高考数学专题；导数、积分及其应用

全国重点名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）

专题03 导数及其应用

易考点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系

A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1?t?,W2?t?与时间t(天)的关系如图

所示，则一定有

A．两机关单位节能效果一样好 B．A机关单位比B机关单位节能效果好

C．A机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率大 D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.

因为在(0，t0)上，W1?t?的图象比W2?t?的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．

【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．

1．平均变化率

函数y?f(x)从x1到x2的平均变化率为

f(x2)?f(x1)，若?x?x2?x1，?y?f(x2)?f(x1)，则平

x2?x1均变化率可表示为2．瞬时速度

?y. ?x全国重点名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）

一般地，如果物体的运动规律可以用函数s?s(t)来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在

t到t??t这段时间内，当?t无限趋近于0时，

?s无限趋近的常数.学！科网 ?t1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？

【答案】见解析.

10?01?，

50?0515?101?， 山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝

70?504【解析】山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝∴hBC>hAB，

∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．

易考点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”

若经过点P(2,8)作曲线y?x3的切线，则切线方程为

A．12x?y?16?0

B．3x?y?2?0

D．12x?y?16?0或3x?y?2?0

C．12x?y?16?0或3x?y?2?0

3【错解】设f?x??x，由定义得f ′(2)=12，

∴所求切线方程为y?8?12?x?2?，即12x?y?16?0.

【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．

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【试题解析】①易知P点在曲线y?x3上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为12x?y?16?0.

2②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k?3x0.

3x0?8232，∴x0?3x0?3x0?4?0，

x0?2∵A在曲线上，∴y0?x230，∴

∴?x0?1??x0?2??0，解得x0??1或x0=2(舍去)，

∴y0??1，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即3x?y?2?0.

故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x?y?16?0或3x?y?2?0. 【参考答案】D

1．导数的几何意义

函数y?f(x)在x?x0处的导数f?(x0)就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k. 2．曲线的切线的求法

若已知曲线过点P(x0,y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点P(x0,y0)是切点时，切线方程为y?y0?f?(x0)?x?x0?； （2）当点P(x0,y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；

第二步：写出过P?(x1，f?x1?)的切线方程为y?f?x1??f? ?x1??x?x1?； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；

第四步：将x1的值代入方程y?f?x1??f? ?x1??x?x1?，可得过点P(x0,y0)的切线方程．

2．过点?e,?e?作曲线y?e?x的切线，则切线方程为

xA．y???1?e?x?e

2e?1e?2C．y?e?1x?e

B．y??e?1?x?e

2ee?1D．y?e?1x?e

????【答案】C

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在求曲线y?f?x?的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线f(x)上）的切线方程，前者的切线方程为y?f?x0??f??x0??x?x0?，其中切点x0,f?x0?，后者一般先设出切点坐标，再求解.

??易考点3 不能准确把握导数公式和运算法则

求下列函数的导数：

（1）f(x)?a2?2ax?x2； （2）f(x)?xsinx. lnx【错解】（1）f?(x)?(a2?2ax?x2)??2a?2x； （2）f?(x)?(xsinx(xsinx)?sinx?xcosx)????xsinx?x2cosx.

1lnx(lnx)?x【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.

1．导数计算的原则

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先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法

①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

3．若函数f?x?满足f?x??A．0 C．1 【答案】A

【解析】f??x??x?2f??1?x?1,令x=1,则f??1??1?2f??1??1?1??2f??1?,?f??1??0.

2213x?f??1??x2?x，则f??1?的值为 3

B．2 D．?1

故答案为A.

（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数y?x?(??Q)与指数函数y?ax(a?0且

a?1)的导数公式，y?sinx与y?cosx的导数，y?lnx与y?lgx的导数及积与商的导数公式记混弄

错．

（2）本题中f??1?要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解．

易考点4 区分复合函数的构成特征

求下列函数的导数：

2（1）y??x?1?；

2（2）y?cos2x. 22【错解】（1）y??2x?1；

??

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