福建省福州三中2015届高三校模拟考试数学（理）试题

福州三中2015年校模拟考试

理科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1．“a?b,c?0”是“ac?bc”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合M???x,y?y?2?，N???x,y?y?a?，若MxN??，则实数a的取值

范围是（ ）

A．(??,1) B．(??,1] C．(??,0) D．(??,0] 3．执行如图所示的程序框图，若a?1,b?2，则输出的结果是（ ） A．9 B．11 C．13 D．15

4．已知角?的终边经过点P?4,m?，且sin??开始 输入a,b a?12? 否 是 3a?2b?a ，则m等于（ ） 5输出a 16A．?3 B．3 C． D．?3 结束 3m?im?R,i为虚数单位?在复平面上对应的点不可能5．复数z?位于（ ） ?．．．1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

PF2x2?y2?1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则6．设F1,F2为椭圆

PF14的值为 ( ) A．

1 3 B．

1 5 C．

1 7 D．

1 91 0.5

2 1 7．在如图5?5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，那么x?y?z的值为（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4

x y z 第7题图

8．定义在R上的函数f(x)，对?x1,x2?R都有f(x1?x2)?f(x1)?f?x2??1，则下列命题正确的是（ ）

A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)?1是偶函数 D．f(x)?1是奇函数 9．若等式(2x?1)2014?a0?a1x?a2x2???a2014x2014对于一切实数x都成立，

·1·

111a1?a2???a2014?( ) 232015112A． B． C． D．0

403020152015则a0?10．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点

1P(a,?)的所有直线中（ ）

2A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n?n?2?条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

11．一个总体分为A,B,C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被抽到的概率都为

1，则总体的个数为___________． 2012．在?ABC中，若角A为锐角，且AB?(2,3),AC?(3,m)，则实数m的取值范围是________． 13．如图所示2?2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中任何一个, 允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法有_______种（用数字作答）．

D1

14．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?5,BC?4,AA1?3，沿该 A1A C B D C1B1的共

（13题图）

长方体对角面ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，

那么这个四棱柱表面积的最大值为___________．

D A （14题图） B

C 15．为了近似估计?的值，用计算机分别产生90个在??1,1?的均匀随机数x1,x2,y ,x90和

y1,y2,,y90，在90组数对?xi,yi?1?i?90,i?N*中，经统计有25组 1 O ????y?tanx?4数对满足?，则以此估计的?值为________．

22??x?1???y?1??4??1 1 x ?1 （15题图）

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分）

甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率

·2·

均为

32，但由于体力原因，第7场获胜的概率为． 55（Ⅰ）求甲队分别以4:2，4:3获胜的概率；

（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

17.（本小题满分13分）

某同学用“五点法”画函数f?x??Asin??x????B（A?0,??0,??像时，列表并填入的部分数据如下表：

x ?x?? ?2）在某一个周期内的图

x1 0 1 3x2 ?2 ? 0 7 33? 2?3 x3 2? Asin??x????B 0 3 0

（Ⅰ）请求出上表中的x1,x2,x3的值，并写出函数f(x)的解析式； （Ⅱ）将f(x)的图像向右平移

2个单位得到函数g?x?的图像，若函数g?x?在区间?0,m? 3（3?m?4）上的图像的最高点和最低点分别为M,N，求向量NM与ON夹角?的大小．

18.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xoy中，点N与点M??1,1?关于原点O对称，P是动点，且直线MP与NP的斜率之积等于?1． 3y (Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线MP和NP与直线x?3分别交于A,B两点，问：是否存在点P使得?PMN与?PAB的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

理由.

·3·

O 3 x

19．（本小题满分13分）

如图，菱形ABCD的边长为2，现将?ACD沿对角线AC折起至?ACP位置，并使平面PAC?平面ABC．

(Ⅰ)求证：AC?PB；

(Ⅱ)在菱形ABCD中，若?ABC?60，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； (Ⅲ)求四面体PABC体积的最大值． 20．（本小题满分14分） 已知函数f?x??AD0PABCCB12x?ax??a?1?lnx ?a?1?． 2(Ⅰ) 讨论函数f?x?的单调性；

(Ⅱ) 若a?2，数列?an?满足an?1?f?an?． （1）若首项a1?10，证明数列?an?为递增数列；

（2）若首项为正整数，且数列?an?为递增数列，求首项a1的最小值．

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分． （1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上的任意一点P?x,y?变换为点P??x?2y,x?y?． (Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵M22?1；

