2014计算方法试题及参考答案

研究生课程考试试题

课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 闭卷 年 级： 2014 学时： 54 考试时间： 2015年1月6日 专 业： 学生姓名: 学号:

一、填空题（共10个空，每空3分，共30分）

1、设近似值p的相对误差为2%，那么pn的相对误差为 2%?n ；

?1?1?2、设x?(1,2,?2)T，A??? ，则||x||2? 3 ，||A||1? 3 ；

?02?p?f(pn)3、设f(x)可微，求方程x?f(x)的牛顿迭代公式是pn?1?pn?n。

?1?f(pn)k?1k??x1?x2?6?x1?6?x24、求解方程组? 的Jacobi迭代公式为?k?1 ，该迭代 是 收k??x1?5x2?10?x2?2?0.2x1敛；

5、已知f(4)?2，f(9)?3，则f(x)的线性插值多项式为p1(x)?0.2x?1.2；

6、求积公式?f(x)dx??Akf(xk)的代数精度以Gauss型求积公式为最高，具有2n?1

ak?0bn次代数精度；

?y??f(x,y)7、对初值问题?，显式Euler方法的绝对稳定区间为[?2,0)。

?y(a)?y0

二、计算题（共7个小题，每小10分，共70分）

111、对实数a?0，应用牛顿法于方程?a?0，导出求的迭代公式，证明它二阶

xa收敛。

1112解：设f(x)??a，则方程?a?0的解的牛顿迭代公式为pn?1?2pn?apn。

xxa1f(x)?1?1?1??1??2x?ax2，则g??? ，g????2?2a?0，g??????2a?0。令g(x)?x?af?(x)?a?a?a??a?故迭氏公式是二阶收敛的。

2、用LU分解求解方程组：

?2x1?x2?4x3?1??4x1?4x2?x3?5。 ?6x?5x?12x?523?1第 1 页(共 2 页)

?214??1??100??214?????????解：设A??441? ，b??5? 。令A?LU 得L??210? ，U??02?7?。

?007??6512??5??311??????????1???令UX?Y，方程组化为LY?b，解之得：Y??3? 。最后再解方程组UX?Y得

??1????2??7???X??1?。

?1?????7?

3、对下面线性方程组

?3x1?2x2?10x3?15? ?10x1?4x2?x3?5

?2x?10x?4x?823?1（1）试建立一种收敛的Gauss?Seidel迭代公式，说明理由 （2）取X(0)?(0,0,0)T ，计算出X(2)。

?10x1?4x2?x3?5?解：（1）改变方程的次序得新方程组?2x1?10x2?4x3?8，它的系数矩阵是严格对角占

?3x?2x?10x?1523?1优矩阵，所以其Gauss?Seidel迭代是收敛的。Gauss?Seidel迭代为

(k)(k)?x1(k?1)?0.5?0.4x2?0.1x3?(k?1)(k?1)(k)?x2?0.8?0.2x1?0.4x3。 ?(k?1)(k?1)(k?1)x?1.5?0.3x?0.2x312?（2）当X(0)?(0,0,0)T时，X(1)?(0.5,0.7,1.21)T，X(0)?(0.901,1.1038,1.0021)T

4、已知sinx在区间[0.4,0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 xi

yi 0.38942 0.47942 0.56464 0.64422 0.71736

如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选取结点才能使误差最小？并求该近似值。

解：由插值余项得结点应选为与插值点最近的三个点即0.5,0.6和0.7，插值多项式为：

(x?0.6)(x?0.7)(x?0.5)(x?0.7)(x?0.5)(x?0.6)0.47942?0.56464?0.64422(0.5?0.6)(0.5?0.7)(0.6?0.5)(0.6?0.7)(0.7?0.5)(0.7?0.6) ??0.282x2?1.1624x?0.03128 L2(x)?sin0.63891的近似值为：

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L(0.63891)??0.282?0.638912?1.1624?0.63891?0.03128?0.59627

5、求形如y?1（a,b为常数）的经验公式，使它与下表数据相拟合。 ax?bxi yi 0 1 2 3 1.010 0.3333 0.2000 0.1429

解：令X?x，Y?表：

Xi Yi 11。函数y?化为Y?aX?b，数据(xi,yi)化为(Xi,Yi)如yax?b0 1 2 3 0.9901 3.0003 5.0000 6.9979

问题化为求形如Y?aX?b的经验公式，使它与上表数据据拟合。 建立矛盾方程：

?0a?b?0.9901?a?b?3.0003? ??2a?b?5??3a?b?6.9979法方程为：

?146??a??33.994???????? ?64??b??15.9883?解之得：a?2.0023，b?0.9936。 形如y?1（a,b为常数）的经验公式为： ax?by?1。

2.0023x?0.9936也可简化为y?1 2x?11?6、求A,B使求积公式?f(x)dx?A?f(?1)?f(1)??B?f?1??1??????2??1??f???的代数精度?2??尽量高，并求其代数精度。利用此公式求I??解：令公式对f(x)?1,x2是精确的，得

211dx。 x第 3 页(共 2 页)

?2A?2B?2?12 ?2A?B??23?18

解之得：A?；B?。求积公式为

99

?1?1f(x)dx?18??f(?1)?f(1)???f99??1??????2??1??f??? ?2??12，右边?，故公

35公式显然对f(x)?x3是精确的。又当f(x)?x4时，公式左边?式对f(x)?x4不是精确成立。所以公式的代数精度为3。

对于积分I??解得：

I??2212111t?31，则I??dx??dx。令x?dt。利用上面的求积公式

1?1x2xt?311111?11?8?22?dx??dt?????????0.6929。

?1t?3x9?24?9?57?

7、利用Euler方法计算积分

?在点x?0.5,1,1.5,2的近似值。

x2x0etdt

2解：令y??etdt，则y满足微分方程y??ex以及初始条件y(0)?0。问题化为求初始

02x?,0?x?2?y??e问题? 在x?0.5,1,1.5,2的数值解。为此取h?0.5，xn?nh?0??y(0)x??yn?1?yn?hen（n?0,1,2,3,4 ）建立初始问题的Euler格式：? （n?1,2,3,4）

??y0?022解之得：

2y0?0，y1?0.5*e0.5?0.6420 ，y2?y1?0.5*e1?2.0012，

222y3?y2?0.5*e1.5?12.0439 ，y4?y2?0.5*e2?39.3430。 这样就求出了积分?39.3430。

x0etdt在点x?0.5,1,1.5,2的近似值分别为0.6420, 2.0012, 12.0439,

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