锐角三角函数的实际应用

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广州卓越一对一初中数学教研部

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课题 教学目标 教学重点 教学难点

锐角三角函数的实际应用1、 进一步掌握锐角三角函数的定义； 2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

第一部分：知识点回顾1.边与边关系：a2+b2=c2 2.角与角关系：∠A+∠B=90° a b a b 3.边与角关系，sinA= ,cosA= ,tanA= ,cota= c c b a 4.仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰 角，从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角。右图中的∠1 就是仰角，∠2 就是俯角。 坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比), AC 读作 i,即 i= ,坡度通常用 1:m 的形式(注意:坡度一定要写出 1:几的形 BC 式),例如上图的 1:2 的形式。 坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道， 坡度与坡角的关系是 i=tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

第二部分：自我评测知识点 特殊三角函数的值 坡度计算 三角函数的实际应用 掌握情况 非常好 一般 有待提高 备注

第三部分：例题剖析例：如图，若∠CAB = 90°,∠C = ∠α,∠ BDA = ∠ β,CD = m,求 AB. 解法：设 AB = x,在 Rt△BAD 中， DA 在 Rt△ABC 中， CA ∵ CA = CD + DA ∴

AB x , tan tan

AB x tan tan

x x m tan tan

通过解方程求出知数 x 的值

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第四部分：典型例题例 1: 某人在 D 处测得大厦 BC 的仰角∠BDC 为 30°,沿 DA 方向行 20 米至 A 处,测得仰角∠BAC 为 45°, 求此大厦的高度 BC。

变式训练 1: (2011 广东)如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 l,AB 是 A 到 l 的小路. 现新修一条路 AC 到公路 l. 小明测量出∠ACD=30º , ∠ABD=45º , BC=50m. 请你帮小明计算 他家到公路 l 的距离 AD 的长度(精确到 0.1m;参考数据： 2 1.414, 3 1.732 ). B D C l

A

变式训练 2:如图所示，小明家住在 32 米高的 A 楼里，小丽家住在 B 楼里， B 楼坐落在 A

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楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30 . (1)如果 A,B 两楼相距 20 3 米，那么 A 楼落在 B 楼上的影子有多长？ (2)如果 A 楼的影子刚好不落 在 B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？ . (结果保留根号) B 楼 30° D

CA 楼

E

G

F

H

2、仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的 角叫做俯角。 例 2: (2011 江苏淮安，23,10 分)题

图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物 AB 与 铁塔 CD 都垂直于底面，BD=30m,在 A 点测得 D 点的俯角为 45° ,测得 C 点的仰角为 60° .求铁塔 CD 的高度

变式训练 1:小明想测量塔 BC 的高度.他在楼底 A 处测得塔顶 B 的仰角为 60 ;爬到楼顶 D 处测得大第 4 页 共 14 页

楼 AD 的高度为 18 米，同时测得塔顶 B 的仰角为 30 ,求塔 BC 的高度.

变式训练 2:某高为 5.48 m 的建筑物 CD 与一铁塔 AB 的水平距离 BC 为 330 m,一测绘员在建筑物顶 点 D 测得塔顶 A 的仰角 a 为 30°. 求铁塔 AB 高.(精确到 0.1 m).

A

︶

E B 330 m

α

D C

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变式训练 3、 (2011 年三门峡实 验中学 3 月模拟)如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋大楼 顶部 B 的俯角为 30° , 看这栋大楼底部 C 的俯角为 60° , 热气球 A 的高度为 240 米， 求这栋大楼的高度.

3、方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90° 的角为方向角。 例 3:一个半径为 20 海里的暗礁群中央 P 处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在 A 处观 测此灯塔在北偏西 60°方向，航行了 20 海里后到 B,灯塔在北偏西 30°方向，如图. 问货轮沿原方向 航行有无危险？

变式训练 1: (广东中山，15,6 分)如图所示， A 、 B 两城市相距 100km ,现计划在这两座城市间修 建一条高速公路 (即线段 AB ) , 经测量， 森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30 ° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上，已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心， 50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这 条高速公路会不会穿越保护区，为什么？(参考数据： P E F 3 ≈1.732,2 ≈1.414 ) 30° 45° B

A

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变式训练 2:为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任 务.某天我护航舰正在某小岛 A 北偏西 45 并距该岛 20 海里的 B 处待命.位于该岛正西方向 C 处的某 外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东 60 的方向有我军护航舰(如图所示) ,便发出紧急求救 信号.我护航舰接警后，立即沿 BC 航线以每小时 60 海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可 以到达该商船所在的位置 C 处？(结果精确到个位.参考数据： 2 ≈1.4,3 ≈1.7 ) 如图，小明从 A 地沿北偏东 30 方向走100 3m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200 m 到 C 地，此时小 明离 A 地

m.

