吉林省实验中学2012届高三第六次模拟数学理试题

吉林省实验中学2012届高三第六次模拟考试

数学（理科）试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求） 1. 已知集合A x|y lg 1 x ，集合B y|y x2，则A B

A． 0，1

2

（ ） B． 0，1

C． ，1

D． ，1

3 i 2. 复数 （其中，i为虚数单位）的虚部为

1 i

A． 4i

（ ） B． 4

C． 3i

D． 3

3. 若cos

A．

4

，且 为第三象限角，则sin 54

（ ）

2 10

B．

2 10

C．

72

10

D．

72

10

4. 已知在等比数列 an 中，a1 1，a5 9，则a3

A． 5

0.5

（ ） B．5

C． 3

D．3

5. 若a 2，b log 3，c log2sin 6. 7.

2

，则（ ） 5

A．c a b B．a b c C．b a c D．b c a

一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

设非零向量a，b，c，满足|a|=|b|=|c|，a+b=c， 则a与b的夹角为（ ） A．150 B．120 C．90 D．60

8. 将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同

的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1， 2的

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（ ） A．12种 B．16种 C．18种 D．36种

9. 已知正四棱锥S

ABCD中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） SA ，

A．1

B

C．2

D．3

x2y2

10．如图所示，F1和F2分别是双曲线2 2 1 a 0，b 0 的

ab

两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线

左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则离心率为（ ）

A．5 1

B．

3 1

2

C． 1

D．

1

2

x 0 y 0

11. 设O为坐标原点，点M坐标为 3，当，2 ，若点N x，y 满足不等式组

x y s 2x y 4

1 s 3时，则 的最大值的变化范围是（ ）

A． 3，8

B． 3，7

C． 4，7

D． 4，8

12. 已知f x 是定义在R上的函数，对任意x R都有f x 4 f x 2f 2 ，若

（ ） y f x 1 的图象关于直线x 1对称，且f 1 2，则f 2011

A．5 B．4 C．3

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 执行右边的程序框图，若p 0.8，则输出的n ． 14. 设函数f(x) ax2 c(a 0)，若

D．2

1

f(x)dx f(x0)，

0≤x0≤1，则x0的值为．

1 有零点，则15. 已知函数f x ax 4x 1在区间 ，

2

实数a的取值范围为 ． 16. 已知定义在 1， 上的函数

3

4 8|x |,1 x 2 2

f(x) ．给出下列结论：

1x f(),x 2, 22

①函数f(x)的值域为[0,4]；

②关于x的方程f(x) ()(n N*)有2n 4个不相等的实数根；

③当x [2n 1,2n](n N*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则

1

2

n

S 2；

④存在x0 [1,8]，使得不等式x0f(x0) 6成立，

其中你认为正确的所有结论的序号为______________________． 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 17. （本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若m (0, 1)，n cosB,2cos2C，试求|m n|的最小值．

2

tanA2c

． tanBb

18. （本小题满分12分）

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；

（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面

试．

（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的

概率； （2）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有 名学

生被考官D面试，求 的分布列和数学期望．

0.02

0.01

75 80 85 90 95 100 分数

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD ， ABC 60 PA AB BC ，E是PC的中点． （Ⅰ）证明：CD AE；

（Ⅱ）证明：PD 平面ABE；

（Ⅲ）求二面角A PD C的正切值．

P

A D

B

20. （本小题满分12分）

如图所示，在 DEM中， ， 0， 8 ，N在y轴上，且

1

DM，点E在x轴上移动． 2

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）过点F 0，1 作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与点M的轨迹交于点A、B，l2与点M的轨迹交于点C、D，求 的最小值．

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x) lnx x2 x 2．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若a 0，求f(x)在区间(0,a]上的最大值；

（III）设函数g(x) x3 (1 2e)x2 (m 1)x 2，（m R），试讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半