(Ⅱ)求圆x?y?1在矩阵M对应的变换作用后得到的曲线C的方程．

·4·

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点

P?1,0?，斜率为3，曲线C：???cos2??8cos?．

(Ⅰ)写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点，求PA?PB的值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知m?0，函数f?x??2x?1?2x?m的最大值为3． (Ⅰ)求实数m的值；

(Ⅱ)若实数a,b,c满足a?2b?c?m，求a?b?c的最小值．

222福州三中2015年校模拟考试理科数学参考答案

一、选择题：

ADCBC CADBC

9、解法一：∵(2x?1)2014?a0?a1x?a2x2???a2014x2014，

1111， (2x?1)2015?C?a0x?a1x2?a2x3???a2014x2015（C为常数）

40302320151111取x?1得a0?a1?a2???a2014??C，

232015403011再取x?0得， (?1)2015?C?0，即得C?403040301111∴a0?a1?a2???，故选B． a2014?2320152015∴

解法二：∵(2x?1)2014?a0?a1x?a2x2???a2014x2014，

∴

?0?2x?1?12014??a0?a1x?a2x2???a2014x2014dx

01??∴

1111?a0?a1?a2???a2014，故选B． 20152320151210、解：设一条直线上存在两个有理点A(x1,y1),B(x2,y2)，由于P(a,?)也在此直线上，若x1?x2，

·5·

1y?y12，又由于x?a为无理则x1?x2?a为无理数与有理点予盾，所以x1?x2，于是2?2x2?x1x2?ay?y111数，而2为有理数，所以y2??0，于是y2?y1??，所以直线只有一条，且这条直线方

x2?x1221程只能是y??，故正确的选项为C．

2二、填空题 11．300

y2?12．由于角A为锐角，所以AB?AC?0且AB,AC不共线，所以6?3m?0且2m?9，于是实数m的取值范围是(?2,)?(,??)．

13．若A方格填3，则排法有2?32种，若A方格填2，则排法有1?32种，所以不同的填法有27种． 14．当5?3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为(5?4?5?5?3?4)?2?114． y 15．设A(1,1),B(?1,?1)，则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1，由图知，S1?9292S125528 ?4??2???2，又1??，所以??44901891

三、解答题： 16、解：（Ⅰ）设甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A，B， ∵甲队第5，6场获胜的概率均为 ∴P(A)?(1?)??1 O 1 x ?1 32，第7场获胜的概率为， 5535363228?， P(B)?(1?)??， 5255512568和． 25125 ∴甲队以4:2，4:3获胜的概率分别为

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7， ∴P(X?5)?3336， P(X?6)?(1?)??， 5552532324P(X?7)?(1?)2??(1?)2?(1?)?，

555525 6 7 ∴随机变量X的分布列为

X 5 3 p 56 254 25 E(X)?5?364139?6??7??． 5252525·6·

17、解：（Ⅰ）由条件知，????1?73???，????，∴??，??，

323223??2410∴x1??,x2?,x3?，f(x)?3sin(x?)．

333232（Ⅱ）∵函数f?x?的图像向右平移个单位得到函数g?x?的图像，

3?2??∴g?x??3sin[(x?)?]?3sinx，

2332∵函数g?x?在区间?0,m?（m??3,4?）上的图像的最高点和最低点分别为M,N，

∴最高点为M1,3，最低点为N3,?3， ∴ON?3,?3， NM??2,23， ∴cos??????????ON?NMON?NM??35?，又0????，∴??． 2618、解：(Ⅰ) ∵点N与M??1,1?关于原点O对称，∴点N?1,?1?，

设P?x,y?，∵直线MP与NP的斜率之积等于?∴

1， 3y B M O N P A 3 y?1y?11???，化简得x2?3y2?4 ?x??1?， x?1x?13∴动点P的轨迹方程为x2?3y2?4 ?x??1?.

(Ⅱ)法一：设存在点P?x0,y0?，使得?PMN与?PAB的面积相等， 11∴PA?PBsin?APB?PM?PNsin?MPN， 22∵sin?APB?sin?MPN?0， ∴PA?PB?PM?PN， 即

x PAPM?PNPB， ∴

3?x0x0?1?x0?13?x0，解得x0?5， 333533). ， ∴满足条件的点P为(,?939法二：设P?x0,y0?，A?3,y1?,B?3,y2?

