测压计测得 p = -ρ1g h

V = 2 ghρ1 / ρ = 2(9.81m/s 2 )(0.25m)(1000/1.29) = 61.7 m/s Q = VA = V π

π d 2 = (61.7m/s) (0.2m) 2 = 1.94 m 3 /s 4 4

BP4.3.5 图 BP4.3.5 示一虹吸管将贮水池 A 的水吸出，流入下方的贮水池 B。虹吸管直径 为 6.8 cm，A 池水面离管出口垂直距离为 H = 3m，虹吸管最高处 C 点与 A 池水面 的垂直距离为 h = 3 m，不计流动损失，试求（1）虹吸管中的体积流量 Q（m3/h） ； （2）最高处 C 的压强（m H2O） ；(3)若将虹吸管出口延伸至 B 池水中，试讨论管 内流量应由什么因素决定？以上计算对已知条件是否有限制？ 提示： （3）将虹吸管出口延伸到池水中后，取两池的水面为参考位置列伯努利方程；限 制条件可考虑保证管内流动连续的条件。 答：Q =100 m3/h， pc =-6 mH2O 解： （1）对①，②截面列伯努利方程 V12 p V2 p + z1 + 1 = 2 + z 2 + 2 2g ρ g 2g ρg 由 V1= 0，p1 = p2 = 0，

V2 = 2 g ( z1 ? z 2 ) = 2 gH = 2(9.81 m/s 2 )(3m) = 7.67 m/s

π Q = V2 A = (7.67 m/s) (0.068m) 2 = 0.028 m 3 /s = 100.3 m 3 /h 4

（2）对②，③截面列伯努利方程

V32 p V2 p + z3 + 3 = 2 + z 2 + 2 2g ρ g 2g ρg 由 V2 = V3，p2 = 0,

p3 = z 2 ? z1 = ?(h + H ) = ?6m ρg

（3）当虹吸管伸入 B 池水中后管内流量由两池液位差决定；限制条件是 h + H ≤10 m BP4.3.6 图示一大水池水深 h = 5m，池底有一根排水管长 l = 10 m，出口处装有闸门。放水 前水池中的水保持平静，闸门突然打开后，水池水位逐渐下降，试求出水口的流 速随时间变化的规律（不计流动损失） 。 提示： 本题为一维定常流， 取大水池液面和排水管出口为参考位置列不定常伯努利方程。 答：V = 9.9tanh (0.495t) 解：对①，②截面列不定常流伯努利方程 V12 p1 V22 p 1 + z1 + = + z2 + 2 + 2g ρ g 2g ρg g 排水管内速度 V2 沿 l 不变，积分项可得 ∫ l 0

?V ds ?t （a） ∫

?V dV ds = l 2 0 ?t dt

l

由 V1= 0，p1 = p2 = 0，由（a）式

V22 dV + l 2 = g ( z1 ? z 2 ) = gh 2 dt 或

dV2 dt = 2 2 gh ? V2 2l 积分得

V t 1 tanh ?1 ( 2 ) = + C 2l 2 gh 2 gh - （b）

当 t = 0 时 V2 = 0, tanh 10 = 0, C= 0； 2 gh = 2(9.81 m/s 2 )(5m) = 9.9 m/s

2 gh 9.9 m/s = = 0.495s -1 ，由（b）式可得 2l 2 × 10m V2 = 2 gh tanh( 2 gh t ) = 9.9 tanh(0.495t ) 2l

BP4.4.1 有多个出入口的密封贮水容器如图所示，各出入口的流量与平均速度分别为 Q1 = 19.8 l/s，V1= 45.7 m/s；Q 2 =28.3 l/s，V2=18.3 m/s；Q 3 =31.2 l/s，V3=30.5 m/s；Q4= 22.7 l/s，V4= 36.6 m/s。试求使该容器保持静止所需加的力 F 。 提示：取包围贮水器的控制体，所求之力 F 为作用在控制体上的外合力，用具有多个

出入口的动量方程求解。 答：Fx= 829.3 N，Fy= 130.1 N 解：取包围容器的控制体 CV, 建立 y 轴垂直向上的坐标系 oxy 由动量方程 ? ∑ (mV ) x 方向分量式为

out

? ? ∑ (mV ) in = F

(? ρ Q2V2 sin 45° + ρ Q4V4 sin 60°) ? (? ρ Q3V3 cos 60°) = Fx

因ρQ1=（103 kg/m3）(19.8×10 – 3 m3/s) = 19.8 kg/s, ρQ2=28.3 kg/s,

ρQ3=31.2 kg/s, ρQ4=22.7 kg/s

Fx = (-28.3 kg/s) (18.3 m/s) 0.707 + (22.7kg/s) (36.6m/s)0.866 + (31.2kg/s) ?(30.5m/s) 0.5 = -366.1N + 719.5 N + 475.8 N = 829.3 N y 方向分量式为