径的圆与AB及其延长线相交于点H及K． （Ⅰ）求证：HC·CK＝BC2；

（Ⅱ）若圆的半径等于2，求AH·AK的值． D K

B A H C

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中

取相同的单位长度。已知直线l的极坐标方程为 cos 2 sin 0，曲线C的参数

x 4cos 方程为 （α为参数）．

y 2sin

（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x) 2x 2x （Ⅰ）求不等式f(x)≤6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f(x) a恒成立，求实数a的取值范围．

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数学（理科）试题

参考答案

第Ⅰ卷

第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4道题，每小题5分，共20分） 13． 14．

15． ,4 16．

三、解答题（本大题共6道题，其中17~21题12分，22~24题每题10分，共70分） 17．解：（I）1

即∴

3

3

tanA2csinAcosB2sinC

， 1

tanBbsinBcosAsinB

sinBcosA sinAcosB2sinC

，

sinBcosAsinBsin(A B)2sinC1

，∴cosA ．

sinBcosAsinB2

π

．…………………………………………………（6分） 3

C

1) (cosB,cosC)， 2

2π1π B) 1 sin(2B )． 326

∵0 A π，∴A

（II）m n (cosB,2cos2

|m n|2 cos2B cos2C cos2B cos2(

∵A

π2π2π

，∴B C ，∴B (0,)，且B ． 3332ππ7π从而 2B ．

666

ππ12

∴当sin(2B )＝1，即B 时，|m n|取得最小值．………………（12分）

632

18．解：（Ⅰ） 第三组的频率为0．06 5=0．3； 第四组的频率为0．04 5=0．2；

第五组的频率为0．02 5=0．1…………………………………………（3分） （Ⅱ）（1）设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试

1

C281

P（M）=3= ………………………………………………………（6分）

145C30i2 iC2C4

（2）P( i) (i 0、1、2)

2

C6

………………………………………（10分）

E

822 ………………………………………（12分） 15153

19．分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想

象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． 解答：（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD中，因PA 底面ABCD，CD 平面ABCD，故PA CD．

∵AC CD，PA AC A，∴CD 平面PAC．

而AE 平面PAC，∴CD AE．…………………………………………（4分） （Ⅱ）证明：由PA AB BC， ABC 60°，可得AC PA． ∵E是PC的中点，∴AE PC．

由（Ⅰ）知，AE CD，且PC CD C，所以AE 平面PCD．

而PD 平面PCD，∴AE PD．

∵PA 底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB AD，∴AB PD． 又∵AB AE A，综上得PD 平面ABE．………………………………（8分）

（Ⅲ）解法一：过点A作AM

PD，垂足为M，连结EM

．则（Ⅱ）知，AE 平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM PD． 因此 AME是二面角A PD C的平面角． 由已知，得 CAD 30°．设AC a，

可得

PA a，AD

，PD ，AE ． 3

2

AB

D

·PD PA·AD， 在Rt△ADP中，∵AM PD，∴AM

则AM

PA·AD PD

a ．

在Rt△

AEM中，sinAME

AE

AM 所以二面角A PD C的正切值为．……………………………………（12分） 解法二：由题设PA 底面ABCD，PA 平面PAD，则平面PAD 平面ACD，交线为AD．

过点C作CF AD，垂足为F，故CF 平面PAD．过点F作FM PD，垂足为M，连结CM，故CM PD．因此 CMP是二面角A PD C的平面角． 由已知，可得 CAD 30°，设AC a，

