高等数学综合练习题集六

综合练习六

01A设z y f( 1),若当y 1时,z x,则z (

).

(A)x y 1;(B)y x 1;(C)

x

y 1;

(D)

x y 1.

01B求函数z arcsin(x y2) ln[ln(10 x2 4y2)]的定义域.01C求下列极限:(1)

xlim (x2 y2)x2 y2;

(2)

xlim(

x21

1x y

y0 0

y a

(a 0);

3

(3)

2|

y|2

(x,ylim

x) (0,0)

x4 y2

;

(4)

x lim

xy2y2

y

(x2 y2x.

01D证明下列极限不存在:(1)lim

xy2

x 0x2 y4

;

(2)x3y xy4 x2y

y 0

xlim

y 0 0

x y

.

01E证明x2y2

xlim

y 0 0

x2 y2

0.

01F讨论函数u

x y

x3 y3

的连续性.

02A设z f(x,y)满足 2f

y2

2x,f(x,1) 0,

f y sinx,y 0

求f(x,y).

2

2

02B设f(x,y) x2arctanyx

f f f f y2arctan,求 x, y, x2,

x y.02C求函数z ln(x y2)的一阶和二阶偏导数.

02D2

2

设z yxln(xy),求 z x

2

, z x y.02E求函数z xy

x2 y2

当x 2,y 1, x 0.01, y 0.03时的全增量

和全微分.

2xy02F考察函数f(x,y)

x2 y2

,x2 y2 0在点(0,0)处可导性,

连续性与可微性.

x3y 02G设f(x,y)

xy3

x2 y2

,(x,y) (0,0) 0,(x,y) (0,0)(1)求fx(0,0);

(2)求fxy(0,0).

02H设f(x,y) x2y2 (x2 y2)3/2,x2 y2 0,证明:f(x,y)在点(0,0)

处 0,x2 y2 0,连续且偏导数存在,但不可微分.

xy(x2 y2)02I设f(x,y)

x2 y2

,x2 y2 0, 求

f

0,x2 y2 0,

x, f

y

,并证明:fxy(0,0) fyx(0,0).

xysin1x2 y2 0

02J设f(x,y)

x2 y2,,

证明f(x,y)在原点

0,x2 y2 0

(0,0)可微.

02K某函数的全微分为:

(x ay)dx ydy

(x y)2

,求a值.03A通过变换 x 2, x 2(y 0)一定可以把方程

2z x2 y 2z y

1 z

22 y(y 0)

化为(

).22(A)

z 2z0;(B)

2zz 2

2

2

2

0;

(C)

2z

2z

2z

2

z

0;

(D)

0.03B设u u(x,y)为可微分的函数,且当y x2时,有u(x,y) 1及 u x

x;则当y x2(x 0)时,

u y

().(A)

12

;(B) 12

;

(C)0;

(D)1.

03C设z x3f(xy,y)

z 2z 2z

x,(f具有二阶连续偏导数),求 y, y2, x y

.

03D设函数 f(u,v),u u(x,y),v v(x,y),x x(r, ),y y(r, )均满足复合函数求偏导数之条件,求

r,

.03E设f(x,y)可微,且f(x,2x) x,fx (x,2x) x2,求fy (x,2x).03F求下列复合函数的二阶混合偏导数 2z

x y(已知f具有二阶连续偏导数).

(1)z f(x y,xy);(2)z f(exsiny,x2 y2).

(3)u f

(x,y)

(4)z f[x2 y, (xy)]( (u)二阶可导).

03G设u xy,而x (t),y (t)都是可微函数,求dudt.03H设z x2yf(x2 y2,xy),其中f有连续偏导数,求 z z x, y

.03Im n设u (x x0)m(y y0)n,求

u

xm yn

(m,n为正整数).

03J设z f(u,v,w)具有连续偏导数,而u ,v ,w ,求

z ,z z ,

.03K试用变换x cost,将方程(1 x2)d2ydx

2 xdy

dx 0中的自变量x换成t,求变换后所得的方程.

03L要求通过线性变换 x y

x y

,将方程

A 2u x2 2B 2u 2u x y2 C y2

0(,B,C)2

其中A为常数,且AC B2 0化简成 u

0.求 , 的值.

03M设u f(x,xy),v g(x xy),求 u v

x x

.

03N设F(x,y(x),z(x)) (x,y(x)) z(x) (x,y(x)),其中出现的函数是连续可微的,试计算

Fd y dx F

z

.03O设u f(x y,y z,t z),求

u x u u u y z t

.03P设x ucosvv u v u v

,y usin,求 x, x, y, y

.