( ? ρ Q2V2 cos 45° + ρ Q4V4 cos 60°) ? ( ? ρ Q1V1 + ρ Q3V3 sin 60°) = Fy

Fy = (-28.3 kg/s) (18.3 m/s) 0.707 + (22.7kg/s) (36.6m/s)0.5 + (19.8kg/s) (45.7m/s) -(31.2 kg/s) (30.5 m/s) 0.866 = -366.1N + 415.4 N + 904.9N -824.1 N = 130.1N BP4.4.2 图示为人腹主动脉示意图，血液从腹主动脉 1 流入右左髂总动脉 2、3。已知血管 直径为 d1=1.764 cm， 2 = 1.18 cm， 3 = 1.173 cm； d d 平均流量与流速为 Q1 = 5 cm3/s； V1= 2 cm/s； Q 2 = 2.52 cm3/s, V2 = 2.3 cm/s; Q3 = 2.48 cm3/s, V3 =2.29 cm/s；右左分 叉角为α2 =27.8°，α3 =33.4°。试求血流对腹主动脉的冲击力（不考虑压强影 响） ，血液密度为ρ=1055 kg/m3。 提示：取包围血管的控制体，所求之力 F 为作用在控制体上的外合力的负值，用具有 多个出入口的动量方程求解。

答： Fx = 4.5 × 10 N, ?6

Fy = 1.4 × 10?6 N

解：取包围血管的控制体 CV， 设血流冲击力 F 如图示，忽略重力， 不考虑压强影响、 由动量方程式 ? ∑ (mv )

在坐标系 oxy 中分量式为 out

? ? ∑ (mv ) in = ? F

x 方向： ρ Q2V2 sinα 2 ? ρ Q3V3 sinα 3 = ? Fx Fx= -(1055 kg/m3) (2.52×10 6 m3/s) (2.3×10 2 m/s) (0.4664) + + (1055 kg/m3) (2.48×10 -6 -

m3/s) (2.29×10 –2 m/s)

(0.55) = (-2.85 + 3.3)×10 – 5 N = 4.5×10 – 6 N y 方向：ρQ2V2 cos α 1+ ρQ3 V3 cos α 2-ρQ1V1= - Fy

Fy = ?(1055kg/m 3 )(2.52 × 10 -6 m 3 /s)(2.3 × 10 -2 m/s)(0.8846) ? ? (1055kg/m 3 )(2.48 × 10 -6 m 3 /s)(2.29 ×10 -2 m/s)(0.835) + + (1055 kg/m 3 )(5 × 10 -6 m 3 /s)(2 × 10 -2 m/s) = (?5.41 ? 5.0) + 10.55) × 10 -5 N = 1.4 ×10 -6 N

BP4.4.3 图示一 90°转角收缩弯管， 水从直径为 d1 = 15 cm 的大管流入弯管， 流速为 V1=2.5 m/s，压强为 p1= 6.86×104 Pa ，再流入

直径为 d2 = 7.5 cm 的小管，试求为保持弯 管静止的力 F。 提示：取包围弯曲喷管的控制体，作用在控制体上的外合力除所求之力 F 外，还应包 括两端的压强合力。 答： Fx = 538.0N, Fy = 1322.7N

解：由不可压缩流体连续性方程 V1A1 = V2A2，可得 V2 =

A1 d 15 V1 = ( 1 ) 2 V1 = ( ) 2 (2.5m/s) = 10m/s A2 d2 7.5 V12 p V2 p + 1 = 2 + 2 ，可得 2g ρ g 2g ρ g 由伯努利方程（忽略重力） p2 =

V12 ? V22 ρ + p1 2 2.52 ? 10 2 2 =(

A1 = A2 =

m 2 /s 2 )(103 kg/m 3 ) + (6.86 × 10 4 N/m 2 ) = 21725 N/m 2 π4 d12 = 2 d2 = π4

(0.15m) 2 = 0.01767 m 2 (0.075m ) 2 = 0.00442m 2

ππ

4 4 Q = V1A1=（2.5 m/s）(0.01767m2) = 0.0442 m3/s 取包围喷管的控制体 CV，由一维流动动量方程 ? m(V2 ? V1 ) = ∑ F ， x 方向动量方程为 (

∑ F 包含压强影响) ρQ（V2-0）= Fx- p2 A2

Fx = ρQV2 + p2 A2 = (103 kg/m3) (0.0442 m3/s) (10 m/s) + (21725 N/m2) (0.00442 m2 ) = 442 N + 96.0 N = 538.0 N y 方向动量方程为

ρQ（0 -V1）= -Fy+ p1A1 Fy =ρQV1 + p1A1

= (103 kg/m3) (0.0442 m3/s) (2.5 m/s)+ (6.86×104N/m2) (0.01767 m2) = 110.5 N +1212.2 N = 1322.7 N BP4.4.4 在明渠平面定常流动中，有一由平面闸门控制的泄水孔道如图所示。闸门上游水 深为 h1 = 6m，下游水深为 h2 = 1.2 m，上游平均流速为 V1= 0.6 m/s ，若忽略渠底 和渠壁摩擦力，试求水流对单位宽度闸门的水平作用力 F 。 提示：取包围闸门及泄水孔道的控制体，作用在控制体上的外合力除 -Fx 外，还应包括 上下游的压强合力。 答：F = 160.9 kN 解：在远离闸门的上下游 h1 和 h2 处取控制面，由连续性方程