22∵x0?3y0?4， ∴y0??x0?4y0?3?y1?1y0?1??y?1?4?x0?1x0?1??∴?，解得? ，

y?12y?x?3y?10?2?y?0?02??x0?1x0?1?2?∴AB?y1?y2??2x0?6??x0?y0?2x0?1，

∵S?PAB?S?PMN，MN?22，又点P到直线MN的距离d?x0?y02，

·7·

∴

113?x0y1?y2?MNd， 22∴3?x0?2x0?6??x0?y0?2x0?1?2?x0?y0?x0?3??， ∴

2x0?125?1，解得x0?， 3zP22∵x0?3y0?4， ∴y0??33533). ， ∴满足条件的点P为(,?939AOCy19、解：（Ⅰ）证明:取AC中点O，连接PO,BO，由于四边形ABCD为

菱形，

?PA?PC,BA?BC，?PO?AC,BO?AC, 又PO?BO?O， ?AC?平面POB，又PB?平面POB， ?AC?PB.

Bx面PAC， (Ⅱ) ?平面PAC?平面ABC， 平面PAC?平面ABC?AC, PO?平 PO?AC，

?PO?面ABC,?OB,OC,OP两两垂直，

故以O为原点，以OB,OC,OP方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， ??ABC?60，菱形ABCD的边长为2， ∴A(0,?1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),P(0,0,3), AB?(3,1,0),PB?(3,0,?3),PC?(0,1,?3)，

设平面PBC的法向量n?(x,y,z)，直线AB与平面PBC成角为?，

0??3x?3z?0 ∴?，取x?1，则y?3,z?1，于是n?(1,3,1)，

??y?3z?0 ∴sin??|cos?AB,n?|?|（Ⅲ）法一： 设

3?32?5|?1515， ∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为.

55,

∴

?ABC??APC??,??(0,?)12?2sin??2sin?， 2PO?APcos?2?2cos?2，

S?ABC?14?8??sin?cos?sincos2

3323228???????sin?1?sin2? (0??)， 32?2?2232????????2sin2?1?sin2??1?sin2? ∴V2?92?2??2?又PO?平面ABC， ∴VPABC?S?ABC?PO????2??1?sin2?1?sin2?2sin32222??9?3??????32?2， ?9?27??·8·

3 163?3??，当且仅当2sin2?1?sin2，即sin?时取等号， 272322163∴四面体PABC体积的最大值为．

27法二：设?ABC??APC??,??(0,?),

∴V?12?2sin??2sin?，又PO?平面ABC，

22214?8??∴VPABC?S?ABC?PO?sin?cos?sincos2

332322∴PO?APcos??2cos?，S?ABC? 设t?sin8???????sin?1?sin2? (0??)，

2232?2??832383，则VPABC?(t?t)，且0?t?1，

? ∴VPABC?(1?3t2)，

33???t?1时，VPABC?0，当?0， 时，VPABC333163163∴当t?时，VPABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．

32727∴当0?t?法三：设PO?x，则BO?x，AC?24?x2，?0?x?2?

又PO?平面ABC， ∴VP?ABC?1111PO?S?ABC??x??x?24?x2??x24?x2， 332312112211?x2?x2?8?2x222?x?x8?2x?∵?x4?x?33232?3????163??， ?27?3当且仅当x?8?2x，即x?20、解(Ⅰ) ∵f?x??2226163时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．

27312x?ax??a?1?lnx， 2x2?ax?a?1?x?1??x?1?a??∴f?(x)?（x?0），

xx2?x?1??0在?0,???上恒成立， 当a?2时,则f??x??x当1?a?2时,若x??a?1,1?，则f??x??0，若x??0,a?1?或x??1,???，则f??x??0， 当a?2时, 若x??1,a?1?，则f??x??0，若x??0,1?或x??a?1,???，则f??x??0，

综上所述：

·9·

当1?a?2时，函数f?x?在区间?a?1,1?上单调递减，在区间?0,a?1?和?1,???上单调递增； 当a?2时，函数f?x?在?0,???上单调递增；

当a?2时，函数f?x?在区间?1,a?1?上单调递减，在区间?0,1?和?a?1,???上单调递增． (Ⅱ)若a?2，则f?x??12x?2x?lnx，由(Ⅰ)知函数f?x?在区间?0,???上单调递增， 2（1）因为a1?10，所以a2?f?a1??f?10??30?ln10，可知a2?a1?0， 假设0?ak?ak?1（k?1），因为函数f?x?在区间?0,???上单调递增， ∴f?ak?1??f?ak?，即得ak?2?ak?1?0，