04A设z z(x,y)是由方程F(x az,y bz) 0所定义的隐函数,其中F(u,v)是变量u,v的任意可微函数,a,b为常数,则必有(

).

(A)b z x a z

y 1;(B)a z x b z

y 1;(C)b

z z x a z y

1;(D)

a

x b z y 1.04B设x eucosv,y eusinv,z uv,试求

z x和

z

y

.04C设u f(x,y,z), (x2,ey,z) 0,y sinx,其中f, 都具有一阶连续偏导数,且

z 0,求du

dx

.04D设y g(x,z),而z是由方程f(x z,xy) 0所确定的x,y的函数,求dz

dx

.04E设函数z(x,y)由方程F(x zz

,y )

0确定,证明

x

z x y z

y

z xy.04F设由方程F(x y,y z,z x) 0确定隐函数z z(x,y),求 z z

x, y

及dz.

04G设函数z z(x,y)是由方程

xyz x2 y2 z2 2

所确定的,求z在点(1,0, 1)处的全微分.

04H设

{u v x y 0

xu yv 1 0

,求

u x, v u v x, y, y

.04I设方程组

u ecot

v x u

etan

vy

y确定函数u u(x,y),v v(x,y),试求在点x 1,y 1,u 0,v

4处的全微分

du和dv.

04J从方程组{x y u v 1

2u v 2x

2

y2 u2 v2 2

中求出 u x, x2, x,

v

x2

.04K设

{u f(x ut,y ut,z ut),

求

u ug(x,y,z) 0,

x, y

.05A函数u sinxsinysinz满足x y z

(x 0,y 0,z 0)的条件

极值是(

).

(A)1;(B)0;

(C)1/6;

(D)1/8.

05B求由方程2x2 y2 z2 2xy 2x 2y 4z 4 0

所确定的函数

z z(x,y)的极值.

05C求z x2 y2 5在约束条件y 1 x下的极值.

05D某工厂生产两种产品,总成本函数为C Q22

1 2Q1Q2 Q2 5,两种

产品的需求函数分别为Q1 26 P1,Q2 10

1

4P2

,试问当两种产品的产量分别为多少时,该工厂获得最大利润,并求出最大利润.

05E某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系如下经验公式：

R 15 14x1 32x2 8x1x2 2x21 10x2

2

(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;

(2)若提供的广告费用为1.5(万元),求相应的最优广告策略.06A估计积分I 100 cos2x cos2y

xdy的值,则正确的是(

).

x

1

dy 10

(A)1

2 I 1.04;

(B)1.04 I 1.96;

(C)1.96 I 2;(D)2 I 2.14.

06B设f(x,y)是有界闭区域D:x2 y2 a2上的连续函数,则当a 0时,1 a2

f(x,y)dy的极限(

).

D

(A)不存在;(B)等于f(0,0);(C)等于f(1,1);

(D)等于f(1,0).

06C判断下列积分值的大小:ji

e

(x2 y2)

dxdy,i 1,2,3其中

Di

D1 {(x,y)|x2 y2 R2},D2 {(x,y)|x2 y2 2R2},D3 {(x,y)|x| R,|y| R}.则J1,J2,J3之间的大小顺序为(

).

(A)J1 J2 J3(B)J2 J3 J1(C)J1 J3 J2

(D)J3 J2 J1

06D设D是有界闭区域,若f(x,y)在D上连续,

f

2

(x,y)d 0,则

D

f(x,y) 0((x,y) D)

06E设D是有界闭区域,若f(x)在D上连续,f(x,y) 0((x,y) D),则

f(x,y)d 0.

D

06F利用重积分的性质判断下列积分的符号:(1)I

ln

(

x2 y2 1)

dxdy;

|x| |y|

1

2

(2)I

3

x2 y2dxdy,其中D {(x,y)x2 y2 4}.

D

(3)I

|x (x 1)dxdy.

| 1|y| 1

06G计算I

(21 x

1D e

)

ey2

dxdy,其中D:x 1,y 1.

06H求I

y2

dxdy,D是由xy 2,

y x 1,y x 1所围成的区域.

D

07A将坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反:

20

d

cos 0

f(rcos ,rsin )rdr (

10

).(B)(D)

10

(1)

R2

e

y2

dy

2x 1

y0

e

x2

dx y2

dy

R2 y20

e

xdx;

2

(A)(C)

dy

010

y y2

f(x,y)dx;dy

1 y20x 00x2

f(x,y)dx;f(x,y)dy.