4、坡度与坡角 坡角：把坡面与水平面的夹角α 叫做坡角。 坡度：坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(或叫 做坡比) ,一般用 i 表示。即 i = 坡度= i tan

h =h : l , l

h l

坡度越

大，坡角α 就越大，坡面就越陡 例 4: (湖南衡阳，9,3 分)如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: 3 ,堤 高 BC=5m,则坡面 AB 的长度是( A.10m B.10 3 m C.15m ) D.5 3 m

例 5: (甘肃兰州，17,4 分)某水库大坝的横断 面是梯形，坝内斜坡的坡度 i=1∶ 3 ,坝外斜坡的坡 度 i=1∶1,则两个坡角的和为 。

例 6:(福建省漳州市) 一个钢球沿坡角 31°的斜坡向上滚动了 5 米，此时钢球距地面的高度是( ) A. 5sin 31 米 B. 5cos 31 米 C. 5 tan 31 米第 7 页 共 14 页

D. 5cot 31 米

例 7:一水库大坝的横断面为梯形 ABCD,坝顶宽 6.2 米，坝高 23.5 米，斜坡 AB 的坡度 i1=1∶ 3,斜 坡 CD 的坡度 i2 = 1∶ 2.5。求： (1) 斜坡 AB 与坝底 AD 的长度(精确到 0.1 米) ; (2) 斜坡 CD 的坡角 α(精确到 1° ) 。

变式训练 1:某人沿着坡度 i=1:

3 的山坡走了 50 米，则他离地面)

米。

变式训练 2: (山东东营，8,3 分)河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比 1: 3 (坡 比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比) ,则 AC 的长是( A.5 3 米 B.10 米 C.15 米

D.10 3 米

变式训练 3: (顺义二模)20.一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形 ABCD,如图所示，其中 背水面为 AB,现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由 45°改为 30°,若测量得 AB=20 米，求整修 后需占用地面的宽度 BE 的长. (精确到 0.1 米，参考数据： 2 1.414 , 3 1.732 , 6 2.449A D

30°

45°

E

B

C

变式训练 4、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 10 米，坝高 BE=CF=30 米，斜坡 AB 的坡角 ∠A=30°,斜坡 CD 的坡度 i =1:3,求坝底宽 AD 的长.(答案保留根号)

B

C

i 1 : 2 .5A第 8 页 共 14 页

30 °

E

F

D

第五部分：思维误区1.对应关系混淆 【1】如图 9,先进村准备在坡角为α 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的 水平距离为 a 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为 ( ) A. a cos a 米 C. a sin a 米 B.

a 米 cos a 米 sin α

B A

D.

解析：分别过点 B,A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于 点 C 。 则 △ ABC 是 直 角 三 角 形 ， 且 ∠ C=90 ° , ∠ CBA= α , ∴

cos a

BC a a ∴ AB ,故选 B。 AB AB cos

图9

错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角α 的正弦、余弦是哪个边与斜边 AB 的比，造成错选， 也有学生在变式时错误。 B 2.专用名词不清 【2】 (年深圳市)如图 9,如图，斜坡 AC 的坡度(坡比)为 1: 3 ,AC=10 米.坡顶有 一旗杆 BC,旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB=14 米. 试求旗杆 BC 的高度. 解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，

所以过点 C 作 CE⊥AD 于 E,CE 为铅 直距离，AE 为水平距离，即 CE:AE=1: 3 。∴ tan CAE 形△AEC 可得 CE=5(m), AE= 5 3 (m),在 Rt△ABE 中， BE D A C

图 10

1 3 ,∴∠CAE=30°,解直角三角 3 3

AB2 AE2 11(m), ∴BC=BE-CE=6

(m) 错因分析：本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还 要注意仰角、角、方位角等概念。

第六部分：方法规律了解锐角三角函数( sin A , cos A , tan A ) ;知道 30 ° , 45 ° , 60 ° 角的三角函数值 由某个锐角的一个三角函数 值， 会求这个角的其余两个三 角函数值；会计算含有 30 ° , 45 ° , 60 ° 角的三角函数式的 值 能运用三角函 数解决与直角 三角形有关的 简单问题

锐角三角 函数

解直角三 角形

知道解直角三角形的含义

会解直角三角形； 能根据问题 的需要添加辅助线构造直角 三角形； 会解由两个特殊直角 三角形构成的组合图形的问 题

能综合运用直 角三角形的性 质解决有关问 题

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第七部分：巩固练习A. 基础训练： 1.在 Rt△ABC 中，∠C=90°,下列关系式错误的是( A. b c cos B B. b a tan B C. a c sin A D. a )

b tan B)

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°,下列式子不成立的是( A. a c b2 2 2

B. sin A

a c

C. a b tan A

D. c b cos B )

3. Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高，AD=4,BD=2,那么 tan A =(

A.