由数学归纳法原理知，an?1?an对于一切正整数n都成立，∴数列?an?为递增数列． （2）由（1）知：当且仅当0?a1?a2，数列?an?为递增数列， ∴f?a1??a1，即

12a1?3a1?lna1?0 ?a1为正整数?， 2x2?3x?112设g?x??x?3x?lnx ?x?1?，则g??x??，

x23?5,??)上递增， ∴函数g?x?在区间(2由于g?5??ln5?21、（1）解：

5?0，g?6??ln6?0，又a1为正整数，∴首项a1的最小值为6． 2?x??x?2y(Ⅰ)法一：设P?(x?,y?)，依题意得：?，

?y?x?y? ∴M???1 1??1?2??1?， ∴， ∴MM?3??2??1??33 ?． ???11?????33??x??x?2y法二：设P?(x?,y?)，依题意得：?，

?y?x?y?122???1??x?x?y????3333?1 ∴? ， ∴M?? ?．

?11??y??1x??1y????33??33?·10·

12??x?x?y???33(Ⅱ) ∵点P?x,y?在圆x2?y2?1上，又?， 11?y??x??y?33?2??11??1∴?x??y?????x??y???1，即得2x?2?2x?y??5y?2?9，

3??33??3∴变换作用后得到的曲线C的方程为2x2?2xy?5y2?9． （2）解：(Ⅰ) ∵ 直线l过点P?1,0?，斜率为3，

221?x?1?t?2?∴直线l的一个参数方程为? ?t为参数?；

?y?3t?2?∵???cos2??8cos?， ∴??1?cos2???8cos? ， 即得(?sin?)2?4?cos?，

∴y2?4x， ∴曲线C的直角坐标方程为y2?4x．

1?x?1?t?2?2(Ⅱ) 把?代入y2?4x整理得：3t?8t?16?0，

?y?3t?2?设点A,B对应的参数分别为t1,t2，则t1t2??1616， ∴PA?PB?t1t2?． 33（3）解：(Ⅰ)f?x??2x?1?2x?m?2x?2?2x?m??2x?2???2x?m??m?2 ∵m?0， ∴f?x??m?2?m?2， 当x?1时取等号，

∴f?x?max?m?2，又f?x?的最大值为3， ∴m?2?3，即m?1． (Ⅱ)根据柯西不等式得：a2?b2?c212???2??12??a?2b?c?,

22222∵a?2b?c?m?1， ∴a?b?c?????1, 6当

1111abc222??，即a?,b??,c?时取等号，∴a?b?c的最小值为．

66361?21 ·11·

12??x?x?y???33(Ⅱ) ∵点P?x,y?在圆x2?y2?1上，又?， 11?y??x??y?33?2??11??1∴?x??y?????x??y???1，即得2x?2?2x?y??5y?2?9，

3??33??3∴变换作用后得到的曲线C的方程为2x2?2xy?5y2?9． （2）解：(Ⅰ) ∵ 直线l过点P?1,0?，斜率为3，

221?x?1?t?2?∴直线l的一个参数方程为? ?t为参数?；

?y?3t?2?∵???cos2??8cos?， ∴??1?cos2???8cos? ， 即得(?sin?)2?4?cos?，

∴y2?4x， ∴曲线C的直角坐标方程为y2?4x．

1?x?1?t?2?2(Ⅱ) 把?代入y2?4x整理得：3t?8t?16?0，

?y?3t?2?设点A,B对应的参数分别为t1,t2，则t1t2??1616， ∴PA?PB?t1t2?． 33（3）解：(Ⅰ)f?x??2x?1?2x?m?2x?2?2x?m??2x?2???2x?m??m?2 ∵m?0， ∴f?x??m?2?m?2， 当x?1时取等号，

∴f?x?max?m?2，又f?x?的最大值为3， ∴m?2?3，即m?1． (Ⅱ)根据柯西不等式得：a2?b2?c212???2??12??a?2b?c?,

22222∵a?2b?c?m?1， ∴a?b?c?????1, 6当

1111abc222??，即a?,b??,c?时取等号，∴a?b?c的最小值为．

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