3-2-4环形跑道问题，题库教师版

环形跑道问题

教学目标

1、 掌握如下两个关系：

（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次

（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次

2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析

3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题

知识精讲

本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。

一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：

路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 二、解环形跑道问题的一般方法：

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

3-2-4.环形跑道问题.题库 教师版 page 1 of 22 环线型 同一出发点 同向：路程差 相对(反向)：路程和 nS nS 直径两端 nS+0.5S nS-0.5S

【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每

分钟走59米．经过几分钟才能相遇? 【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行66?59?125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即

． 500?(66?59)?500?125?4（分钟）

【巩固】 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步．小王的速度是200米/分．⑴小张

和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【解析】 ⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．小张的速度是500?1?200?300（米/分）．

⑵在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500?(300?200)?5（分）．300?5?500???． 3（圈）

【例 2】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛)上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小

胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？ 【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300?(6?4)?150秒，小亚跑了6?150?900（米）。

小胖跑了4?150?600（米）；第一次追上时，小胖跑了2圈，小亚跑了3圈，所以第二次追上时，小胖跑4圈，小亚跑6圈。

【巩固】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地

同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【解析】 400?（450?250）?2(分钟)．

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【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800

米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 【解析】 小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据S差?v差t，可知小新第一次超过正南需要：

800?（250?210）?20(分钟)，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800?3?（250?210）?60(分钟)．

【巩固】 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，

晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？ 【解析】 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致．因此，当冬冬第一

次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程． （6?4）?100(秒) ①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200?②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6?100?600(米) ③晶晶第一次被追上时所跑的路程：4?100?400(米) （600?2）?200?6(圈) ④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：

（400?2）?200?4(圈) ⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：

【例 3】 在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背

向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 【解析】 同向而跑，这实质是快追慢．起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间

的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大．接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈．背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和?速度和?相遇时间．同向而行2分30秒相遇，2分30秒＝150秒，两个人的速度和为：300?150=2（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：

3-2-4.环形跑道问题.题库 教师版 page 3 of 22 10?2）?2?4(米/秒)， 10?4??300?30=10（米/秒）.两人的速度分别为： （?6(米/秒)

【巩固】 在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而

行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 【解析】 甲乙的速度和为：400?40?10(米/秒)，甲乙的速度差为：400?200?2(米/秒)，甲的速度为：

（10?2）?2?6(米/秒)，乙的速度为：（10?2）?2?4(米/秒)．

【巩固】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时

同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【解析】 在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题．同地出发，其实追及路程或相隔

距离就是环形道一周的长．这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度．环形道一周的长度可根据两人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：250?200?50(米/分)，所以路程差为：50?45?2250(米)，即环形道一圈的长度为2250米．所以反向出发的相遇时间（250?200）?5(分钟)． 为：2250?

【巩固】 (第4届希望杯培训题)在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一

次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？ 【解析】 两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4分钟相遇一次，即两人4分钟共跑完一圈；当两人同向跑步

时，每20分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20分钟．两人速度和为：1600?4?400(米/分)，两人速度差为：1600?20?80(米/分)，所以两人速度分别为：

（400?80）?2?240(米/分)，400?240?160(米/分)

【例 4】 （难度等级 ※）两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒

跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 【解析】 （4+3）×45=315米——环形跑道的长（相遇问题求解）315÷（4-3）=315秒——（追及问题求解）

3-2-4.环形跑道问题.题库 教师版 page 4 of 22 【巩固】 （难度等级 ※）一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同

时出发，经过多少分钟两人相遇 【解析】 小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟

【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒

钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米? 【解析】 176

【例 5】 （难度等级 ※※）周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老

师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。 【解析】 两人每共走1圈相遇1次，用时480÷(55+60)=4(分)，到第10次相遇共用40分钟，王老师共走

了。55×40=2200（米），要走到出发点还需走，480×5-2200=200（米）

【例 6】 （难度等级 ※※※）在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，

B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 【解析】 甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25

（秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。

【例 7】 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人

改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？ 【解析】 由题意可知，两人的速度和为

11，速度差为 412可得两人速度分别为?1?11?1?11????2?和????2?

6?412?12?412?所以两人跑一圈分别需要6分钟和12分钟．

【例 8】 （难度等级 ※※※※）有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟

行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?

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