2 2

B.

3 3

C.

2 4

D.

2 8

4.太阳光与地面成 42.5°的角，一树的影长 10 米，则树高约为________。 (精确到 0.01 米) 5.在离地面高 6 米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成 60°角，则拉线的长约是________米。 (精 确到 0.01 米) 6.如图 31—3—1,大坝横截面是梯形 ABCD,CD=3 m, AD=6 m. 坝 高是 3 m ,BC 坡的坡度 i =1:3, 则坡角∠A=__________,坝底宽 AB =_____________。 7.如图 31—3—2,在 2005 年 6 月份的一次大风中，育英中学一棵大树在 离地面若干米的 B 处折断， 树顶 A 落在离树根 12 米的地方， 现测得∠BAC=48°, 求原树高是多少米？(精确到 0.01 米)

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复习巩固： 1. 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区受到沙尘暴侵袭，近日 A 市气 象局测得沙尘暴中心在 A 市正东方向 400km 的 B 处，正在向西北方向转移(如 图 31—3—3 所示) ,距沙尘暴中心 300km 的范围内将受其影响，问 A 市是否会 受到这次沙尘暴的影响？ 2.如图 31—3—4,为了测量电视塔 AB 的高度，在 C、D 两点测得塔顶 A 的仰角 分别为 30°,45°。已知 C、D 两点在同一水平线上，C、D 间的距离为 60 米，测倾器 CF 的高为 1.5 米，求电视塔 AB 的高。 (精确

到 0.1 米)

3.如图 31—3—5,一只船自西各东航行，上午 9 时到达一座灯塔 P 的西南方向 68 海里的 M 处，上午 11 时到达这座灯塔的正南方向 N 处，求这只船航行的速度。

B第 11 页 共 14 页

拓展训练： 1.(2003·贵阳)如图 31—3—9,某货船以 20 海里/时的速度将一批重要物资 由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时， 接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里/时的速度由 A 向北偏西 60°方向移动， 距台风中心 200 海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响。 (1)问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。 (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？

2.如图 31—3—10,某移动公司移动电话的信号收发塔建在某中学的科技楼上，李明同学利用测倾 器在距离科技楼靠塔的一面 25 米远处测得塔顶 A 的仰角为 60°, 塔底 B 的仰角为 30°, 你能利用这些 数据帮李明同学计算出该塔的高度吗？(结果精确到 0.1 米)

3、如图，在某海域直径为 30 海里的暗礁区中心有一哨所 A,发现有一艘轮船从哨所正西方 45 海里处 向哨所驶来，哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了 15 海里到达 C 处，此时哨所第二次发出紧急信号(信号传输时间忽略不计) 。 ⑴若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少为东偏北 度，求 sin ⑵当轮船收到第二次信号时，为避免触礁，轮船改变的角度东偏南至少应为多少？

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第八部分：中考体验1、 (德州布市中考)某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度.如示意图，由距 CD 一定 距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 , 在 A 和 C 之间选一 点 B,由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 .测得 A,B 之间 的距离为 4 米， tan 1.6 , tan 1.2 ,试求建筑物 CD 的高度. D

G C

E F A B

2、 (· 济宁)日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海 检船， 在相关海域进行现场监测与海水采样， 针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析 评估。如图，上午 9 时，海检船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于海检船的北偏西 67.5° 方向，海检 船以 21 海里/时 的速度向正北方向行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观察到城市 P 位于海检船的 南偏西 36.9° 方向，求此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离？ (参考数据：B36.9°

sin 36.9 0

3 3 12 12 0 0 0 , tan 36 .9 , sin 67 .5 , tan 67.5 ) 5 4 13 5P

67.5° A 第 18 题

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3、 (成都市中考) 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶. 在航行到 B 处时， 发现灯塔 A 在我军舰的正北方向 500 米处；当该军舰从 B 处向正西方向行驶至达 C 处时，发现灯塔 A 在我军舰的 北偏东 60° 的方向。求该军舰行驶的路程. (计算过程和结果均不取近似值)

北 东 A

60 C

0

B

4、 (无锡市中考)如图，一架飞机由 A 向 B 沿水平直线方向飞行，在航线 AB 的正下方有两个山头 C、 D.飞机在 A 处时，测得山头 C、D 在飞机的前方，俯角分别为 60° 和 30° .飞机飞行了 6 千米到 B 处时，往后测得山头 C 的俯 角为 30° ,而山头 D 恰好在飞机的正下方.求山头 C、D 之间的 距离.C D A B

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