可得PA a，AD

1，PD a，CF a，FD a． 3326

FMFD

．

PAPD

A

D

∵△FMD∽△PAD，∴

·a

FD·PA ． 于是，FM

PD14

1a

CF在Rt△

CMF中，tanCMF FM所以二面角A PD C的正切值是7．

20．解：（Ⅰ）设M x,y ，E a,0 ，则D 0, 8 ，N

a x

,y

2

a x

0，即x a 2

a, 8 x a,y a x a 8y且

2

∴x 2x 8y 0， 所以点F的轨迹方程为x 4y．（x 0）…………（6分）

（Ⅱ）设A x1，y1 ，B x2，y2 ，C x3，y3 ，D x4，y4 ， 直线l1的方程为：y kx 1， k 0 ，则直线l2的方程为y

1

x 1 k

y kx 122由 2得：y 4k 2y 1 0； x 4y

4

y1 y2 4k2 2 y3 y4 2 2则 同理可得： k y1 y2 1 y3 y4 1

∵

y1 1 y2 1 y3 1 y4 1 y1y2 y3y4 y1 y2 y3 y4 2

1

y1 y2 y3 y4 4 4 k2 2 4 12，当且仅当k 1时，取等号．

k

∴ 的最小值为12． …………………………………………………（12分）

21．解（Ⅰ）∵f(x) lnx x2 x 2，其定义域为(0, )．

1分

1 2x2 x 1 (2x 1)(x 1)

∴f (x) 2x 1 ． （2分）

xxx

∵x 0，∴当0 x 1时，f (x) 0；当x 1时，f (x) 0． 故函数f(x)的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1, )． （4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1, )．

当0 a 1时，f(x)在区间(0,a]上单调递增，f(x)的最大值f(x)max f(a) lna a2 a 2； 当a 1时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减，则f(x)在x 1处取得极大值，也即该函数在(0,a]上的最大值，此时f(x)的最大值f(x)max f(1) 2； lna a2 a 2,0 a 1,∴f(x)在区间(0,a]上的最大值f(x)max …………………（8分）

2,a 1.

（Ⅲ）讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数，即讨论方程f(x) g(x)在(0, )上根的个数．

该方程为lnx x2 x 2 x3 (1 2e)x2 (m 1)x 2，即lnx x3 2ex2 mx． 只需讨论方程令u(x)

lnx

x2 2ex m在(0, )上根的个数， ……………………（9分） x

lnx

(x 0)，v(x) x2 2ex m． x

1

x lnx

1 lnxlnx 因u(x) ，令u (x) 0，得x e， (x 0)，u (x) 22

xxx

1

当x e时,u (x) 0；当0 x e时,u (x) 0． ∴u(x)极大 u(e) ，

e

lnxlnx

0， 但此时u(x) 0， ； 当x 时,limu(x) lim

x x xx

且以x轴为渐近线．

当x 0 时,u(x) 如图构造u(x)

2

lnx

的图象，并作出函数v(x) x2 2ex m的图象． x

2

①当m e 即m e 时，方程无根，没有公共点；

1e1e

②当m e

2

121即m e 时，方程只有一个根，有一个公共点； ee1e

2

③当m e 即m e 时，方程有两个根，有两个公共点．……………（12分） 22．（Ⅰ）连结DH，DK，则DH⊥DK，

∴△DHC∽△KDC，∴

2

1

e

DCCK

，DC2＝HC·CK， HCDC

又DC＝BC，∴BC2＝HC·CK……………………………………………………（5分） （Ⅱ）连结AD，则AD⊥BD，AD＝BD，∴AD是⊙B的切线，于是AD2＝AH·AK， ∴AH·AK＝4………………………………………………………………………（10分）

x2y2

1（5分）

23．（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为x 2y 0，曲线C的普通方程为

164

（Ⅱ）可求得交点坐标为(

和，

AB 10分）

24．解：（Ⅰ）原不等式等价于

331 1 x x x

或 2或 222

(2x 1) (2x 3) 6 (2x 1) (2x 3) 6 (2x 1) (2x 3) 6

解得

3131

x 2或 x 或 1 x ，不等式的解集为 x 1 x 2 （5分） 2222

（Ⅱ）∵2x 2x 3 (2x 1) (2x 3) 4，若不等式f(x) a恒成立，只需a＜4，故a的取值范围是 ,4 ………………………………………………（10分）

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