V2 =

h1 6 V1 = (0.6m/s) = 3m/s h2 1.2

作用在控制体上的外力除一 F 外还有静压强合力。由流动方向的定常流动动量方 程 ρQ（V2-V1）= -F+

单位宽度渠道截面上的流量 ∫ h1

pdA ? ∫ pdA h2

Q = h1V1 = (6m) (1 m) (0.6m/s)=3.6 m3/ s 上下游单位宽度渠道截面上压强合力分别为 ∫ h1

2 p1dA = ρ gh12 /2 ， ∫ p2 dA = ρ gh2 /2 h2

F=ρQ (V1- V2)+ρg (h12 - h22) /2 = (103kg/m3) (3.6 m3/s) (0.6 m/s－3m/s) + (103 kg/m3) (9.81m/s2) [(6m)2 -(1.2m)2]/2 = -8.64×10 3 N+169.5×10 3 N = 160.9 kN BP4.4.5 一块尖缘导流板插入一股厚度为 h 的平面水流柱中，将一部分水流引到板上，另 一部分水流折射为α角的自由射流。α角与阻挡部分占水柱厚度 h 的比例 k ( 0≤ k ≤0.5 )有关，忽略重力和粘性力影响，试求（1）α角与 k 的关系； （2）射流对 单位宽度导流板的作用力 F。 提示：取包围三

支射流的控制体，利用连续性方程及 y 方向的动量方程求解α角与 k 的 关系；利用 x 方向的动量方程求解导流板对射流的反作用力。 答： α = sin ?1 (

k ) ， F = ρV 2 h(1 - 1 - 2k ) 1-k 解：沿流线的伯努利方程：

V12 p1 V22 p 2 V 2 p + = + = + 2 ρ 2 ρ 2 ρ

因 p1 = p2 = p，V1 = V2 = V 取包围三股水流的控制体 CV，自由射流和板上流柱厚度分别为 h1 和 h2 连续性方程为

V1 h1+V2 h2 = V h，h1+h2 = h 已知 h2 = kh，则 h1 = (1-k)h，相应的流量为 Q1=V（1- k）h， Q 2 = V k h， Q = V h 在图示坐标系中，由 y 方向动量方程

ρV（1- k）h V sin α +ρV k h (-V) = 0 可得 由 x 方向动量方程 sin α = k 1- k

ρV（1- k）h Vcos α -ρV h V = -F 可得

F = ρ V 2 h[1 ? (1 ? k ) cosα ] = ρV 2 h[1 ? (1 ? k ) 1 ? sin 2 α ] = ρ V 2 h[1 ? (1 ? k ) 1 ? [k/ (1 ? k )]2 = ρV 2 h(1 ? 1 ? 2k )

BP4.4.6 一股厚度为 h = 2 cm 的平面水流以速度 V = 10 m/s 冲击到对称的后弯曲二维导流 片上，流出导流片时速度与水平线夹角为α=

30°试求下面两种情况射流对单位 宽度导流片的作用力 F 和 F ′ ： （1）导流片固定（U = 0）（2）导流片以 U = 5 m/s ； 速度后退。 提示： （1）先建立固定控制体（包围三支射流）和坐标系，然后用与 BP4.17 类似的方 法求解； （2）将坐标系固结在导流片上一起运动，用相对速度求解。 答： F = 3.73kN ， F ′ = 0.93kN 解： （1）建立包围入流和两股出流的控制体，及入流方向为 x 轴的坐标系。由于射流 处于大气压环境中，沿流线速度不变 性 h1 = h2 = 0.5h。 2ρV（0.5h）(-V )cos30°-ρVhV= -F F =ρV 2h (1+cos30°) = (10 3 kg/m3) (10 m/s)2 (0.02 m) (1+0.866) =3.73 kN (2) 在匀速运动控制体动量方程中 Vr = V-U = (10 m/s) - (5 m/s) = 5m/s F =ρ Vr2 h (1 + cos30°) = (3.73 kN) (5/10)2 = 0.93 kN BP4.4.8 空气均流对一二维圆柱作定常绕流，在圆柱后部形成正弦函数速度分布，如图所 示 。 已 知 均 流 速 度 为 U = 30 m/s ， 圆 柱 直 径 d = 2 cm， 速 度 分 布 式 为 V1 = V2 = V 。由连续性方程及对称

设作用力沿 x 轴方向（由对称性，垂直方向合力为零） ，由 x 方向的动量方程 u = U sin(

π | y| （ 。试求作用在单位宽度圆柱上的力 F（空气 ) ， ? 2 d ≤ y ≤ 2d ） 4d

密度ρ=1.2 kg/m3） 。 提示：取入口（AB） ，出口（CD）截面和边线包围的控制体 ABCD，由于出入口流量

? 不相等，有一部分流量从两侧流出。先用连续性方程求侧面流量 2m

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