高中数学论文直线与曲线的弦中点轨迹

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“中点弦”问题的一种简捷解法

所谓“中点弦”问题是关于圆锥曲线上两点的中点(已知或等求)一类问题的统称, 在解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型,很重要的问题.解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量比较大,本人试图通过一些实例,介绍一种简捷的解法,供诸位读者参考. 例１．椭圆

x

2

16

y

2

4

1的弦AB被点Ｍ(2,1)平分，求弦AB所在的直线方程.

分析:本题的关键是求出弦AB所在直线的斜率.

解:方法Ⅰ.设直线的斜率为k, (显然k存在且不等于0),则直线方程与椭圆方程联列有: y 1 k x 2 22

2消去变量y,得方程1 4kx 8k 1 2k x 16k k 1 0 (※) x2y 1

4 16

(※)中的两根x1,x2分别是直线上两点A,B的横坐标.由已知条件有:

x1 x2

8k(1 2k)1 4k

2

2 2 k

12

弦AB所在的直线方程为:x 2y 4 0.

方法Ⅱ.设A,B两点的坐标为A x1,y1 ,B x2,y2 .代入椭圆方程x2 4y2 4中得

22

x1 4y1 4

两式相减得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 2

2

x2 4y2 4

x1 x2

2 y y2x1 x21 2

又 ,kAB 1

x1 x24 y1 y2 2 y1 y2 1

2

弦AB所在的直线方程为:x 2y 4 0.

注:以上两种解法中,方法Ⅰ是解决“中点弦”问题的常规解法,思路清晰,但计算量大,方法Ⅱ则采用“设而不求”的方法，面军是解决“中点弦”问题的典型解法，计算量较方法Ⅰ要小，但笔者发现，有一种更简捷的方法，介绍给大家.

如右图,点M是线段AB的中点,M x0,y0 设A x0 m,y0 n ,B x0 m,y0 n ,这时有两个非常简单有趣的结论:

nm

1 kAB

题.

解题时若能充分利用这两个结论,则可以轻松、快捷、准确地解决“中点弦”的有关问

;

2 |AB|

解:方法Ⅲ.设A 2 m,1 n ,B 2 m,1 n ,代入曲线中

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2 m 2 1 n 2

1

8m4n 164

,则两式相减 0 22

164 1 n 2 m

1

164

kAB

nm

12

弦AB所在的直线方程为:x 2y 4 0. 下面再举几个例子,以期读者熟悉这种解法

例2.过定点A(q,0)的动直线 交抛物线y 2px p 0 于M,N两点,求弦MN的中点P的

2

轨迹方程.

解:设动点P x,y ,M x m,y n ,N x m,y n 把M,N两点代入抛物线y 2px p 0 方程中

2

y n 2 2p x m np

两式相减得 4ny 4pm k MN2

my y n 2p x m

又kMN kAP

py

yx q

y 2p x q .

2

例3.直线 与椭圆y 4x2交于A,B两点, 且|AB|=2,设线段AB的中点为M,当 运动时,求中点的轨迹方程.

解:设点M x,y ,A x m,y n ,B x m,y n ,把点A,B坐标代入椭圆方程中,得

y n 4 x m 2

两式相减得:2n 8mx 0 n 4mx 2

y n 4 x m

1

两式相加得2y 8x 8m y 4x 4m 2

2

2

2

2

由(1)、（2）得m2

1

1222 2

y x,n 16 y x x

4 4

注意到|AB| 2 所求的轨迹方程为 y 4x2 1 16x2 4.

xa

22

例4.双曲线

yb

22

1的离心率为e 2,A,B是双曲线上关于x,y轴均不对称的两点.线段

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AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0),设AB的中点为C x0,y0 .求x0的值.

解:由题意,可设A x0 m,y0 n ,B x0 m,y0 n ,把A、B两点坐标代入双曲线方程中,得:

2 b2 x m 2 a2 y n 2 a2b2

bx0n00 22

两式相减得:4bx0m 4ay0n kAB 2, 222222may0

b x0 m a y0 n ab

∵ AB⊥CP kCP

ay0bx0

22

2

.

又kCP

a

2

y0x0 1

2

2

,

22

ay0bx0

2

y0x0 1

x0

a b

ac

1 c

a

2

1e

2

14

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gidq.html