1 x2(2)I

21

31

dx

eydy; x

dy 2y

42

2

10

dyf(x,y)

dy;

10

dy

(3)

).

dxsindsin

x xdy.2y

u07B设f(x,y)是连续函数,则二次积分dxf(x,y)dy (

x 1

x 1

(A)1dyy 1f(x,y)dx 22y)dx;

0 11

dy

y 1 1

f(x,(B)1y 10dy 1f(x,y)dx;(C)12y2 1

0dyy 1 1f(x,y)dx

1

dy

1

f(x,y)dx;

(D)

2y2 1

dy

1

f(x,y)dx.

07C交换下列二次积分的次序:(1)41

dy2(y 4)f(x,y)dx.

0 4 y

(2)1dy2yf(x,y)dx 3dy3 yf(x,y)dx.

001

(3)1d

(x,y)dy.0

(4)

2d

asin2 f(r, )dr.0

(5)I

0 2

df(x,y)dy

2 x2dx

40

2 xf(x,y)dy

2

(6)1dy1 y2f(x,y)dx.

1 y

(7)

1dx

4 x2f(x,y)dy

3

dx

4 x2

f(x,y)dy.

1 1 x2

11

07D计算下列累次积分:07E设f(x,y)在D上连续,证明:duf(t)dt

(x u)f(u)du.

00

07Fady

yem(a x)f(x)dx a证明

(a x)em(a x)f(x)dx.

08A由曲线x2 y2 2x,x2 y2 4x,y x,y 0所围成的图形的面积

S ().(A)

1

4

(2 );(B)

1

2(2 );(C)34

(2 );

(D)2 .

08B计算下列二重积分:(1)I

xdxdy

,其中D {(x,y)|y2 2x,0 x 2};

D

x2 y2

(2)I

(1 x)1 cos2ydxdy,其中D是y x 3,y

x 5

, D

22y 2

,y

2围成.(3)I

ydxdy,其中D是由曲线

b

1及x轴,y轴所围成的闭区D

域.

08C计算下列二重积分:(1)

yd ,其中D是由曲线r 2(1 cos )的上半部分与极轴所围成的区域;

D

(2)

x2 y2dxdy,其中D由y x与y x4围成;D

(3)

R2 x2 y2dxdy,其中D:x2 y2 Rx;

D

(4)

(x y)dxdy.x2 y2 x y

08D设D {(x,y)|x2 y2 x},求

xdxdy.

D

09A计算下列二重积分:(1)

0

|cos(x y)|dxdy;

x

0 y

(2) |sin(x y)|d ,其中D:0 x y 2 ;

D

(3)

|x y| 2dxdy,其中D:0 x 2, 2 y 2;D

(4)

|xy|dxdy;

|x| |y| 1

1(5) (|x| |

y|)2

d ,其中D:0 x 2,|y| 1;

D(6)

sinxsiny max{x,y}dxdy,其中D:0 x ,0 y .

D

09B设f(x,y) {

1,0 x 1,0 y 1

0,其它,D是由x 0,y 0及x y t

所围区域.计算F(t)

f(x,y)dxdy.

D

09C计算I

(|x| |y|)dxdy,其中D:|x| |y| 1.

D

10A设f(t)在[1, )上有连续的二阶导数,f(1) 0,f (1) 1,且二元函数z

(x2

y2)

f(x2

y2)

满足

2z x2 2z

y2

0,求f(t)在[1, )上的最大值.10B证明:若函数u u(x,y),满足拉普拉斯方程

2u 2 x2 u

y2

0,则函数v u

(xy

x2 y2,x2 y2

)

也满足上述拉普拉斯方程.

10C设u f(r),r lnx2 y2 z2满足方程

2u 2u 2 u

22 x2 y2 z

2 (x y2 z) 3/2,求f(x).

10D设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,且在[a,b]上,p(x) 0,f(x),g(x)为单调递增,试证:

ba

p(x)f(x)dx

ba

p(x)g(x)dx

ba

p(x)dx

ba

p(x)f(x)g(x)dx.

10E试证:抛物面z 1 x2 y2上任意点处的切平面与抛物面z x2 y2

所围成立体的体积是一定值.

10F设函数f(x)连续,f(0) 1,令F(t)

f(x2 y2)dxdy(t 0),求F (0).

x2 y2 t2

10G设f(x,y)在区域D:0 x 1,0 y 1上有定义f(0,0) 0,且在(0,0)

x2dt

t处f(x,y)可微,求0

xf(t,u)du

xlim 0

4.

1 e

x4

10H记D(R) {(x,y)|x2 y2 R2},求Rlim

e (x

2 y2)

dxdy.

D(R)

10I证明：

e x2

dx

.

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